帶形狀參數曲線的最優參數取值問題研究

劉成志， 李軍成， 楊 煉

(湖南人文科技學院數學系，湖南 婁底 417000)

帶形狀參數曲線的最優參數取值問題研究

劉成志， 李軍成， 楊 煉

(湖南人文科技學院數學系，湖南 婁底 417000)

帶形狀參數的曲線中所帶形狀參數的取值通常是一個區間，但在實際問題中往往需要確定形狀參數的最優取值，以使得曲線具有良好的光順性。針對這一問題，首先基于曲線的光順準則建立了一個求解帶形狀參數曲線最優參數取值的通用數學模型，然后給出了利用遺傳算法求解該模型的具體步驟，最后以兩類帶形狀參數的曲線為例驗證了所提出方法的有效性。

參數曲線；形狀參數；最優參數值；光順；遺傳算法

在曲線曲面造型中，由于帶形狀參數的曲線曲面不僅具有相應傳統曲線的主要性質，而且還可以通過修改形狀參數的取值來調整其形狀，因此帶形狀參數的曲線曲面造型方法已成為研究的熱點之一。目前，國內外學者提出了許多不同的帶形狀參數曲線曲面的構造方法，大致可分為3類：①帶形狀參數的多項式曲線曲面，即在傳統的多項式曲線曲面中引入形狀參數構造出帶形狀參數的多項式曲線曲面[1-5]；②帶形狀參數的非多項式曲線曲面，即通過改變傳統多項式曲線曲面的基函數，在非多項式函數空間中構造帶形狀參數的曲線曲面[6-10]；③帶形狀參數的奇異混合曲線曲面，即通過借助奇異混合技術，將參數曲線曲面與奇異混合函數相混合，構造出帶局部形狀參數的插值曲線曲面[11-14]。

目前，關于帶形狀參數的曲線曲面造型方法已取得較為豐碩的研究成果，但值得注意的是，帶形狀參數的取值通常是一個區間。在實際問題中，為了使得曲線具有良好的光順性，往往需要確定形狀參數的最優取值。雖然文獻[15]利用遺傳算法對最優形狀參數的取值進行了研究，但僅局

限于三次 β樣條曲線的最優形狀參數的確定，可移植性不高。

本文基于曲線的光順準則建立了求解曲線形狀參數最優取值問題的通用數學模型，該模型能夠求解任何帶形狀參數曲線的近似最優形狀參數，具有良好的可移植性。并給出了利用遺傳算法求解該模型的過程，最后以兩類帶形狀參數的曲線為例，求解出各自近似最優的形狀參數，驗證所求的最優形狀參數能夠保證曲線具有較好的光順性。

1 參數曲線最優形狀參數模型的建立與求解

1.1 參數曲線最優形狀參數模型的建立

帶形狀參數曲線所帶的形狀參數通常是在一個區間內取值，而在實際問題中，往往需要確定形狀參數的最優取值，以使得曲線具有良好的光順性。

根據光順準則，曲線曲面的能量在很大程度上反映了曲線曲面的光順程度。當曲線的能量值最小時可得到最光順的曲線。因此參數曲線最優形狀參數的取值可以歸結為優化問題，考慮利用能量優化法求解形狀參數的最佳取值。首先給出曲線的能量定義，設某帶形狀參數的參數曲線為r(t)(a≤t≤b)，其中r(t)中含有形狀參數λi且λi∈I(i=1,2,…,n)。

曲線 r(t)的能量函數[16]可表示為：

為了保證曲線具有良好的光順性，需曲線的能量 E值最小。因此以曲線的能量函數作為目標函數，參數作為決策變量，形狀參數的取值范圍作為約束條件建立最優化模型如式(1)：

1.2 求解參數曲線最優形狀參數模型的求解

對式(1)的求解有很多方法，如牛頓法、共軛法等傳統優化算法以及遺傳算法、蟻群算法等智能算法。由于目標函數較為復雜且需要求導和求積運算，用傳統優化算法求解較為困難且容易得到局部極小，遺傳算法能夠很快地通過迭代尋找近似全局最優解，因此本文利用遺傳算法求解最佳形狀參數，首先給出遺傳算法的基本原理。

