基于譜元法的加筋雙層板聲透射分析

李蘭清，鄭 輝,2

（1.上海交通大學 上海市復雜薄板結構數(shù)字化制造重點實驗室，上海 200240；2.上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240）

基于譜元法的加筋雙層板聲透射分析

李蘭清1，鄭 輝1,2

（1.上海交通大學 上海市復雜薄板結構數(shù)字化制造重點實驗室，上海 200240；2.上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240）

首先應用譜元法(SEM)建立簡支加筋雙層板結構在簡諧平面聲波激勵下的振動響應分析模型，將所得結果與有限元法(FEM)計算結果對比，表明譜元法(SEM)在求解該類問題時具有精度高和求解速度快的優(yōu)點。然后應用Rayleigh積分求解加筋雙層板結構路徑傳聲的透射聲功率。在筋板截面面積不變的約束條件下，研究筋板傾角與面板間距在聲波正入射情況下對透射側面板輻射聲功率的影響。結果表明：筋板傾角越大，加筋雙層板的透射聲功率越小；在傾角小于22o的情況下，隔聲性能隨著面板間距的減小而提高。分析結果對加筋雙層板的結構設計與隔聲優(yōu)化具有一定的指導意義。

聲學；加筋雙層板；聲透射；譜元法；振動—聲學響應；輻射聲功率

加筋雙層板具有質(zhì)量輕、剛度大、良好的抗沖擊性能等優(yōu)點，在諸如汽車、航天、航空和航海等領域有著廣泛應用。同時，由于結構的特殊性，在聲學領域，也常被用作隔聲材料，尤其對載運工具高速行駛時的空氣動力噪聲起到隔聲作用。

聲透射損失作為加筋雙層板的振動-聲學性能指標之一，和諸如比強度和比剛度等力學性能指標一樣吸引了許多學者開展大量的理論和實驗研究。辛鋒先等人對這一領域已開展的研究工作進行了較為全面的綜述[1]。在理論研究方面，大多數(shù)解析模型對筋板進行了簡化，如簡化成剛性體或平移/轉動彈簧等[2]。近期分析夾層板聲輻射問題相對完備的理論模型是Xin和Lu[3]的模型。他們的理論模型不僅考慮了筋板質(zhì)量的慣性影響，并在振動控制方程中增加了筋板扭轉力矩引起的慣性項。在實驗研究方面，王巧燕和葛劍敏[4]用混響室—混響室法針對高速機車車體用波紋夾層板的隔聲性能進行系統(tǒng)測量，分析了雙層鋁合金加筋板的面板厚度、面板間距等各項參數(shù)對其隔聲性能的影響。除了理論與試驗研究，數(shù)值仿真方法由于不受幾何復雜性的限制也被用于求解結構的振動響應。如有限元法(FEM)和邊界元法(BEM)或者它們的組合被廣泛應用于求解夾層板結構的振聲學響應。王義柏等人就曾用FEM研究單向加筋雙層板的隔聲性能[5]。但用FEM計算結構的振聲學響應時，隨著頻率的增大，要不斷細化網(wǎng)格尺寸，以保證求解精度。Alford等人曾提出網(wǎng)格尺寸最好小于1/10～1/20的最高頻率所對應的波長[6]。根據(jù)Alford等人提出的網(wǎng)格劃分準則，有限元法在求解高頻問題時存在網(wǎng)格數(shù)量多、內(nèi)存需求大、耗時長等缺點，尤其在求解二維、三維問題時更為突出。

相較于有限元法的剛度矩陣與頻率無關，譜元法(SEM)采用基于波動解推導的插值函數(shù)，該插值函數(shù)與頻率相關且波動解在頻域內(nèi)精確滿足運動方程，因此SEM可以提供更加精確的頻域解[7]。譜單元法理論是上世紀80年代由Patera提出，早期主要用于計算流體動力學[8]。后來Seriani等人[9,10]將譜元法用于聲學問題和彈性波傳播問題。他們提出的一維和二維矩形單元用于均勻介質(zhì)中的聲波和彈性波傳播分析，顯示了該方法的優(yōu)點：即使在中頻域也能得到滿意的聲波傳播計算結果。Birgersson等人[11]基于SEM針對單層板結構建立了高頻分布隨機載荷激勵下的振動響應模型。Ei-Raheb[12]用譜元法(SEM)研究了夾層梁的聲透射問題。

本文首先應用SEM推導桿的縱向振動與歐拉-伯努利梁橫向振動的譜元公式[13]。然后在不考慮加筋雙層板與聲腔介質(zhì)耦合的前提下，基于譜元法(SEM)建立了加筋雙層板結構傳遞路徑(Structure borne transmission path)的振動響應模型。利用桿—梁譜單元的組合來求解加筋雙層板結構在簡諧平面波激勵下的振動響應，所得結果與有限元計算結果比較，驗證譜元法的可靠性與優(yōu)越性。隨后應用Rayleigh積分計算透射側在激勵頻帶內(nèi)的平均聲功率，在筋板截面面積不變的約束條件下，研究筋板傾角與面板間距等元素在聲波正入射條件下對加筋雙層板聲透射的影響。

