基于馬爾可夫鏈改進(jìn)的世界鋼鐵消費(fèi)量組合預(yù)測

郭培俊 （浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，浙江 溫州325003）

鋼鐵是國計(jì)民生的必需品，又是政府的限制品。如若盲目生產(chǎn)，事必導(dǎo)致企業(yè)生產(chǎn)能力更加過剩；如若停止生產(chǎn)，將導(dǎo)致市場對鋼鐵需求的缺乏及企業(yè)內(nèi)部職工生活不穩(wěn)定。因此，制定合適的生產(chǎn)銷售計(jì)劃顯得尤為重要。需求決定市場，市場決定生產(chǎn)，所以預(yù)測未來鋼鐵需求量比了解鋼鐵生產(chǎn)量更加重要［1］。

閻建明等［1］構(gòu)建了鋼材需求分析模型（MSAD），利用鋼鐵行業(yè)歷史數(shù)據(jù)分析預(yù)測了特定年行業(yè)產(chǎn)量；翁克勤［2］利用比較分析法，通過人均GDP將工業(yè)發(fā)展分為4個階段，比較各發(fā)達(dá)國家的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)與人均鋼材消費(fèi)飽和點(diǎn)，分析了我國的人均鋼材消費(fèi)量飽和點(diǎn)，對我國工業(yè)化后期人口進(jìn)行了估算，預(yù)測了我國工業(yè)化后期的鋼材表觀消費(fèi)量；韋保仁［3］利用市場導(dǎo)向分析法，將鋼鐵市場劃分為4個，對中長期的鋼鐵產(chǎn)量進(jìn)行了分析預(yù)測；朱及天等［4］運(yùn)用3種不同方法（比較法、線性回歸法、增長率法）的結(jié)果取平均值法，預(yù)測了未來國內(nèi)市場的鋼鐵需求；王禮［5］通過模型組合（彈性系數(shù)法、消費(fèi)強(qiáng)度法、多元線性回歸模型、灰系統(tǒng)模型），預(yù)測了“十二五”期間我國對鋼的需求及其供需平衡；吳新春［6］建立生命曲線Verhulst模型，預(yù)測未來2015年中國粗鋼消費(fèi)量。以上幾種對鋼鐵消費(fèi)量預(yù)測模型，除了要用到較多的歷史數(shù)據(jù)外，最大缺憾是沒有進(jìn)行誤差分析，對模型的精度無從鑒定。而對于未來數(shù)據(jù)的預(yù)測往往與就近年代的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性最強(qiáng)，且要求預(yù)測精度盡量高。

GM（1，1）模型［7］是最為常用的預(yù)測模型之一，基于隨機(jī)的原始時間序列，按時間累加后形成新的時間序列，呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程逼近。經(jīng)證明，當(dāng)原始時間序列隱含著指數(shù)變化規(guī)律時，用GM（1，1）模型預(yù)測非常成功。

筆者所研究的世界鋼鐵消費(fèi)量，其數(shù)據(jù)在2007～2010出現(xiàn)了上下波動，且原始數(shù)據(jù)有限，若單一使用GM（1，1）模型來預(yù)測，僅適用于短期預(yù)測，且模型值比較粗糙；若用適合于長期預(yù)測的多項(xiàng)式模型來進(jìn)行平衡或矯正，預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確率將大有改進(jìn)；利用首次的綜合預(yù)測結(jié)果，再結(jié)合馬爾可夫鏈預(yù)測方法，把點(diǎn)預(yù)測改進(jìn)成有一定可信度的區(qū)間預(yù)測，有望進(jìn)一步提高預(yù)測的有效性［8～10］。