1.2.1 遺傳算法的基本原理

遺傳算法[17]是借鑒進化生物學中的進化現象而發展起來的優化算法。遺傳算法通過編碼、選擇、交叉和變異來實現。

(1) 編碼方案：采用二進制編碼來離散決策變量(形狀參數)，即將決策變量在區間上的連續取值離散轉換成二進制的代碼，形成染色體基因。碼長根據離散的精度來確定，設參數λ的變化區間為[a,b]，取決策變量的離散精度為ε。設碼長為L，根據算術編碼方案，取其中表示向上取整運算。任何一個長度為 L的碼字均對應于形狀參數在[a,b]上的某個取值。

(2) 基因選擇：在進化過程中，父代個體以一定概率被選擇去繁殖下一代。通常適應度高的個體更容易被選擇，適應度函數的構造方法有輪盤賭選擇方法[8]、錦標賽選擇方法[8]等。雖然適應度函數已經有很多構造方法，但它的選擇對遺傳算法的計算結果影響非常大。為了簡化，本文選取個體在能量函數中的函數值作為適應度函數，能量值低的個體適應度高。選擇能量函數值作為適應度函數不僅符合適應度函數的選取規則，還能減少迭代過程中的計算量，更重要的是在求解任意帶形狀參數的最優形狀參數時，不需修改適應度函數。

(3) 基因交叉：采用單點交叉。 假設在父代種群中有以下兩個個體：

以一定的交叉概率 Pc確定交叉點，在上例中不妨為下劃線的碼字。則通過交叉之后變為：

(4) 基因變異：對個體而言，基因變異是以一定的變異概率 P 改變染色體中的基因值。設個體：

若該染色體基因的第二位產生變異，則通過變異之后個體的染色體基因變為：

1.2.2 求解最優形狀參數的遺傳算法

對于最優化模型式(1)，采用遺傳算法求解，流程如下：

(1) 初始化。輸入遺傳算法的種群規模NP，雜交概率 Pc，變異概率 Pm，自變量離散精度ε，最大

進化次數N；

(2) 隨機產生規模為 NP的初始種群，同時對種群中的每個個體進行二進制編碼，如果有多個形狀參數，每個形狀參數均可視為種群中的某個個體，即分別進行；

(3) 計算種群 NP中各個體的適應度，以曲線的函數值作為適應度函數。并判斷個體是否符合優化準則，即能量值低的個體適應度高。若符合優化準則，則輸出，否則進行下一步；

(4) 根據雜交概率Pc對種群進行交叉操作，產生新個體；

根據變異概率 Pm對種群進行變異操作，產生新個體，轉入(3)。若算法的進化次數超過N，則停止迭代。

2 求解兩類帶形狀參數曲線最優參數取值實例

2.1 兩類帶形狀參數的參數曲線簡介

定義 1[1]. 給定 R2或 R3空間中 3個控制頂點Vi(i = 0,1,2)，則曲線：

為可調控的三次參數曲線，其中：

由文獻[1]可知，式(2)定義的可調控的三次參數曲線是二次 Bézier曲線的擴展，其具有許多與二次 Bézier曲線相似的性質，如端點性質、擬對稱性、凸包性和幾何不變性等。更重要的是，該曲線可以通過修改參數值而不是改變控制頂點來調整曲線的形狀，當控制頂點不變，形狀參數λ與μ分別取不同值時，可得到一組形狀不同的曲線，如圖1所示。

圖1 形狀參數取不同值時的三次參數曲線

此外，在設計復雜的自由曲線時，常常會遇到曲線段之間的拼接。設 r1(t)與 r2(t)分別為兩條可調控三次參數曲線，其中形狀參數為0≤ λ1,μ1≤ 3，r1(t)的控制頂點為 P0,P1,P2；r2(t)的控制頂點為 Q0,Q1,Q2。當P1，P2=Q0，Q1三點共線時，可調控的三次參數曲線段 r1(t)與 r2(t)之間滿足 G1拼接[1]。

