基于B－F方法的未決賠款準(zhǔn)備金隨機(jī)性評(píng)估

周靜靜，吳黎軍

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金是指經(jīng)營(yíng)非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的保險(xiǎn)公司根據(jù)保險(xiǎn)合同用于支付未來(lái)賠付所應(yīng)預(yù)留或準(zhǔn)備的資金，主要包括未到期責(zé)任準(zhǔn)備金、未決賠款準(zhǔn)備金和理賠費(fèi)用準(zhǔn)備金。準(zhǔn)備金評(píng)估的準(zhǔn)確性可以真實(shí)反映保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)成果，是公司經(jīng)營(yíng)管理中進(jìn)行科學(xué)決策的基礎(chǔ)，而且準(zhǔn)備金提取的充分性影響著公司的償付能力和風(fēng)險(xiǎn)情況。評(píng)估未決賠款準(zhǔn)備金的模型有兩大類:確定性和隨機(jī)性模型。在保險(xiǎn)公司中常用的確定性模型有鏈梯法、B－F法等，這些模型原理簡(jiǎn)單，只給出一個(gè)點(diǎn)估計(jì)，且假設(shè)不明確，很難對(duì)準(zhǔn)備金的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。而隨機(jī)性模型則沒(méi)有這些問(wèn)題，在最近的20多年中，準(zhǔn)備金評(píng)估的隨機(jī)性模型成為精算學(xué)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外財(cái)險(xiǎn)公司也越來(lái)越關(guān)注準(zhǔn)備金評(píng)估的隨機(jī)性模型的應(yīng)用［1－7］。

本文借鑒B－F法的思想，將鏈梯法和Cape Cod方法［8－9］進(jìn)行結(jié)合，對(duì)最終損失的估計(jì)用加權(quán)平均，既考慮鏈梯法對(duì)最終損失的估計(jì)值，又考慮了基于均衡保費(fèi)的期望最終損失的估計(jì)值。將鏈梯法中的傳統(tǒng)進(jìn)展因子看作一個(gè)隨機(jī)變量研究，即假設(shè)進(jìn)展因子服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布［10］，再與Cape Cod方法結(jié)合進(jìn)行估計(jì)準(zhǔn)備金，最后將幾種方法進(jìn)行實(shí)證分析比較。

1 鏈梯法

鏈梯法的重要假設(shè)是保險(xiǎn)公司的賠付支出具有穩(wěn)定的延遲(進(jìn)展)模式，通常采用的數(shù)據(jù)是累積數(shù)據(jù)。它基于“鏈梯”原理在已知損失的基礎(chǔ)上對(duì)未來(lái)?yè)p失進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表1 累計(jì)損失流量三角形

Cij表示事故年i進(jìn)展年j的累積損失，i，j=1，2，…，n，Pi表示事故年i的保費(fèi)。在已知上三角形數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，估計(jì)下三角形中的數(shù)值，即每個(gè)事故年的最終損失:{Ci，n:i=2，3，…，n}。首先，計(jì)算相鄰2個(gè)進(jìn)展年的進(jìn)展因子，…，n;其次，確定各列逐年進(jìn)展因子的選定值。通常的方法有簡(jiǎn)單平均法、幾何平均法、加權(quán)平均法、中位數(shù)法，具體根據(jù)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的特征來(lái)定。mj(j=1，2，…，n－1)表示從第j進(jìn)展年到第j+1進(jìn)展年的逐年進(jìn)展因子的選定值;再次，估計(jì)每個(gè)事故年的最終損失:?i，n=，上式中的進(jìn)展因子mj的連乘因子稱為累計(jì)進(jìn)展因子3，…，n;最后，估計(jì)每個(gè)事故年的未決賠款準(zhǔn)備金:

2 損失進(jìn)展模式Cape Cop方法

2.1 期望損失進(jìn)展模式

需要一個(gè)可以隨時(shí)間推移從0%進(jìn)展到100%的進(jìn)展模式，在本文模型中，假設(shè)這種進(jìn)展模式用累積分布函數(shù)(CDF)的形式描述，常見(jiàn)的2類CDF形式是Loglogistic增長(zhǎng)曲線和Weibull增長(zhǎng)曲線。其表達(dá)式分別為:Loglogistic增長(zhǎng)曲線Weibull增長(zhǎng)曲線其中，每個(gè)曲線都包含形狀參數(shù)ω和規(guī)模參數(shù)θ，x表示損失進(jìn)展時(shí)間。在用這些曲線形式時(shí)，假設(shè)期望損失進(jìn)展比例為從0%～100%的一個(gè)嚴(yán)格遞增模式。

基于這2類增長(zhǎng)曲線，結(jié)合Cape Cod方法，先估計(jì)各事故年的期望損失進(jìn)展模式，再估計(jì)各事故年的最終損失和索賠準(zhǔn)備金。Cape Cod方法假設(shè)各事故年期望最終損失之間有一個(gè)已知關(guān)系。這個(gè)關(guān)系是通過(guò)暴露基礎(chǔ)確定的。暴露基礎(chǔ)通常是指均衡保費(fèi)。

