“植樹問題”教學設計與反思

教學內容：人教版義務教育教科書五年級數學上冊第七單元“數學廣角”。

教材分析：

“數學廣角”這一單元主要是通過現實生活中一些常見的實際問題向學生滲透有關植樹問題的一些思想方法，讓學生從中發現一些規律，抽象出數學模型，然后再用發現的規律來解決生活中的一些簡單實際問題。

“植樹問題”通常是指沿著一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干間隔，由于路線不同、植樹要求不同，路線被分成的間隔數和植樹棵數之間的關系就不同。植樹問題可以分為這樣幾種類型：在一條線段植樹，可分為兩端栽、兩端不栽、一端栽三種情況；另一類型是在一條首尾相接的封閉曲線上植樹（如長方形、正方形或是圓形等等）。教材中例1探討的是先畫出形象的線段圖，然后抽象成線段圖表示兩端都栽樹的情況，例2通過遷移呈現出兩端都不栽樹的情況，例3是引導學生理解在一條首尾封閉的曲線上植樹的的問題。一端植樹在書中以練習題形式出現。

學情分析：

1.學生已經掌握了萬以內的口算、筆算的計算方法。

2.學生能通過觀察、操作等實踐活動發現規律，得出結論。具備了一定的分析綜合、抽象概括、歸類梳理等數學活動經驗。

3.在解決實際問題過程中，正確判斷類型是解題關鍵。由于學生初次接觸在一條線段上植樹（兩端都栽、兩端都不栽、一端栽）情況，在判斷時會出現問題，一邊栽樹可能會當成兩旁栽樹。

教學目標：

《數學課程標準（2011年版）》中關于第二學段目標有以下闡述：“應使學生經歷從實際問題中抽象出數量關系，并運用所學知識解決問題的過程。”“探求給定事物中隱含的規律或變化趨勢。”根據課標相關要求，以及對教材的理解和分析，我確定本節課的教學目標為：

1.引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，理解間隔數與植樹棵數之間的關系，并能應用規律來解決簡單的植樹問題。

2.借助小組合作學習，引導學生在動手操作的實踐活動中，通過畫線段圖理解間隔數與植樹棵數之間的規律，滲透化歸的數學思想。

3.通過實踐活動激發學生熱愛數學的情感，初步體會植樹問題的模型思想，感受日常生活中處處有數學，體驗學習成功的喜悅。

教學重點：通過畫線段圖發現植樹的棵數和間隔數的關系。

教學難點：利用探求“植樹問題”中發現的規律，來解決現實生活中實際問題。

教學策略：

本節課是教材第106～107頁例1、例2的內容，主要教學在一條線段上兩端都栽和兩端不栽情況的植樹問題。我根據對教材的理解，將例1、例2進行整合，以一個具體情境提出問題，在本節課又嘗試補充了一端栽的類型。在設計這節課時，我主要是運用這樣的教學理念：創設問題情境，引發學生認知沖突。借助小組合作，通過觀察、猜想、驗證等學習方法，讓學生探究解決植樹問題的規律，滲透化歸思想。

教學過程：

一、觀察熟知事物，引導學生理解“間隔”

師：同學們，你們仔細觀察過自己的手嗎？我們的手上隱藏了哪些數學奧秘呢？快來找一找。

師：看看你的手，你從中得到了什么數字？

生：5。

生：5個手指。

師：老師從中也得到了一個數字——4，你們知道它指的是什么嗎？

生：縫隙。

生：空格。

師：對了，4指的是手指間的空格，在數學上我們把這樣的空格叫作間隔。我們手上每兩個手指之間有一個間隔，大家仔細觀察，5個手指有幾個間隔，4個手指的時候有幾個間隔呢？3個手指，兩個手指呢？

師：你們發現手指數與間隔數的關系了嗎？誰能說一說？

（利用課件進行展示：夾心餅干、植樹中每相鄰兩棵樹之間的距離、路燈、柵欄、團體操表演、防洪紀念塔相鄰的柱子。理解間隔的含義，這些問題在數學上統稱為植樹問題，進而揭示課題。）

