基于模型構建的古塔變形研究

劉靜

泰山職業技術學院,山東泰安271000

基于模型構建的古塔變形研究

劉靜

泰山職業技術學院,山東泰安271000

根據在1986年、1996年、2009年、2011年對古塔的實際觀測數據，通過Matlab作圖、編程等功能，以及Excel軟件計算分析相關數據，給出數據分析的結果并作出了相應的圖形。首先利用Matlab軟件繪制出1986年與2011年古塔形狀的圖形，然后利用模型構建并求解，累加模型確定古塔各層次中心位置，夾角模型描繪古塔的傾斜、彎曲、扭曲等一系列變形情況，最后給出古塔變形趨勢。本文采用模型構建方法研究古塔變形，計算分析合理，提供了較精確的結果，對于維護古建筑物的安全性有著重要的意義。

古塔變形;Matlab和Excel軟件;模型構建;夾角模型

文物是國家的不可再生的人類創造的文化資源，它們不僅具有非常高的科學藝術文化價值，而且是一種珍貴的實物資料。為了有效的保護文物古塔，要對古塔的平面、高度和傾斜度等進行定期監測，使管理部門及時掌握古塔變形情況，從而制定出針對性的措施，對古塔進行更好的高效率的保護。古塔高13層，每層有8個觀測點，4次觀測數據，為了對古塔科學系統性的研究與保護，不同學者從曲線擬合、最小二乘原理、橢圓等擬合模型、灰色預測模型、曲率撓率等不同角度進行了分析預測。本文主要采用模型構建的思想，建立了數學模型并借助于數學軟件Matlab與Excel對數據計算、編程、作圖、分析等比較全面地研究問題。首先做出了古塔的三維立體圖形及塔底的平面圖形，直觀地掌握古塔的大體形狀；其次比較分析了確定古塔各層次中心位置的方法，應用計算精度較高的平面薄板的重心坐標公式構建累加模型，結合Matlab編程，確定平面中心坐標；接著構建夾角模型，求出古塔傾斜、彎曲與扭曲的角度；最后進行垂直位移檢測，給出變形趨勢。模型的構建具有較高的擬合精度和適用性。

1　模型準備與假設

1.1缺失數據的處理

處理方法：（1）刪除法：直接刪除有缺失數據的記錄；（2）填補法：包括平均值填充法，人工填寫法，就近補齊法等。（3）不處理：對數據直接分析或構建模型。對于第1次和第2次測量中第13層第5點坐標的缺失，采用了人工填寫和就近補齊相結合的方法，用第4個監測點的發展趨勢，結合第3次第13層第5點的坐標填補第1次和第2次中第13層第5個監測點的坐標[1]。

1.2模型假設

模型的假設有（1）不考慮測量數據過程中所產生的誤差；（2）忽略分析計算中出現的誤差;(3)以東西方向為X軸，其正向為東向；南北方向為Y軸，其中北向為正向。

2　古塔及其底部的形狀

利用給出的測量數據，使用數學軟件Matlab繪制圖像，做出了1986年和2011年古塔的形狀如圖1、圖2所示；圖3給出了1986年塔底的形狀為凸多邊形[2]。

圖1　1986年古塔的形狀Fig.1 Ancient pagoda’s shape in 1986

圖2　2011年古塔的形狀Fig.2 Ancient pagoda’s shape in 2011

圖3　1986年古塔底部的形狀Fig.3 The shape of ancient pagoda’s bottom in 1986

3　模型的建立與求解

3.1古塔各層次中心位置模型

各層次中心位置的確定方法：（1）擬合法：形狀規則的塔，可通過各點的坐標先計算出多邊形的角度，再進行擬合確定出中心位置；不規則形狀的塔，可由各點的坐標先畫出多邊形的各條邊，再擬合成多邊形，進而求得中心位置。（2）圓心法：利用各點坐標到中心的距離相等，找出中心位置。（3）平均值法：設，為平面上的N個離散數據點，可由公式計算出多邊形重心的坐標，此法簡單直接，利用了離散數據點的坐標求圖形重心，由于對數據點所圍圖形沒做處理，缺點是精度較差[3]。（4）利用求平面薄板重心公式求中心：它是將一個多邊形劃分為n個小區域，設分別為每一個小區域面積及其重心坐標，利用重心坐標公式，由積分得到累加模型:

圖4　多邊形分解Fig.4 Polygon decomposition

其中，若已知三角形三條邊的長度分別為a, b, c，由海倫公式

可以求出三角形的面積；結合使用Matlab編程，可求出每年各層的中心位置，所得結果如表1所示。

表1　各層次每年的中心坐標Table 1 Ancient pagoda’s center coordinate of each floor in each year

3.2利用模型計算研究古塔的傾斜、彎曲、扭曲與位移

3.2.1古塔傾斜的計算模型常用的古塔傾斜觀測方法有：（1）塔頂定位控制點法；（2）底部幾何中心的定位控制點法；（3）傾斜觀測法：應用水平角觀測方法，由塔底部與頂部的中心坐標，計算得出塔頂部與底部中心的水平距離ΔD及塔的高度ΔH，可得出傾斜角的數學模型為[5]。

