（G′／G）展開法求解（2＋1）維PBLMP方程的新精確解

袁萍 （長江大學文理學院，湖北 荊州434020）

1 引言

孤立子、渾沌、分形等非線性現象普遍存在于自然科學和社會科學中，而這些現象大都可以通過建立非線性偏微分方程來描述。因此，對非線性偏微分方程精確解的研究已經成為一項重要工作。為解決非線性問題，目前已形成較多的求解方法，如齊次平衡法［1，2］、Backlund變換［3］、逆散射方法［4］等。近年來，G′／G展開法［5］也被提出，該方法具有直接、簡潔的特點，能有效地求解許多非線性偏微分方程。

考慮（2＋1）維Potential Boiti－Leon－Manna－Pempinelli方程（PBLMP方程）［6］：

文獻 ［7］對PBLMP方程進行了painleve分析，得到了該方程的Lax對和精確解；文獻 ［8，9］通過多線性分離變量法得到該方程的鐘型解和含2個任意函數的分離變量解；文獻 ［10］利用經典李群方法得到了方程的4組相似約化，進而得到了方程的有理函數解、Jacobi橢圓函數解、雙曲函數解與三角函數解。下面，筆者利用（G′／G）展開法研究了（2＋1）維PBLMP方程，利用Maple軟件得到方程的一些新精確解。

2 PBLMP方程新精確解的求解過程

為了求解方程（1），令：

代入方程（1）得：

將方程兩邊同時對ξ積分一次，并置積分常數為0，得：

設方程（2）的解為：

式中，m為正整數；ai與a－i不同時為0；G＝G（ξ）滿足二階常微分方程：

結合式（4），將式（3）代入方程（2），由齊次平衡原理，考慮到方程（2）中最高階導數u?與非線性項－3（u′）2的齊次平衡，得，則m＋3＝2（m＋1），得m＝1。記＝p，則：

其中：

將式（5）代入方程（2），并結合式（6），合并p的同次冪，并令其系數為0，得到一組關于a－1，a0，a1，λ，μ，ω的代數方程組：

利用Maple求解上面的方程組，得到以下4組系數關系：

（i）λ＝0，ω＝－4μ，a－1＝0，a1＝－2，μ和a0為任意常數；

（ii）λ＝0，ω＝－16μ，a－1＝2μ，a1＝－2，μ和a0為任意常數；

（iii）ω＝λ2－4μ，a－1＝2μ，a1＝0，λ、μ、a0為任意常數；

（iv）λ＝0，μ＝0，ω＝－3a－1，a1＝0，a0和a－1為任意常數。

1）將λ＝0，ω＝－4μ，a－1＝0，a1＝－2代入式（5），得到方程（1）的通解：

其中，G滿足G″＋μG＝0；ξ＝x＋y＋4μt；μ，a0為任意常數。

當μ＜0時，由G″＋μG＝0有：

得方程（1）的雙曲函數解：

特別地，當C1≠0，C2＝0時，u11＝a0－2，解的形式與文獻［10］相同。

當μ＞0時，由G″＋μG＝0有：

得方程（1）的三角函數解：

特別地，當C1≠0，C2＝0時，u12＝a0＋2，解的形式與文獻［10］相同。

2）將λ＝0，ω＝－16μ，a－1＝2μ，a1＝－2代入式（5），得到方程（1）的通解：

其中，G滿足G″＋μG＝0；ξ＝x＋y＋16μt。

當μ＜0時，得方程（1）的雙曲函數解：

當μ＞0時，得方程（1）的三角函數解：

3）將ω＝λ2－4μ，a－1＝2μ，a1＝0代入式（5），得到方程（1）的通解：

其中，G滿足G″＋λG′＋μG＝0；ξ＝x＋y＋（λ2－4μ）t；λ為任意常數。

當λ2－4μ＞0時，由G″＋λG′＋μG＝0有：

得方程（1）的雙曲函數解：

當λ2－4μ＜0時，由G″＋λG′＋μG＝0有：

得方程（1）的三角函數解：

當λ2－4μ＝0時，方程（1）的解沒有實際物理意義，不作討論。

3 結語

利用G′／G展開法對（2＋1）維PBLMP方程進行求解，得到了方程一些與文獻 ［8～10］形式不同的新解，拓展了G′／G展開法的應用，豐富了（2＋1）維PBLMP方程的解的形式。從求解的過程可以看出，G′／G展開法具有簡潔、直接的特點，此法也可以推廣到求更為復雜的非線性偏微分方程的其他精確解。

［1］Wang M L.Exact Solutions for a Compound Kdv－Burgers Equation ［J］.Physics Letters A，1996，213（5－6）：279～287.

［2］王明亮，李志斌，周宇斌 .齊次平衡原理及其應用 ［J］.蘭州大學學報（自然科學版），1999，35（3）：8～16.

［3］曾昕，張鴻慶 .（2＋1）維Boussinesq方程的Banklund變換與精確解 ［J］.物理學報，2005，54（4）：1476～1480.

［4］Ablowitz M J P，Clarkson P A.Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering ［M］.New York：Cambridge University Press，1991.

［5］Wang M L，li X Z，ZhanG J L.The（G′／G）－Expansion Method and Travelling Wave Solutions of Nonlinear Evolution Equations in Mathematical Physics［J］.Physics Letters A，2008，372（4）：417～423.

［6］Dai C Q，Zhou G Q.Exotic Interactions between Solution of the（2＋1）－dimensional Asymmetric Nizhnik－Noyikov－Veselov Systems ［J］.Chinese Physics，2007（615）：1201.

［7］Estevez P G，Lebles.A Wave Equation in 2＋1：Painleve Analysis and Solutions ［J］.Inverse Problems，1995，11（4）：925.

［8］Tang X Y，Lou S Y，Zhang Y.Localized Excitations in（2＋1）－dimensional Systems ［J］.Physical Review E，2002，66（4）：46～60.

［9］Lou S Y，Tang X Y.Methods of Nonlinear Mathematical Physics ［M］.BeiJing：Science Press，2006.

［10］劉勇，劉希強，王振立 .（2＋1）維Potential Boiti－Manna－Pempinelli方程的對稱、約化和精確解 ［J］.量子電子學報，2014（31）：533～540.