師：在我們身邊有這么多數學奧秘，看來數學真是無處不在。

【設計意圖：在學生生活的周圍有很多事物具有植樹問題的本質特征。想要了解植樹問題必須要知道間隔的問題。引出手，就使學生對手指頭之間的間隔產生一個初步的感知。再利用課件展示生活中隨處可見的間隔，即滲透“生活中處處有數學”的思想，又為接下來的學習分散難點。】

二、創設探索情境，引導學生總結規律

1.出示例題，引導學生自主探索。

鐵嶺小學要在一條100米長的小路一邊每隔5米種一棵樹，需要多少棵樹苗？你可以設計出幾種方案？

【設計意圖：創設生活情境，激發學習興趣，讓學生感受到數學問題原本就來源于生活。有效地利用教學資源，將例1與例2進行有機整合，將一條線段上植樹的3種情況一次呈現，發散學生的思維。】

反思：通過第一次試講，我發現學生普遍只想到了兩端植樹的情況，而其余情況都沒有想到。一方面是由于學生受到手指和“手指間隔”的影響，形成了思維定式；另一方面是由于改編例題要求不清晰，使得學生思維受到局限。在第二次試講時，我將例題進行補充修改。這次學生們思維拓展了，考慮問題也全面了，能有目的地進行操作。這也讓我體會到教學資源的整合一定要做到巧妙設計、貼近實際。

2.學生大膽猜測后，4人一組，借助學具，小組合作探究，填寫表格，驗證猜想。

【設計意圖：學生因為猜測出不同的結果，造成了認知沖突。他們迫切地須要尋求可行性的方法，去驗證自己的數學猜想。】

反思：由于課前學生準備了相應的學具，課上他們展示了不同的驗證方法。有的組充分利用跳棋、小棒這些學具擺一擺。在擺的過程中他們遇到了難題，準備的學具不夠。我巡視發現此情況，便替他們小組向全班同學尋求幫助，很快學生就達成共識，只要用一定的學具探索出規律即可，這里也滲透了數學上化歸思想。還有的組借助線段圖畫一畫，借助手指數一數，將抽象的習題具體為形象的圖形，探索規律就顯得非常容易。

學生之間存在著一定的差異，認知起點與知識結構邏輯起點不同，就使得有些學生理解植樹問題時，較為困難。這時在小組內合作學習，就使“差異”變成了“資源”，促使學生更好地解決問題。

3.匯報驗證結果，總結規律。

【設計意圖：學生利用畫圖、擺學具來解決條件開放的植樹問題，形象地感知在一條線段上植樹常出現的三種植樹情況。我通過及時引導，讓學生學會探索、驗證的學習方法，體現了“不同的學生學習數學的水平可以不同”的教育思想，而且啟發學生透過現象發現規律，讓學生充分感受到成功的喜悅。本課重點再次得到鞏固，難點得到有力突破！】

三、回歸生活情境，引導學生實踐應用

在生活中，常常要解決這樣的植樹問題，我們必須要先確定它是屬于三種情況中的哪一種。為了鞏固所學的知識，我設計了兩組練習：

（一）基礎練習

1.在一條全長2千米的街道兩旁安裝路燈，頭尾都要安，每隔50米安一座。共需多少燈？

2. 大象館和猩猩館相距60米，綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹。相鄰兩棵樹之間的距離是3米，一共要栽幾棵樹？

3.5路公共汽車從起點開出，行駛路線全長12千米，相鄰兩站的距離是1千米。一共有幾個車站？

反思：在最初設計中，一條線段上植樹的三種情況我各出了一道題。但是經過反復研究，發現課堂容量遠遠不夠。對于優秀的學生來講，課堂習題沒有拓展，課堂的實效性不強。因此，我相應地補充上能力提升練習。

（二）能力提升練習

1.園林工人沿公路一側植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵，從第1棵到最后一棵的距離是多少？