采用方法（3），計算古塔傾斜角度，其計算步驟如下：

表2　古塔傾斜角度(單位:弧度)Table 2Ancient pagoda’s tilt angle(Unit:radian)

由表2可知，1986-2011年間古塔幾乎沒有發生傾斜。

3.2.2古塔彎曲的計算模型在傾斜變形的基礎上彎曲變形是將直線變成曲線。

表3　古塔彎曲角度(單位:弧度)Table 3Ancient pagoda’s bending angle(Unit:radian)

圖5　1996年(-*)與2009年中心坐標比較Fig.5 The comparison of pagoda’s center coordinate in 1996(-*)and 2009

圖6　螺旋扭曲示意圖Fig.6 The spirally twisted diagram

觀察表3及圖5得出，1986～1996年古塔彎曲情況很小，但2009年彎曲情況比較明顯，尤其是第2層至第6層有比較明顯的彎曲，第10層也有比較明顯的彎曲，第13層有復原趨勢，塔尖沒有繼續彎曲。因此，2009年較1986年古塔部分發生了彎曲，主要出現在1996年至2009年間，2009年至2011年幾乎沒有彎曲，但仍會有繼續彎曲趨勢。

3.2.3古塔扭曲的計算模型扭曲變形是在彎曲變形的基礎上旋轉，扭成螺旋狀態，如圖6。選取了四年古塔各層第一個監測點的原始數據作為分析扭曲變形數據，設，，為古塔各層次第1個監測點坐標，i,j分別代表給出的年份和層數；求出向量；m也代表年份，計算步驟如下：

（1）先分別求出第i,m不同兩年的相鄰兩層第1個監測點坐標構成的向量為：

分析表4數據可知，1986～2011年塔尖沒有發生扭曲變化；1986～1996年古塔發生了較小的扭曲，2009年則出現了明顯的扭曲，尤其是第5層產生比較明顯的扭曲，第13層發生了比較明顯的扭曲，塔尖沒有繼續扭曲，2011年較2009年古塔發生了很小的扭曲，2011年較1986年則發生了較大的扭曲，主要在1996～2009年間，而且會有繼續扭曲的趨向。

3.2.4古塔垂直位移檢測選擇沉降檢測的基準點，由精密水準的測量法，測量出古塔的負載沉降監測點，依據高程變化量計算出古塔的沉降幅度[5]。因此提取出每年塔尖高度見表5。

由表5可知，塔頂高度從1986年到2011年間下降了3.46 cm，沉降幅度不大[6]。

3.3古塔的變形趨勢

運用Excel，可求出結果見表6[7]。

表6　偏移量Table 6 Bias amount

由表6可知，1986～1996年古塔沿X軸正向（向東）偏移0.054 m，沿Y軸負向偏移0.0531 m；1996～2009年沿X軸正向偏移0.8292 m，沿Y軸負向偏移0.7843 m；2009～2011年沿X軸正向偏移0.0112 m，沿Y軸負向偏移0.0103 m；1986～2011年沿X軸正向偏移總量0.8942 m；沿Y軸負向偏移總量0.7277 m。

4　結語

構建的模型及其求解過程簡練易懂，合理準確地進行問題研究。模型中涉及的各種數據的處理和計算都是通過Matlab與Excel軟件實現的，通過Matlab作出的實物模型圖，對古塔變形分析作用較大，以構建的累加模型計算出的古塔各層次中心坐標數據為基礎，傾斜角模型計算給出了古塔的傾斜情況；幾何向量夾角模型求出了古塔彎曲與扭曲的角度，比較精確地描繪出了古塔所發生的彎曲、扭曲的變形情況。對模型進一步的討論可得到更加符合實際的信息，模型的推廣，可以為國家文物的保護提供參考。

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[3]李玉冰,郝永杰,劉恩海.多邊形重心的計算方法[J].計算機應用,2005,12(25):391-393

[4]同濟大學數學系.高等數學第六版[M].北京:高等教育出版社,2009:170

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[6]徐工,曲國慶.基于GM(1，1)模型的堤防沉降建模分析[J].山東理工大學學報:自然科學版,2010,24(3):96-99

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Study on Ancient Pagoda’s Deformation Based on Model Construction

LIU Jing
Taishan Polytechnic College,Taian 271000,China

The deformation of ancient pagoda was investigated according to the observed data in 1986,1996,2009 and 2011 by using Matlab software and Excel.Firstly the approximate shapes of the ancient pagoda in 1986 and 2011 were drawn by using the Matlab,then the model construction and solution could be applied.The accumulation model was used to determine the center position of ancient pagoda’s each floor and the intersection angle model described a series of deformations such as tilting,bending and twisting.Finally,the deformation trend of the ancient pagoda was obtained.It has revealed a good result in the maintenance of ancient architectures.

Deformation;ancient pagoda;Matlab;Excel;model construction;intersection angle model

O29文獻標示碼:A

1000-2324(2015)02-0265-05

2013-07-26

2013-08-22

劉靜(1973-),女,講師,碩士研究生,主要從事數學教學及其應用研究.E-mail:Liujingteacher@163.com