馬爾可夫鏈預(yù)測方法的基本思路則是通過原始數(shù)據(jù)序列求得序列的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，再根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對未來變化趨勢做出估計(jì)［11］。因此，可以通過對組合預(yù)測模型結(jié)果進(jìn)行馬爾可夫鏈改進(jìn)來提高預(yù)測的準(zhǔn)確性，即“組合－馬爾可夫鏈”預(yù)測。對于組合模型得到的預(yù)測結(jié)果，根據(jù)馬爾可夫鏈方法獲得組合模型在已知年份里的偏差規(guī)律（即偏差的狀況轉(zhuǎn)移矩陣），依照此規(guī)律對組合模型結(jié)果進(jìn)行修正，將組合模型預(yù)測的結(jié)果由數(shù)值修正為區(qū)間和概率組成的預(yù)測范圍，增加預(yù)測的可信度。

1 GM（1，1）模型

設(shè)對數(shù)列x（0）＝（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））建立的一階線性微分方程為：

該方程的白化解為：

GM（1，1）動態(tài)預(yù)測模型：

k點(diǎn)的殘差p（k）和相對誤差ε（k）分別為：

同理，對于組合模型，也先求出相對誤差ε（k）。

把相對誤差分成5個狀態(tài)（見表1），根據(jù)頻數(shù)算出對應(yīng)的狀態(tài)概率：

根據(jù)狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移情況及轉(zhuǎn)移次數(shù)算出相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率：

表1 相對誤差5種狀態(tài)

2 馬爾可夫鏈

馬爾可夫鏈基本方程為：

其中，αi（n）和pij滿足：

記：

則馬爾可夫鏈基本方程可表示為：

由此可以得到：

3 實(shí)例分析

3.1 數(shù)據(jù)的獲取

國際鋼鐵協(xié)會（Worldsteel.org）是全球最大最有活力的工業(yè)組織之一，會員包括64個國家170家鋼鐵生產(chǎn)企業(yè)，這些國家是世界鋼鐵產(chǎn)品的最大消費(fèi)國，國際鋼鐵協(xié)會會員的鋼鐵產(chǎn)量占到全世界的85%左右。由于最近期一個版本數(shù)據(jù)只能查到7年之內(nèi)的信息，且7年前當(dāng)年的資料在先后2個版本中不一樣，在新一版本中會有所調(diào)整，所以2003～2005年的資料要分別查用3個最近版數(shù)據(jù)。如2003年數(shù)據(jù)要通過7年后的2010年版本落定，而2004和2005年數(shù)據(jù)要分別用2011年和2012年版本。通過搜集4個版本的《世界鋼鐵統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)》，共得到從2003～2012年共10年的鋼鐵表觀消費(fèi)量，具體數(shù)據(jù)見表2。

3.2 GM（1，1）模型建立及求解

取原始資料作數(shù)列：

作一次累加得：

以x（0）為基礎(chǔ)構(gòu)造Y＝（x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（10）），即：

利用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)法對數(shù)列x（1）中的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的平滑（二項(xiàng)平均），具體采用公式λx（1）（k－1）＋（1－λ）x（1）（k），一般取加權(quán)系數(shù)λ＝0.5對x（1）中的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，平滑后的新數(shù)據(jù)填入下面矩陣B中的第一行：

表2 2003～2012年世界鋼鐵表觀消費(fèi)量

用Matlab軟件編程計(jì)算得：

代入（1）（k＋1）＝得：

即：

由于：

且規(guī)定（0）（1）＝（1）（1）＝885.4。

根據(jù)式（1）、（2）計(jì)算出模型值，結(jié)果見表3。對模型值進(jìn)行殘差和相對誤差檢驗(yàn)，平均相對誤差＝3.885%。2009年的殘差和相對誤差都明顯偏大，這與2008年金融危機(jī)的慣性影響導(dǎo)致世界鋼鐵消費(fèi)量突然下降密切相關(guān)。

3.3 多項(xiàng)式擬合

用2003～2012年的原始值，分別采用一次、二次、三次多項(xiàng)式擬合，擬合函數(shù)分別為：

擬合平均相對誤差分別是：＝3.11%，＝2.77%＝2.67%，都小于5%，說明模型精度均高。

3.4 組合模型

由于二次多項(xiàng)式、三次多項(xiàng)式的趨勢分別是凸的和凹的，而一次多項(xiàng)式是直線型的，且它們都屬于長期趨勢預(yù)測，所以把這3個擬合函數(shù)和短期趨勢預(yù)測GM（1，1）模型組合起來進(jìn)行預(yù)測。組合模型為：