考慮事故年i進(jìn)展年j的損失流量三角形數(shù)據(jù)。令Yi，j表示事故年i進(jìn)展年j的增量損失進(jìn)展變量Yi，j=Ci，j+1－ Ci，j(1≤i，j≤n)，期望值為 μi，j，則有:

Pi表示事故年i的均衡保費(fèi)，ELR表示各事故年的損失率。該模型有3個(gè)未知參數(shù)要估計(jì):{ELR，ω，θ}

2.2 增量損失分布假設(shè)與模型參數(shù)的極大似然估計(jì)

設(shè)增量損失Yi，j(i，j≥1，i+j≤n+1)相互獨(dú)立，且都服從過(guò)度分散的泊松分布，則Yi，j的概率函數(shù)為，均值和方差分別為:

其似然函數(shù)可表示為

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

假設(shè)分散參數(shù)φ已知，可將l的最大化等價(jià)于l*的最大化:

則有

l*ELR(G(j-0.5)-G(j-1.5)))-Pi·ELR(G(j-0.5)-G(j-1.5))］令上式關(guān)于參數(shù)ELR，ω，θ的一階偏導(dǎo)數(shù)均為0，得，則有

2.3 過(guò)程方差與參數(shù)方差

2.3.1 過(guò)程方差

用曲線G(x;ω，θ)表示期望損失進(jìn)展模式，在上三角形增量損失都服從過(guò)度分散泊松分布的假設(shè)下，方差與均值的比是一個(gè)常量φ，它是分散參數(shù)，即有其中，N表示上三角形增量數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即;p 為參數(shù)個(gè)數(shù);y是上三角增量損失;μ是增量損失的期望值。i，ji，j這里將φ視為常數(shù)，是一種近似估計(jì)，有時(shí)稱為擬似然估計(jì)。

2.3.2 參數(shù)方差

計(jì)算參數(shù)估計(jì)的方差是根據(jù)Rao-Cramer下界近似得到的，需要用到二階偏微信息矩陣I，通常稱為“Delta方法”。在該模型中信息陣I是3×3矩陣，各事故年的ELR相同，信息陣表示為

通過(guò)信息陣的逆矩陣得到協(xié)方差矩陣

2.4 索賠準(zhǔn)備金評(píng)估

各事故年i的期望最終損失為L(zhǎng)Ri=Pi·EˉLR。準(zhǔn)備金Ri和最終損失的估計(jì)值ULRi為

準(zhǔn)備金的方差分成2部分:過(guò)程方差和參數(shù)方差。事故年i的索賠準(zhǔn)備金和所有事故年索賠準(zhǔn)備金總額的過(guò)程方差分別為:Var(Ri)=φ·Ri，Var(R)=φ·R;參數(shù)方差可表示為

3 鏈梯法與損失進(jìn)展模式Cape Cod方法相結(jié)合及比較

類似于B－F方法，本文將鏈梯法與損失進(jìn)展模式Cape Cod方法相結(jié)合。

1)計(jì)算期望最終損失?；谠隽繐p失上三角形的數(shù)據(jù)，沿用Clark和Guszcza的假設(shè)得到的保費(fèi)用損失進(jìn)展模式Cape Cod方法來(lái)估計(jì)各事故年的期望最終損失為:各事故年的均衡保費(fèi)乘以期望損失率，即Pi·ELR。其中，期望損失率是由損失進(jìn)展模式Cape Cod方法用極大似然估算而來(lái)。

2)對(duì)上述期望最終損失進(jìn)行修正。根據(jù)累計(jì)損失流量三角形進(jìn)行，對(duì)上述期望最終損失的估計(jì)值進(jìn)行修正，方法如下:

其中，f為累積進(jìn)展因子，累計(jì)損失×f=最終損失，對(duì)上式變形得

即修正后的最終損失為鏈梯法估計(jì)的最終損失與損失進(jìn)展模式Cape Cod方法期望最終損失估計(jì)值的加權(quán)平均。令ULXi表示各事故年修正后的最終損失，LR1i表示各事故年鏈梯法的最終損失，LR2i表示損失進(jìn)展模式Cape Cod方法各事故年期望最終損失，則

3)未決賠款準(zhǔn)備金。從修正后的最終損失中減去累計(jì)損失，得到各事故年的準(zhǔn)備金為

4)與損失進(jìn)展模式Cape Cod方法進(jìn)行比較。令R2i表示損失進(jìn)展模式Cape Cod方法得到的各事故年的準(zhǔn)備金，有

4 基于對(duì)數(shù)進(jìn)展因子建模的隨機(jī)性準(zhǔn)備金評(píng)估

在第4部分中的累計(jì)進(jìn)展因子用的是一般傳統(tǒng)方法，本節(jié)中考慮進(jìn)展因子是一個(gè)隨機(jī)變量的情況。

4.1 模型假設(shè)

記Lij是事故年i的進(jìn)展年j到進(jìn)展年j+1的隨機(jī)進(jìn)展因子，即

其中，Cij表示事故年i進(jìn)展年j的累計(jì)損失。作如下假設(shè):

1)對(duì)每個(gè) j有 L1j，L2j，…，Ln－1，j同分布于 Lj;

