極紫外波段變柵距光柵刻槽密度變化及光譜分辨能力分析

李文昊，姜巖秀，吳 娜，張 桐，王 鹍

(中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春 130033)

1 引 言

同步輻射光源具有光譜連續、準直性高、亮度大等特點，還具有偏振以及脈沖時間結構，同時其光譜性能可預知并可精確調節，廣泛應用于各科學研究領域［1-4］。由于要對傳輸到實驗站的光源的光譜進行診斷，所以需要一個高分辨率的在線光譜儀。考慮到保持較高的能量傳輸特性和后續光束線傳播，一般采用變柵距光柵作為該光譜儀的核心元件［5-8］。

全息曝光制作變柵距光柵的方法分為兩種［9-11］，一種方法是球面波干涉曝光，另一種方法是非球面波干涉曝光。與球面波曝光相比，非球面波曝光增加了記錄參數的自由度，理論計算可設計出與期望刻槽密度函數完全符合的變柵距全息光柵以消除高階像差。但是非球面波曝光系統缺陷相對較多。在理論上，非球面波曝光系統的全息光柵理論公式存在較大的誤差，導致理論模型與實際條紋分布不符［12-13］;在實際制作中，非球面曝光系統設計、加工及調試難度極大，工藝上不易實現，往往導致制作的變柵距全息光柵的刻槽密度函數與期望刻槽密度函數存在更大的誤差。對于應用在同步輻射裝置的變柵距光柵，由于只要求消除某些特定的像差，因此多數采用相對簡單的曝光系統制作。球面波曝光光路僅有4個記錄參數，工藝上實現調試精度相對容易，可得到符合設計要求的變柵距全息光柵。

球面波曝光系統調試簡單，但是制作的光柵的刻槽是彎曲的。在對記錄參數優化設計時，只能令光柵子午線上各點的刻槽密度設計值與期望值相符。本文分析了球面波曝光系統制作的不同寬度光柵的刻槽密度分布以及光譜分辨能力，為變柵距光柵的曝光系統的選擇提供了依據。

2 曝光系統的優化設計

2.1 球面波曝光系統

圖1為變柵距全息光柵的球面波記錄光路圖。球面波曝光系統通過C點和D點光源發出波長為λ0的兩束相干球面波，以不同的角度入射在平面光柵基底G表面形成干涉場，光路示意圖如圖1所示。光柵基底G位于坐標系xyz中，其原點O為光柵基底中心，x軸平行于光柵表面法線方向，y軸垂直于光柵刻槽方向，z軸平行于光柵刻槽方向。記錄光源C點和D點位于xOy平面內，C點到光柵中心的距離為rC，與光柵法線夾角為γ;D點到光柵中心的距離為rD，與光柵法線夾角為δ。即記錄臂長分別為rC和rD，記錄角度分別為γ和δ。γ和δ的正負分別由光線CO和DO決定，其在xyz坐標系下第一象限為正，第四象限為負。

圖1 球面波曝光系統示意圖Fig.1 Spherical wavefront recording system

從光程函數出發，根據球面波幾何理論計算基底上任意一點的光程差，將費馬原理應用到光程函數中，并對其進行級數展開，最終得到球面波曝光系統制作的變柵距光柵的刻線密度函數表達式［14］:

其中系數nij是關于曝光光路記錄參數(γ，rC，δ，rD)的函數，具體數學形式為:

2.2 曝光光路的優化設計

光柵使用結構［8］如圖2所示。平面變柵距光柵的作用是光譜的在線診斷，要求在100 nm處光譜分辨能力達到12 000。光束以α角入射到平面變柵距光柵表面，在各個使用波段其聚焦位置不共線，聚焦曲線擬合為一個圓形，具體使用要求為:使用波段為50～150 nm;中心刻線密度為600 gr/mm;面積為10 mm×30 mm;光譜級次 m=+1;入射角 α =87.6°;入臂 rA=19 000 mm;使用波長為100 nm時，出臂rB=1 500 mm。