模型結(jié)果如表4所示，4種模型的擬合曲線見圖1所示。

表3 GM（1，1）模型值檢驗(yàn)結(jié)果

表4 4種模型值平均相對誤差構(gòu)成狀態(tài)

總平均相對誤差為＝｜（k）｜＝2.74%。

3.5 組合模型的馬爾可夫鏈改進(jìn)

針對表4所設(shè)狀態(tài)，得到2004～2012年?duì)顟B(tài)轉(zhuǎn)移情況，如表5所示。

由此得相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

由狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量公式α（n）＝α（n－1）P＝α（0）Pn和2012年的狀態(tài)向量α（0）＝（0，0，1），計(jì)算得馬爾可夫鏈狀態(tài)向量，如表6所示。

圖1 4種模型的擬合曲線

表5 狀態(tài)轉(zhuǎn)移

表6 2013～2017年鋼鐵需求量預(yù)測結(jié)果的馬爾可夫鏈狀態(tài)

現(xiàn)把4種方法預(yù)測結(jié)果及組合預(yù)測值匯總，如表7所示。

表7 4種方法預(yù)測結(jié)果及組合預(yù)測值匯總表

按照狀態(tài)1、2、3在各年份分別出現(xiàn)的概率大小，對組合預(yù)測結(jié)果（預(yù)測中值）進(jìn)行分區(qū)間處理，其預(yù)測區(qū)間如表8所示。預(yù)測結(jié)果，采用保守原則，可取預(yù)測區(qū)間的最小值；若用樂觀原則，則取預(yù)測區(qū)間的最大值。其預(yù)測結(jié)果如圖2所示。

表8 2013～2017年世界鋼鐵消費(fèi)量組合預(yù)測馬爾可夫鏈改進(jìn)結(jié)果

圖2 世界鋼鐵表觀消費(fèi)量及預(yù)測結(jié)果

國際鋼鐵協(xié)會在第47屆年會上發(fā)布的2013～2014年全球鋼鐵業(yè)短期展望報告。該報告中顯示，2013年全球鋼材表觀消費(fèi)量將達(dá)14.75×108t（1475×106t）［12］，在模型的預(yù)測范圍1426.49～1567.75內(nèi)（可信度87.75%）；2014年將達(dá)15.23×108t（1523×106t），也在模型的預(yù)測范圍1503.87～1662.17內(nèi)（可信度89.06%），且是保守預(yù)測。

［1］閻建明，蒲剛清，劉貞，等 .基于分行業(yè)級別的鋼鐵需求預(yù)測研究 ［J］.科技管理，2008（12）：254～258.

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［4］朱及天，洪天求 .我國鋼鐵需求預(yù)測及鐵礦資源安全供給對策 ［J］.金屬礦山，2006（10）：9～12.

［5］王禮 .中國對鋼鐵資源的長期需求預(yù)測 ［J］.地質(zhì)與勘探，2012（6）：1129～1133.

［6］吳新春.2015年中國鋼鐵需求預(yù)測 ［J］.武鋼技術(shù)，2012（4）：1～3.

［7］鄧聚龍.灰色預(yù)測與決策 ［M］.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1986：125～134，150～159.

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［9］汪同三，張濤.組合預(yù)測——理論、方法及應(yīng)用 ［M］.北京：社會科學(xué)文獻(xiàn)出版社，2008：1～85.

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［12］世界金屬導(dǎo)報 .國際鋼協(xié)：2013年全球鋼材表觀消費(fèi)量同比增長3.1% ［EB／OL］.http：／／www.worldmetals.com.cn／hyyw／201310／t20131014＿244529.htm，2013－10－14.