2)L1，L2，…，Ln－1是獨(dú)立的;

3)Lj服從參數(shù)為μj的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

4.2 參數(shù)估計(jì)

因?yàn)長(zhǎng)j是服從參數(shù)為μj和的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則有，記lij=log(Lij)，則其極大似然估計(jì)為和

得到θj的極大似然估計(jì)為，但證得是θj的漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)。為了得到θj的無(wú)偏估計(jì)，F(xiàn)inney(1941)構(gòu)造了函數(shù)其中，該函數(shù)具有以下性質(zhì):1)對(duì)于k≥1，有fk(0)=1;2)對(duì)于所有的t＞0，fk(t)是關(guān)于k的增函數(shù)，且=et;3)若k的取值較小，則有fk(t)＜et。在本節(jié)中，下標(biāo)k是與有關(guān)的自由度的個(gè)數(shù)，即k=n－j－1，所以θj的無(wú)偏估計(jì)為

4.3 準(zhǔn)備金的無(wú)偏估計(jì)

則總準(zhǔn)備金的方差的無(wú)偏估計(jì)為(Tn)2－。

4.4 基于對(duì)數(shù)進(jìn)展因子與損失進(jìn)展模式Cape Cod方法的準(zhǔn)備金評(píng)估

將用本節(jié)方法計(jì)算的累計(jì)進(jìn)展因子代替第4部分中的累計(jì)進(jìn)展因子。期望最終損失由本文第3部分損失進(jìn)展模式Cape Cod方法得到，即各事故年的期望最終損失為L(zhǎng)Ri，則各事故年的準(zhǔn)備金為Ri=LRi×(1－1/)，i=2，…，n。因?yàn)?Lj服從參數(shù)為 μj和的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則1/Lj服從參數(shù)為 －μj和的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，E(1/L)的無(wú)偏估計(jì)為j

其方差的無(wú)偏估計(jì)為

5 實(shí)證分析

本文實(shí)證分析的數(shù)據(jù)如表2所示，這些數(shù)據(jù)已在文獻(xiàn)中被多次引用，如Clark［8］、Guszcza［10］、張連增和段白鴿［9，11］等。

表2 累計(jì)損失數(shù)據(jù)元

沿用Clark和Guszcza的假設(shè)，即事故年1的均衡保費(fèi)是1000萬(wàn)元，其后每年增加40萬(wàn)元。在Capecod方法中，基于Loglogistic曲線時(shí)用極大似然估計(jì)的參數(shù)估計(jì)值=1.447 6=4.001 8，=0.597 8，=61 574.54;基于Weibull增長(zhǎng)曲線時(shí)用極大似然估計(jì)的參數(shù)估計(jì)值=1.305 5=4.057 2=0.479 5=60 881.99，進(jìn)而得到各事故年期望最終損失的估計(jì)值，見(jiàn)表3。

表3 Cape Cod方法的最終損失與方法3得到的修正最終損失 元

記本文中第2部分的方法為Cape Cod方法;第3部分的方法為模型1;第4部分的方法為模型2;則用這3種方法估計(jì)的準(zhǔn)備金結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 Cape cod方法與模型1，模型2的估計(jì)結(jié)果

從表4與圖1、2中可以看出:在Weibull曲線下，3種方法得到的準(zhǔn)備金非常近似;而在Loglogistic曲線下，3種方法得到的準(zhǔn)備金有些差別，但模型1和模型2的波動(dòng)性顯然比Cape Cod方法小。模型1與模型2之間由較早事故年的接近到最近事故年的差距是越來(lái)越大。用模型2算出的準(zhǔn)備金的方差是最小的，說(shuō)明模型2相對(duì)好一些。因此，是否可以通過(guò)找出已知的幾種隨機(jī)性模型之間存在的潛在聯(lián)系，然后將它們結(jié)合到一起構(gòu)成新的模型使其估計(jì)的效果更好，還需要更多的研究和驗(yàn)證。

雖然從理論上可以構(gòu)建無(wú)窮多個(gè)準(zhǔn)備金評(píng)估模型，但事實(shí)上對(duì)準(zhǔn)備金的評(píng)估過(guò)程就是針對(duì)具體數(shù)據(jù)的分析過(guò)程。對(duì)同一組數(shù)據(jù)，可能使用多種不同方法估計(jì)的結(jié)果并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性差異，如在圖2顯示的Weibull曲線上，3種方法的結(jié)果差別不大，也從來(lái)沒(méi)有哪一種準(zhǔn)備金評(píng)估方法可以適用所有數(shù)據(jù)。所以，在準(zhǔn)備金評(píng)估過(guò)程中，需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ谶x擇過(guò)程中，要先考慮損失數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。在當(dāng)前國(guó)際精算實(shí)務(wù)中，人們對(duì)準(zhǔn)備金的不充足性風(fēng)險(xiǎn)越來(lái)越重視，且準(zhǔn)備金的評(píng)估需要滿足動(dòng)態(tài)財(cái)務(wù)分析等更加復(fù)雜的需求，隨機(jī)性模型則成為最佳選擇。

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