定義2[10]. 給定4個控制頂點 b0,b1,b2,b3，則曲線：

為帶有形狀控制參數的三次代數三角插值樣條，簡稱CATI-樣條曲線，其中：

由文獻[10]可知，CATI-樣條曲線除了具有端點性、對稱性、保凸性、幾何不變性等性質之外還有形狀可調性，即給定4個控制頂點時，可通過改變參數λ的取值調整曲線的形狀，如圖2所示。

2.2 求解帶形狀參數曲線的最優形狀參數

2.2.1 求解可調控的三次參數曲線最優形狀參數

例如，給定控制頂點V0=(0,1)，V1=(1,2)，V2=(2,1)， V3=(3,0)， V4=(4,1)，V5=(5,2)，V6=(6,1)。根據定義1，分別由控制頂點 V0V1V2、V2V3V4、 V4V5V6定義 3條可調控的三次參數曲線ri(t)(i = 1,2,3)。取種群規模NP=300， Pc=0.9，Pm= 0.04， N= 100， ε= 0.005。利用遺傳算法分別求出3條參數曲線在各控制多邊形下參數曲線的最優能量值，如表1所示。

圖2 形狀參數取不同值時的CATI-樣條曲線

表1 可調控的三次參數曲線最優形狀參數及對應能量值

為了驗證遺傳算法所求結果為最優形狀參數，同時給出由控制頂點 V0V1V2定義的r1(t)在形狀參數取不同值時的能量值，如表2所示。

由表1和表2可知，當 λ= 1.5015，μ =1.497 7時參數曲線的能量值與λ， μ 取其他參數時曲線的能量值相比為最低，因此從曲線的能量值角度看，結果符合能量優化準則。

形狀參數取最優值及其他值時的曲線如圖 3所示，需要說明的是，由于V1V2V3，V3V4V5分別三點共線，故曲線段 r1(t)、r2(t)、r3(t)之間滿足G1連續。

表2 r1 (t)在形狀參數取不同值時的能量值

圖3 形狀參數λ,μ取不同值時的三次參數曲線

2.2.2 求解CATI-樣條曲線最優形狀參數

例如，設有 6 個控制頂點 b0= (0,0)，根據定義 2分別由控制頂點 b0b1b2b3、b1b2b3b4、b2b3b4b5定義3條帶有形狀控制參數的三次代數三角插值樣條曲線 ri(t)(i = 1,2,3)，其形狀參數分別為-0.5 ≤λ≤ 0.5。

根據遺傳算法，取種群規模NP=300， Pc=0.9，Pm= 0.04， N= 100， ε= 0.005。分別求出3條參數曲線在各控制多邊形下參數曲線的最優能量值，同時將最優形狀參數與其他參數取值的能量值進行比較，如表3所示。

形狀參數取最優值及其他值時的曲線如圖4所示，需要指出的是，在第二段樣條曲線中，最優參數曲線與 λ= 0.5時的參數曲線近似重合，這是因為

此時最優參數為0.498 7與0.5相近，且曲線的能量值也極為相近。同時，通過比較表1和表2可見，當 λ= 0.5時第 2段參數曲線的能量值比遺傳算法求得的曲線能量值還要低，但相差不大，這是遺傳算法的特點，因此該結果較為合理，可以作為優化問題近似最優解。

表3 CATI-樣條曲線不同形狀參數及能量值

圖4 λ取不同值時的CATI-樣條曲線

3 結 束 語

本文基于光順準則建立了求解帶形狀參數曲線最優參數取值的通用數學模型，并給出了利用遺傳算法求解該模型的具體步驟。最后以兩類帶形狀參數曲線為例驗證了該模型及求解算法的有效性。利用遺傳算法求解帶形狀參數曲線的最優參數取值問題具有可移植性，對于不同的帶形狀參數的曲線，均可利用本文所提出的方法求解形狀參數的最優取值。

[1] 李軍成. 一類可調控的三次多項式曲線[J]. 計算機工程與科學, 2010, 32(4)： 52-54.