圖2 在線光譜儀使用結構示意圖Fig.2 Optical layout of the online spectrograph

由上述的儀器使用要求，計算得到變柵距光柵期望的子午面刻槽密度函數表達式為［13］:

采用圖1所示的球面波曝光系統設計并模擬變柵距全息光柵，式(3)為根據光譜儀器使用要求得到的平面變柵距光柵刻槽密度表達式。對變柵距全息光柵記錄參數進行優化設計，選擇合適的記錄參數使制作出來的變柵距光柵的子午線上的刻槽密度函數在光柵有效區域內逼近式(3)。變柵距光柵刻槽密度函數是一個以4個記錄參數為變量的多變量函數，需要建立以式(3)作為期望函數的變柵距光柵刻槽密度目標函數。使用光柵表面刻槽密度誤差的平方和的形式來建立優化目標函數，得到目標函數表達式為:

使用改進局部算法對球面波曝光系統條件下的平面變柵距全息光柵進行優化設計。優化結果如表1所示。

表1 球面波曝光系統的記錄參數Table1 Recording parameters of the plane VLS grating

根據優化結果繪制刻槽密度函數及其誤差分布曲線，如圖3和圖4所示。由圖可知，平面變柵距光柵的刻槽密度分布曲線在光柵有效區域基本重合，其設計值與期望值的絕對誤差約為0～0.007 gr/mm，相對誤差約為 1.2 × 10-5，刻槽密度符合程度較好，滿足設計要求。

圖3 刻槽密度函數分布曲線Fig.3 Groove density curve of VLS grating

圖4 刻槽密度函數誤差分布曲線Fig.4 Error curve of VLS grating between designed and expected groove density

3 光柵刻槽密度變化及光譜分辨能力分析

球面波曝光系統采用兩個點光源發出的球面波在基底表面干涉曝光的方式來制作變柵距光柵。由幾何光學原理可知，這種方法制作的變柵距光柵刻槽是彎曲的，因此只有光柵子午線的刻槽密度符合期望刻槽密度，其他平行于其子午線的光柵刻槽密度與期望存在一定的誤差。變柵距光柵的刻槽密度函數決定光柵的光譜分辨能力，刻槽密度誤差會直接降低光柵光譜分辨能力，因此有必要對球面波制作的平面變柵距光柵刻槽密度分布以及光譜成像進行分析。

3.1 光柵刻槽密度對比分析

由表1的記錄參數以及式(1)和(2)可得，變柵距光柵期望和設計刻槽密度函數表達式分別為:

由式(5)中變柵距光柵期望和設計刻槽密度函數的對比可知，球面波曝光系統制作的變柵距光柵，在光柵表面上每條平行于子午線上的刻槽密度分布都是不同的，隨著光柵表面y軸上的位置點l而變化。光柵刻槽密度如圖5所示。

圖5 彎刻槽光柵示意圖Fig.5 Bending groove of grating

根據式(5)光柵期望和設計的刻槽密度函數計算在光柵有效區域內平行于子午線上的光柵刻槽密度分布曲線以及實際值與設計值的絕對誤差曲線，如圖6和圖7所示。圖6為z軸坐標分別為 -4，-2，0，2，4 mm，即 l=-4，-2，0，2，4 mm時的光柵刻槽密度分布曲線。圖7為不同軸上各點光柵刻槽密度的絕對誤差分布曲線。

圖6 光柵刻槽密度分布Fig.6 Groove density curve of VLS grating

圖7 光柵刻槽密度絕對誤差分布Fig.7 Error curve of VLS grating between designed and expected groove density

由圖6可知，不同軸上的刻槽密度分布曲線基本上成比例的對稱分布，曲線變化主要為軸向平移，說明光柵刻槽密度誤差主要是由中心刻槽密度引起。由圖7可知，l=±2 mm時，刻槽密度誤差絕對值為0.3 gr/mm;l=±4 mm時，刻槽密度誤差絕對值為0.7 gr/mm。這說明z軸上的坐標值l越大，光柵刻槽密度的誤差就越大。