1 桿與梁的譜元公式

1.1 縱向振動桿的譜元公式

縱向振動的均質(zhì)桿控制方程為

式中E、A、ρ、u(x、t)分別表示桿的彈性模量、橫截面積、密度和縱向位移。軸向內(nèi)力為

對位移u(x,t)進行Fourier分解，可得

其中Un(x,ωn)是位移u(x,t)的譜分量，將式(3)代入式(1)并忽略下標n，可得到式(1)的通解

設長為L的軸向振動桿的結點位移向量為

結點的軸向力為f=[N1N2]T，根據(jù)式(2)、式(5)與式(6)可以得到結點的位移—力的關系，其中S(ω)為與頻率相關的剛度矩陣。

1.2 Euler-Bernoulli梁的譜元公式

Euler-Bernoulli梁橫向振動的控制方程為

剪切內(nèi)力Q(x,t)、彎矩M(x,t)與橫向位移w(x,t)的關系如下

與桿的譜元公式類似，將梁的橫向位移w(x,t)寫成如下形式

根據(jù)式(9)、式(10)與式(11)，可得結點力與位移的關系為

1.3 桿—梁組合系統(tǒng)的譜元公式

為了滿足相鄰單元在邊界上位移與力的連續(xù)性，將式(7)與式(12)加以整合，可以得到局部坐標系下譜單元結點力與結點位移的關系為

為了求解整體結構的動力學特性，需將局部坐標下的譜單元剛度矩陣與所受外力矩陣變成整體坐標。按照一定的關系組合，可以得到整個系統(tǒng)結點力與結點位移的關系為

式中S(ω)為整體坐標下的結構剛度矩陣，與頻率有關。通過求解式(15)，即可求出整個系統(tǒng)的振動響應。

2 譜元法求解加筋雙層板在聲波激勵下的振動響應

本文將只考慮結構路徑傳聲的加筋雙層板看作是一個桿梁組合系統(tǒng)，應用譜元法來求解該桿梁系統(tǒng)在簡諧平面波激勵下的振動響應。加筋雙層板的結構模型如圖1所示。

圖1 梯形加筋雙層板模型

該組合系統(tǒng)的梁可以分為三類：

①下梁：下層梁受到斜入射角度為θ的聲激勵作用，厚度為h1，長度為L；

②筋梁：中間筋板梁連接上下兩層梁，厚度為h2，共有N根筋，筋板與豎直方向傾角為α，N根筋與兩面板的中心平等線相交于垂直線的中點；

③上梁：上層梁對外輻射聲壓，厚度為h3，與下層梁的間距為H。

如圖1所示，結構的幾何參數(shù)為：L=1 m，H=0.1 m，h1=h2=h3=0.005 m，α=10o，筋的數(shù)量N=10。結構材料參數(shù)為：楊氏模量E=7.1×1010Pa，泊松比v=0.33，密度 ρ=2 700 kg/m3，阻尼系數(shù)η=0.1。聲波壓力 f(x)=，其中kx=ω/c0×sinθ，P0=1。

分別使用有限元法和譜元法計算該結構在簡諧平面波斜入射角度θ=30o情況下的振動響應。為簡單起見，對上面板的振動能量進行比較。振動能量的表達式為

所得到的上面板橫向振動能量隨激勵頻率的變化關系如圖2所示。

由圖2對比可以看出，譜元法計算加筋雙層板的振動響應與有限元法相比，振動能量和結構的共振頻率都可以很好地吻合。由此證明了方法的正確性與有效性。值得指出的是，計算該結構在645個頻率點的振動響應，有限元法共耗時5 074 s，而SEM方法求解耗時122 s，SEM的計算時間僅為有限元計算的3%。可見SEM用于求解雙層加筋板這類結構振動響應問題的計算效率遠遠高于FEM。并且，對于參數(shù)分析，SEM可以快速地變化結構參數(shù)進行重新計算，而FEM模型需要重新建模或者更新網(wǎng)格才能計算，因而SEM應用于結構-聲學優(yōu)化具有極大的優(yōu)勢。

圖2 梯形加筋板上面板的橫向振動能量對比

3 筋板傾角與面板間距對梯形加筋板隔聲性能的影響

加筋雙層板的隔聲性能可以由透射側面板的輻射聲功率看出，若透射聲功率越小，說明從下面板傳遞到上面板的聲能量越小，即結構的隔聲性能越好。由式(15)可以求得加筋雙層板上面板的橫向振動響應，再由Rayleigh積分[14]求得上面板在極坐標中點(r，φ)處的輻射聲壓p(r，φ；f)為

