基于有限元分析的復合阻尼覆蓋層優化設計

陳 炳，何世平，李思靜

(1.海軍工程大學 機械工程系，湖北 武漢430033;2.中國人民解放軍78138 部隊，四川 成都610000)

0 引 言

鋪設阻尼覆蓋層是減小結構共振的一項重要減振降噪措施。它鋪設在待減振的結構表面，其主要作用原理是將振動能量不可逆地轉變為熱能耗散掉。傳統的阻尼結構主要分為自由阻尼結構和約束阻尼結構，為了提高傳統阻尼結構的綜合性能，人們提出在自由阻尼結構或者約束阻尼結構中的粘彈性層和基層中插入墊高層，即帶墊高層的復合阻尼結構。這種結構的主要特點在于其鋪設的覆蓋層的質量較輕且阻尼性能良好，其在航空航天工程中得到了廣泛應用，例如在美國空軍運輸機C－5A的前機身承壓表面采用了帶墊高層復合阻尼結構［1］，后來F－15 戰斗機的機翼上也應用了這種帶墊高層的復合阻尼結構［2］。

許多學者對帶墊高層復合阻尼結構進行了理論研究［3－6］。曾海泉等［3］分析了當墊高層分別為硬質和軟質泡沫塑料時，復合阻尼結構不同的阻尼特性。Yellin 等［4］利用傳遞函數法研究了帶墊高層約束阻尼結構的頻響響應。Peter［5］從實驗方面研究了微孔泡沫材料分別作為粘彈性層和墊高層時復合阻尼結構的振動特性。Chaudry［6］對墊高層進行改進，研究了帶槽形墊高層復合阻尼結構的頻率響應。以上文獻主要研究了帶墊高層復合阻尼結構的頻率響應特性以及粘彈性層和墊高層參數對結構振動特性的影響。對于以硬質泡沫塑料為墊高層的自由阻尼結構，復合阻尼覆蓋層的面密度、總厚度、損耗因子主要由3個因素影響:硬質泡沫塑料襯墊的孔隙率，厚度以及粘彈性層的厚度。如何使該復合阻尼覆蓋層擁有面密度輕，厚度小且阻尼性能最佳的綜合特點，則需要對該復合阻尼結構進行優化設計。

本文基于模態應變能法利用商業軟件Ansys 求解帶硬質聚氨酯泡沫塑料襯墊的自由阻尼結構的等效模態損耗因子，然后以粘彈性層厚度，泡沫塑料的厚度，泡沫塑料的孔隙率為設計變量，以該復合結構的一階彎曲模態損耗因子的倒數為目標函數，在滿足一定的工程要求條件下，對該結構進行優化設計，使得阻尼覆蓋層的綜合性能更優。

1 復合阻尼覆蓋層參數化建模

在結構優化設計中，分析文件生成是Ansys優化設計過程中的關鍵部分，Ansys 程序運用分析文件構造循環文件，進行循環分析。而在分析文件中，模型的建立必須參數化，結果也必須用參數來提取。下面分別對各層參變量以及復合阻尼覆蓋層總的參變量進行分析。

比較理想的墊高層材料是具有球形空泡結構的硬泡沫塑料，也可以是金屬或者高分子材料制成蜂窩狀結構［7］。硬質泡沫塑料具有絕熱效果好、重量輕、比強度大、施工方便等優良特性，同時還具有隔音、防震、電絕緣、耐熱、耐寒、耐溶劑等特點。所以墊高層材料采用具有球形空泡結構的閉孔硬質聚氨酯泡沫塑料，盧子興等人對這種閉孔的具有球形空泡結構的硬質聚氨酯泡沫塑料進行力學性能方面的研究，假設所有的泡沫塑料胞體為球形，并具有相同的尺寸，胞體隨機分布，將泡沫塑料看作3部分組成，中心是球形空腔，空腔外層是基體材料，基體材料的外層是等效均勻介質，基于這3 部分構造一個模擬泡沫塑料局部區域的模型，空腔和基體球殼作為泡沫塑料的胞體，其等效性質應與外層的等效均勻介質相同。根據其研究結果，假設基體材料不可壓縮，則泡沫塑料楊氏模量，剪切模量的理論預測公式為［8－9］:

等效楊氏模量:

等效剪切模量:

其中:

硬質泡沫塑料泡沫塑料的等效密度:

硬質泡沫塑料的面密度:

H2Em和Gm分別為基體的彈性模量和剪切模量;f為閉孔聚氨酯泡沫塑料的孔隙率;H為硬質聚氨酯泡沫塑料的厚度。由式(1)～式(4)可知，當基體材料、孔徑大小以及孔徑形狀確定以后，聚氨酯泡沫塑料的等效楊氏模量、等效剪切模量、等效密度是孔隙率的函數，而面密度是孔隙率、層厚度的函數。

粘彈性層的材料確定以后，其楊氏模量、剪切模量、密度為定值，以厚度參數為設計參數，其面密度為:

其中，ρv為粘彈材料的密度;H3為粘彈性層的厚度。

復合阻尼覆蓋層中參變量主要包括總厚度和總的面密度，由幾何關系可知，復合阻尼覆蓋層的總厚度為:

復合阻尼覆蓋層的面密度為:

粘彈性材料、泡沫塑料的基體材料確定以后，粘彈性層的材料參數均為常數，式(1)～式(7)中的變量主要與粘彈性層的厚度、泡沫塑料的孔隙率以及厚度有關，對于復合阻尼結構中常量和變量均可以通過APDL 語言進行定義。

2 模態應變能法的有限元分析

對粘彈性動力學的基本方程進行動力學問題求解十分困難，往往采用數值解法，主要是有限元法，通過對位移向量進行分單元離散插值，再由變分原理導出相應的運動方程。

對于阻尼復合結構［10］，其總的應變能為:

其中:K1為基層的剛度矩陣;K2為墊高層的剛度矩陣;K3為阻尼層的剛度矩陣。

復合阻尼結構的動能為:

阻尼層的耗能為:

若不考慮能量損耗，根據變分原理得:

將式(14)和式(15)代入式(11)中得動力學方程，解方程得特征值ω和振型{δ}。

復合結構的等效模態損耗因子為:

將式(8)和式(10)代入，可得r 階等效模態損耗因子:

其中，K為總的剛度矩陣;{δ}為總體節點位移列陣;M為總質量矩陣。由式(13)可知，等效模態損耗因子主要與各層的剛度以及各層的變形有關。

3 優化設計

3.1 優化模型

優化設計的基本原理是通過構建優化的數學模型，運用某種計算方法，在一定約束條件下進行計算使得目標函數達到極值。對于復合阻尼覆蓋層而言，其數學模型可以表示為［11］:

其中，H2，H3，f為設計變量，優化結果的取得是通過改變設計變量的數值實現的;約束條件m，H為狀態變量，其是約束設計的數值，是設計變量的函數;只有符合狀態變量要求的設計才是合理的設計;T(x)為目標函數，其是要盡量減小的數值，其必須是設計變量的函數，改變設計變量的數值必然改變目標函數的數值，其用來評價設計方案的優劣，優化問題即為求目標函數的極值。

3.2 優化方法

以Ansys優化模塊作為優化平臺，利用APDL語言進行參數化建模，并且利用Ansys的零階方法進行優化求解，該方法中，Ansys 程序用曲線或者曲面擬合來建立目標函數，狀態變量和設計變量之間的關系，主要通過用若干設計變量序列計算目標函數或者狀態變量，然后通過內部程序擬合，得到結果曲線(或曲面)。在這里通過設計變量序列，，fi(i = 0，1，2，3…n)，可以計算出一系列的目標函數Ti(H2，H3，f)以及狀態變量mi(H2，H3，f)，Hi(H2，H3)，然后可以通過擬合得到(H2，H3，f)，(H2，H3，f)，(H2，H3)。然后將約束優化問題通過罰函數法轉化成一個無約束化問題。初始值在可行域內，采用內部罰函數法構造一個新的函數:

其中，X(H2)，X(H3)，X(f)均為設計變量的罰函數，主要約束設計變量。F1和F2()是狀態變量的罰函數，主要約束狀態變量;T0為目標函數的參考值，主要為了實現單位一致，無約束的目標函數G(H2，H3，f，pk)主要隨設計變量和曲面響應參數pk變化而變化。每次設計迭代中，連續無約束化最小值技術(SUMT)用于求解式(18)的最小值，k 是零階問題求解中子迭代的次數，為了得到更精確的結果，曲面響應參數值會隨k 變大不斷增大。即p1＜p2＜p3＜p4…然后每次迭代得到一個最小值，然后進行收斂檢查，判斷其是否為合理的設計。

4 優化設計算例

4.1 問題描述

基層為H1= 8 mm的鋼板，其楊氏模量E1=2.06 ×1011N/m2，密度為ρ1= 7.8 ×103kg/m3粘彈性層材料的楊氏模量E2=5 ×109N/m2，密度為ρ2=1 570 kg/m3，其材料損耗因子為β = 0.4，閉孔硬質聚氨酯泡沫塑料基體材料的彈性模量為Em=2.433 ×1011N/m2，剪切模量為Gm=8.11 ×108N/m2，基體材料的密度為ρm=1 200 kg/m3，取聚氨酯泡沫塑料墊高層的孔隙率初始值為f = 0.375，由式(5)可知，墊高層的初始等效密度ρ2=750 kg/m3，最下層是基層，基層上面鋪設墊高層，墊高層上面鋪設粘彈性層。復合阻尼結構示意圖如圖1所示。

