Boussinesq equations的新的精確解

李 偉

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧錦州 121013)

非線性偏微分方程(組)的解法受到如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)和生物學(xué)等各個(gè)學(xué)科工作者的廣泛重視，為了尋求它們的解法許多科學(xué)家做了大量而有益的工作，同時(shí)得到了一些行之有效的求解方法，如分離變量法、反散射方法、Backlund變換法、Darboux變換法、tan h函數(shù)法、Riccati方程法等［1－5］。本文借助于行波變換法［6］、改進(jìn)的雙曲函數(shù)法［7－8］和齊次平衡法［9－10］獲得了 Boussinesq equations 的新的精確解，Boussinesq equations如下:

首先，假定式(1)有如下形式的解:

k是待定常數(shù)，將式(2)代入式(1)整理化簡得:

對式(3)積分，積分常數(shù)取零，式(3)變?yōu)?

利用改進(jìn)的雙曲函數(shù)法，假定式(4)有如下形式的解:

M1，M2是待定的正整數(shù)，ai，(i=0，1，2，…，2M1)，bi(i=0，1，…，2M2)是待定常數(shù)，φ(ξ)是一個(gè)函數(shù)，滿足Riccati方程，即:

P，Q是任意常數(shù)，式(6)有如下形式的解:

若 PQ＜0，

C是常數(shù)。

借助齊次平衡法，得到方程組:

解得:M1=2，M2=1

因此，式(5)的具體形式為:

將式(6)和式(9)代入式(4)，得到方程組:

令 φi(ξ)，(i=0，±1，±2，±3)的系數(shù)為零，得到關(guān)于 ai(i=0，±1，±2)，bi(i=0，±1)和 k的代數(shù)方程組，即:

經(jīng)過大量的運(yùn)算，求得如下形式的解:

將式(7)，(9)和(12)代入式(2)，就得到式(1)的新的精確解，即:

本文利用行波變換法、改進(jìn)的雙曲函數(shù)法和齊次平衡法獲得了Boussinesq equations的新的精確解。本文的方法也用于解其他非線性偏微分方程(組)，另外精確解的獲得將為近似計(jì)算、定理分析等問題提供必備的基礎(chǔ)。

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