上面板的輻射聲功率可以表示為

在筋板截面面積不變的約束條件下，通過改變筋板的結構參數(shù)，研究筋板傾角與面板間距等幾何參數(shù)在聲波正入射條件下對隔聲性能的影響，為加筋板振聲學特性分析和聲學設計提供數(shù)據(jù)支持。

為了確保筋板的截面面積不變，首先要研究面板間距H與筋板傾角α對筋板厚度h2的影響。以筋板參數(shù)為H=0.1 m，h2=0.05 m，α=0o的筋板面積S作為參照，考察面板間距在50 mm～150 mm范圍內(nèi)（取值間隔為5 mm），筋板傾角在0～30o范圍內(nèi)（取值間隔為1o）共651個不同的梯形加筋雙層板譜元模型在聲波正入射條件下的平均聲輻射功率。不同面板間距與筋板傾角情況下的筋板厚度由下式求出。

式中不變的幾何參數(shù)為：L=1 m，N=10，h1=h3=0.05 m；材料參數(shù)與上文的相同。以10 Hz～1 000 Hz為考察頻帶，以上面板的平均透射聲功率Wtm為考察對象。頻率區(qū)間為f1～f2的平均輻射聲功率Wtm的表達式為

計算得到的透射聲功率的頻帶均值Wtm隨面板間距和筋板傾角的變化規(guī)律如圖3所示。

圖3 透射聲功率的頻帶均值Wtm隨筋板傾角和面板間距的變化規(guī)律

由圖3所示結果可以看出，筋板的傾角對結構的隔聲性能影響與面板間距有關。總的趨勢是，隨著筋板傾角的逐漸增大，透射的聲功率越小。即隨著筋板傾角的增大，梯形加筋雙層板結構的隔聲性能越好。這是由于在筋板截面面積與面板間距不變的約束下，隨著筋板傾角的增大，斜筋的長度越大，筋板的聲橋作用減弱。這也說明相同質(zhì)量面密度條件下，梯形加筋雙層板的隔聲性能優(yōu)于矩形加筋雙層板。

此外，在筋板斜筋傾角為0～22o范圍內(nèi)，面板間距越大，上面板的輻射聲功率越大。即在此范圍內(nèi)，梯形加筋板的隔聲性能隨著面板間距的增大而減小。這是由于在固定筋板截面面積與傾角的情況下，面板間距越大，斜筋的長度在變長，筋板的厚度減小。此時筋板連接上下面板的聲橋作用在增強，透射到上面板的聲能量變大，隔聲變差。在筋板傾角為22o～30o之間，加筋板的隔聲性能隨面板間距體現(xiàn)出無規(guī)則的變化規(guī)律。

4 結語

譜元法用于計算加筋雙層板在聲激勵下的振動響應，在保證相同計算精度條件下，計算效率遠遠高于有限元法。此外，譜元法還可以快速地變化結構參數(shù)進行重新計算，而有限元法模型需要重新建模或者更新網(wǎng)格才能計算。因而譜元法應用于加筋雙層板的結構—聲學優(yōu)化具有極大的優(yōu)勢。

加筋雙層板的筋板傾角與面板間距對結構的隔聲性能有顯著影響。在筋板截面面積不變的約束下，筋板傾角大的加筋雙層板的隔聲性能越好；在傾角小于22°的情況下，隔聲性能隨著面板間距的減小而增大。這些結果可以為梯形加筋板振—聲學特性研究和優(yōu)化設計提供一定的數(shù)據(jù)支持。

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Sound TransmissionAnalysis of Sandwich Plates Based on Spectral Element Method

LI Lan-qing1,ZHENG Hui1,2
(1.Shanghai Key Lab for Digital Manufacture of Complex Thin-walled Structures, Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China; 2.Institute of Vibration,Shock&Noise,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

A theoretical study on the vibration response of sandwich plates with typical corrugated cores under incident plane sound wave excitation was done by using spectral element method(SEM).Accuracy and efficiency of the SEM were validated by comparing the results with those of FEM.The transmission sound power through the sandwich plates under the normal incidence of the plane sound wave was calculated by applying Rayleigh integral.The effects of the distance between the two faceplates and the inclination angle of the stiffening core on the transmission acoustic power were studied under the condition of constant cross sectional area of the whole structure.It is shown that the transmission sound power of the reinforced sandwich plate decreases as the inclination angle of the corrugated core increases.When the inclination angle of the core is less than 22o,the transmission sound power reduces with the decrease of the distance between the two faceplates. These results are meaningful to the structural design and vibro-acoustic optimization of sandwich plates with corrugated cores.

acoustics;sandwich plates;sound transmission;spectral element method;vibro-acoustic performance; acoustic radiation power

TB532；TH113.1

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.03.039

1006-1355(2015)03-0181-05

2014－09－29

國家自然科學基金面上項目（NSFC 51275285）

李蘭清（1989－），女，碩士研究生，目前從事噪聲、振動控制領域的研究。E-mail:lilanqing09@sjtu.edu.cn

鄭輝，男，教授，博士生導師。E-mail:huizheng@sjtu.edu.cn