[2] Yan Lanlan, Liang Jiongfen. An extension of the Bézier model [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218(6)： 2863-2879.

[3] Chen Jie, Wang Guojin. A new type of the generalized Bézier curves [J]. Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities, 2011, 26(1)： 47-56.

[4] Fan Feilong, Zeng Xiaoming. S-λ bases and S-λ curves [J]. Computer-Aided Design, 2012, 44(11)： 1049-1055.

[5] Zhu Yuanpeng, Han Xuli. A class of αβγ-Bernstein-Bézier basis functions over triangular domain [J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 220(17)： 446-454.

[6] Han Xuli, Zhu Yuanpeng. Curve construction based on five trigonometric blending functions [J]. BIT Numerical Mathematics, 2012, 52(4)： 953-979.

[7] Juhász I, Róth á. Closed rational trigonometric curves and surfaces [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2010, 234(8)： 2390-2404.

[8] Bashir U, Abbsa M, Ali J M. The G2 and C2 rational quadratic trigonometric Bézier curve with two shape parameters with applications [J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 219(20)： 10183-10197.

[9] 嚴蘭蘭, 梁炯豐, 黃 濤. 兩種帶形狀參數的三角曲線[J]. 圖學學報, 2012, 33(1)： 25-30.

[10] 楊 煉, 李軍成, 匡小蘭. 一類局部可調的三次代數三角插值樣條[J]. 計算機工程與科學, 2013, 35(5)：130-135.

[11] Xu Gang, Wang Guozhao. Extended cubic uniform B-spline and α-B-spline [J]. Acta Automatica Sinica, 2008, 34(8)： 980-984.

[12] Hoffmann M, Juhásza I. On interpolation by spline curves with shape parameters [C]//Advances in Geometric Modeling and Processing. Berlin Heidelberg, Springer, 2008： 205-214.

[13] 張 莉, 劉靜靜, 檀結慶. 多形狀參數的指數均勻B樣條曲線曲面[J]. 圖學學報, 2013, 34(3)： 29-35.

[14] Zhu Yuanpeng, Han Xuli, Han Jing. Quartic trigonometric Bézier curves and shape preserving interpolation curves [J]. Journal of Computational Information Systems, 2012, 8(2)： 905-914.

[15] 李彥紅, 穆國旺, 郭 增. 用遺傳算法確定三次β樣條曲線的形狀參數[J]. 計算機工程與應用, 2011, 47(9)：175-180.

[16] 朱心雄. 自由曲線曲面造型技術[M]. 北京： 科學出版社, 2000： 273-275.

[17] 龔 純, 王正林. 精通MATLAB最優化計算[M]. 2版.北京： 電子工業出版社, 2011： 313-317.

Optimal Parameter Values of the Curves with Shape Parameters

Liu Chengzhi, Li Juncheng, Yang Lian
(Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi Hunan 417000, China)

Although the curve with shape parameters has become one of the most popular topics in the curve modeling, but the values of shape parameters are always given as intervals, while in practice, the optimal parameter values is often needed to ensure that the curves have good fairness and smoothness. According to this problem, firstly, a automatic mathematical model which is based on the fairing criterion is established to obtain the optimal parameters, and then the concrete steps of genetic algorithm is given to solve the model. At the last, two classes of curves are used as examples to illustrate the effectiveness of our methods.

parameter curve; shape parameter; optimal value of parameter; fairness and smoothness; genetic algorithm

TP 391.72

A

2095-302X(2015)04-0532-05

2015-01-16；定稿日期：2015-03-04

湖南省教育廳科研資助項目(14B099)；湖南人文科技學院校級青年基金資助項目(2013QN07)

劉成志(1986–)，男，湖南洞口人，碩士研究生。主要研究方向為數值代數。E-mail：it-rocket@163.com