圖1 帶聚氨酯泡沫塑料襯墊的自由阻尼結構Fig.1 Unconstrained damping structure with stand-off layer

其中H1為基層厚度，H2為墊高層厚度，H3為粘彈性層厚度。利用Ansys 對復合阻尼結構進行建模，采用PLANE183 單元，其是一個高階2 維8 節點單元，每個單元有2個自由度。再進行網格劃分，然后進行無阻尼模態分析，利用應變能與材料損耗因子之間的關系，計算出等效模態損耗因子，然后在優化模塊中對分析文件進行優化分析。設計要求墊高層厚度，粘彈性厚度均小于0.016 m，阻尼覆蓋層總厚度即粘彈性層厚度與墊高層厚度之和不大于0.024 m，面質量小于25 kg/m2。

根據上面要求描述，該問題優化設計的數學模型為:

4.2 優化結果

參數化建立帶聚氨酯泡沫塑料阻尼覆蓋層有限元模型后，利用Block Lanczos法進行模態分析，利用模態應變能法計算出其第一階彎曲模態的損耗因子，定義參數化的設計變量、狀態變量和目標函數，最后進行迭代優化計算，經過8步迭代計算以后收斂得到最優解，優化前后粘彈性層的厚度、墊高層的厚度以及孔隙率，等效密度值如表1所示。

表1 優化前后粘彈性層和墊高層參數值Tab.1 Parameter values of the viscoelastic layer and the stand-off layer before and after optimization

由表1 可知，優化后，硬質泡沫塑料襯墊的厚度降低，可以使得墊高層的抗彎剛度減小，也可以減小粘彈性層對墊高層剪力矩。孔隙率增大，等效密度變小，可以減輕墊高層的面密度，而粘彈性層厚度增加，可提高粘彈性層的耗能。

下面分別計算優化前后阻尼覆蓋層總面密度、總厚度以及損耗因子如表2所示。

表2 優化前后復合阻尼覆蓋層參數值Tab.2 Composite damping tile parameter values before and after optimization

由表2 可知，優化后的復合阻尼覆蓋層的面密度大小接近，而總厚度變小，復合阻尼結構的損耗因子增大，這說明通過優化后，復合阻尼覆蓋層的綜合性能更好。

4 結 語

1)當粘彈性層材料參數，泡沫塑料基體材料參數確定以后，需要通過合理設計粘彈性層厚度，墊高層的孔隙率以及厚度使得復合阻尼結構的綜合性能最佳。

2)在Ansys 動力學分析模塊和優化模塊下，對復合阻尼結構進行參數化建模，在動力學計算的基礎上進行優化設計，使得復合阻尼結構的各層參數得到合理設計，從而提高該復合阻尼結構的綜合性能。這對帶硬質泡沫塑料襯墊的自由阻尼結構設計具有十分重要意義。

［1］HALL K，RATHBUN E，PAYNE B，et al.C－5 forward fuselage/wing trailing edge vibration cracking-analysis and recommendation lockheed-georgia.Company.ContrF41608－88－D－1818.Report LG89ER0007 ，1989，2.

［2］LERAEA V J，PARIN M，PACIA A，et al.Add-on damping treatment for life extension of the F－15 upper-outer wing skin.USAF－WL－TM－91－307，WPAFB OH，1991.

［3］曾海泉，羅躍剛，等.高分子阻尼材料及阻尼結構［J］.特種橡膠制品，2001，22(5):17－25.ZENG Hai-quan，LUO Yue-gang，et al.Progress in ploymer damping material and structure ［J］.Special Rubber Products，2001，22(5):17－20.

［4］YELLIN J M，SHEN I Y，REINHALL P G，et al.An analytical and experimental analysis for a one-dimensional passive stand－off layer damping treatment［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，2000，122:440－447.

［5］PETER Y H，REINHALL P G，SHEN L Y，et al.Use of microcellular foam materials in constrained layer damping treatments［J］.Cellular Polymers，2001，20(2).

［6］ATIF H C.Passive stand-off layer damping treatment:theory and experiments ［D］.Maryland:University of Maryland，2006.

［7］戴德沛.阻尼減振降噪技術［M］.西安:西安交通大學出版社，1983:88－133.

［8］盧子興，寇長河.泡沫塑料拉伸力學性能的研究［J］.北京航空航天大學學報，1998，24(6):646－649.LU Zi-xing，KOU Chang-he.Investigation into tensile mechanical properties of PUR foam plastic［J］.Journal of Beijing Univeristiy of Aeronautics and Astronautics，1998，24(6):646－649.

［9］盧子興，寇長河.聚氨酯泡沫塑料剪切力學性能的研究［J］.北京航空航天大學學報，1998，24(6):646－649.LU Zi-xing，KOU Chang-he.Investigation into shear mechanical properties of PUR foam plastics［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，1998，24(6):646－649.

［10］張敬瑩.粘彈性夾層板振動特性的有限元分析［D］.大連:大連理工大學.

［11］陳學前，杜強.運用有限元分析的阻尼板優化設計［J］.振動、測試與診斷，2007，27(3):236－238.CHEN Xue-qian，DU Qiang，et al.Optimization design of damping disk based on finite element analysis［J］.Journal of Vibration ，Measurement＆Diagnosis，2007，27(3):236－238.