由以上分析可知:(1)z軸上的坐標值l越大，刻槽彎曲引起的光柵刻槽密度的誤差就越大;(2)對于寬度較小的光柵來說，刻槽彎曲主要影響不同軸上光柵的中心刻槽密度;(3)對于寬度較大的光柵來說，刻槽彎曲對中心刻槽密度以及與離焦相關的刻槽密度一次項系數n10的影響較大。

3.2 光柵光譜分辨能力對比分析

由費馬原理可知，A點光源發出的光經過光柵在像平面上的B點會聚，光程函數滿足:

即為完全消除像差，要求各項像差Fij=0。但是，在實際中不可能實現在光譜儀器的全工作波段完全消除像差，只能在光柵的設計時有針對性地消除主要像差，因此，光柵不可避免地存在一定的像差。由于像差的存在，光源發出的光經平面變柵距光柵后不會在成像面上呈現為理想的像點，在子午方向和弧矢方向分別會有譜線展寬和譜像加長。而譜線展寬會降低光譜分辨能力，譜像加長會降低儀器的光通量。因此，需要分析像差對分辨能力的影響。

根據瑞利準則［15］，任何光譜儀器的理論分辨能力為色散元件的角色散和有效孔徑在子午面上寬度的乘積，因此根據光柵的角色散公式得到光柵的理論分辨率為:

衍射極限引起的波長差為:

由于像差的存在，光譜分辨率不僅由光柵自身的衍射極限所決定，還需要考慮像差對光譜分辨率的影響。像面子午方向上產生的位移偏移量為Δw，根據光柵線色散公式，子午方向上位移偏移量Δw引起的波長差可表示為:

因此，Δw引起的波長差為:

通常情況下，只考慮光柵的主要像差，包括離焦像差、慧差、球差和像散:

其中m為光柵衍射級次，d為光柵常數，W和L分別為光柵有效區域的半寬度和半長度。

綜上所述，變柵距光柵自身的理論分辨率為:

理論分辨能力為:

由式(5)中設計的變柵距光柵刻槽密度函數可知，刻槽彎曲對離焦以及像散影響較大，因此我們根據式(12)和(13)計算離焦和像散像差對光柵帶寬的影響。圖8(a)為不同寬度下刻線彎曲引起的光譜帶寬變化，圖8(b)為不同寬度下對應的光柵光譜分辨能力的變化。

圖8 刻線彎曲引起的光譜帶寬變化(a)及其對光柵光譜分辨能力的影響(b)Fig.8 Effects of the bending degree of groove on the wavelength variation(a)and spectra resolution(b)

由圖8可知，隨著光柵寬度的增加，離焦和像散像差引起的帶寬Δλ明顯變大，降低了光柵的理論分辨能力。在50～150 nm波段，當光柵寬度為4 mm時，理論分辨能力高于14 000;當光柵寬度為10 mm時，理論分辨能力約為9 000，當光柵寬度為30 mm時，理論分辨能力急劇下降，約為3 000。光柵分辨能力的設計要求為10 000，所以寬度大于10 mm的光柵均未達到設計要求。

4 結 論

對采用球面波曝光系統制作的應用于50～150 nm波段的第四代同步輻射裝置中的變柵距全息光柵的刻槽密度分布及光譜分辨能力進行了分析。結果表明，采用球面波曝光系統制作的變柵距光柵的刻槽是變間距且彎曲的，刻槽彎曲程度由記錄參數和光柵的寬度共同決定。光柵的寬度越大，其刻槽彎曲程度就越大，即引起的刻槽密度誤差越大，離焦和像散像差引起的帶寬也越大。在50～150 nm的使用波段范圍內，當光柵寬度為4 mm時，理論分辨能力高于14 000;當光柵寬度為30 mm時，理論分辨能力急劇下降，約為3 000，遠低于設計要求。因此，球面波曝光系統只適合制作寬度較小的變柵距光柵。

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