2.一根木頭長10米，要把它平均分成5段，每鋸下一段需要8分鐘，鋸完一共要花多少分鐘？

反思：在實際教學中，我發現學生在理解鋸木頭問題時有困難，這顯然是缺乏生活經驗。我因勢利導，讓學生畫圖理解。學生發現鋸木頭其實就是在一條線段上兩端不植樹的情況，再根據尋求到的規律解題，一切難題就迎刃而解了！

【設計意圖：設計有梯度的練習，讓學生將所學到的知識運用到解決生活實際問題中去，使學生的應用能力得到循序漸進的提高。設計的練習題體現了新課標“數學學習內容應當具有現實的、有意義的、富有挑戰性”的理念。】

四、暢談收獲，引發學生深入思考

通過本節課的學習，你有哪些收獲想和大家共同分享？或有哪些疑問想尋求幫助？

【設計意圖：引導學生圍繞三個維度對所學的內容進行梳理和回顧，暢談自己在學習過程中的收獲或是學習過程中的疑惑，真正地體會到數學就來源于生活。】

再次出示例題：鐵嶺小學要在一條100米長的小路一邊每隔5米種一棵樹，需要多少棵樹苗？你還可以設計出幾種方法？

【設計意圖：學生可能會想到在一條長方形或是圓形等封閉曲線上植樹，為學習例3奠定基礎，這里也滲透新課程所倡導的理念，學生帶著問題走出課堂。】

【板書設計】：

植 樹 問 題

兩端栽 棵數=間隔數+1

兩端不栽 棵數=間隔數-1

一端栽 棵數=間隔數

反思：“植樹問題”是小學人教版第九冊“數學廣角”中的教學內容。這一內容是讓學生經歷將實際問題抽象出植樹問題模型的過程，從而掌握種樹棵數與間隔數之間的關系，使學生學會應用植樹問題的模型解決一些相關的實際問題，培養他們的應用意識和解決實際問題的能力。通過教學我對植樹問題這節課的反思如下：

1.體驗生活數學。

“數學來源于生活。”因此，我從學生熟悉的手指和手指間隔引入，發現生活中的間隔，為接下來的學習分散難點。數學又應該為生活服務，我開放課堂時空，通過課件讓學生從鋸木頭等問題中直觀地認識生活中的許多事例看上去跟植樹問題毫不相關，但是只要善于觀察就明白它與植樹問題的數量關系很相似。引導學生要靈活運用所學知識來解決生活中的一些實際問題，使學生充分感受到數學知識來源于生活，又回歸于生活。

2.滲透化歸思想。

從簡單的事例中去發現規律，這是研究問題的一般規律。將復雜的問題簡單化，從一般情況得出規律，尋找解題思路。如研究在一條線段上植樹，學生首先想到兩端植樹這種情況，他們在探討間隔數和棵樹之間關系時，或是用學具擺，或是借助手指。從2棵樹開始，間隔樹為1，3棵樹間隔數為2，4棵樹間隔數為3等，填寫表格，最后得出規律，從一般到特殊。接下來的兩端不植樹，一端植樹的情況，學生在已有前面一次探究規律的基礎上，很快就能發現規律，然后進行驗證。

3.注重練習。

我覺得既然研究的是植樹問題中的一種情況，而且主要是滲透一種化歸思想，因此在練習的設計上盡量能緊扣中心，努力讓學生利用本課所學或利用研究方法去解決類似的問題，這樣就能起到很好的鞏固作用。在練習題的設計上，我突出了基礎性和提高性。

（作者單位：哈爾濱市鐵嶺小學）

于璐，哈爾濱市鐵嶺小學教師，小學高級，哈爾濱市數學學科帶頭人，哈爾濱市數學學科骨干教師。執教的“三角形分類”一課，獲哈爾濱市第七屆“苗苗杯”賽課一等獎；執教的“植樹問題”，獲哈爾濱市第八屆“而立杯”賽課一等獎；執教的“四邊形分類”，獲黑龍江省“聚焦新課堂”一等獎。