非等溫粘彈性流體充模的SPH方法建模探究

摘 要：充模過程是注塑成型過程中最復雜最重要的階段。目前充模過程的大部分數值模擬研究都是基于網格類方法，而網格類方法在處理復雜自由面時存在一定的困難。因此，該文對無網格SPH方法在非等溫聚合物充模問題中的應用進行了試探性研究。首先闡述了SPH方法在非等溫流動模擬方面的發展現狀及其存在的問題，然后以粘彈性XPP流體為例，建立了非等溫聚合物充模問題的SPH離散模型，最后通過基準算例驗證了所建立的非等溫粘彈性模型的有效性和準確性。

關鍵詞：光滑粒子動力學（SPH）方法 非等溫 粘彈性流體 充模過程

中圖分類號：O35 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）09（c）-0007-02

1 非等溫流動的SPH方法研究現狀

眾所周知，充模過程是注塑成型過程中最復雜最重要的階段。此過程一般要求熔體快速充滿模腔，不可避免地形成了噴流痕、氣穴、填充不足等諸多注塑成型缺陷。這些缺陷嚴重影響了塑料制品的表面質量、光學性能和力學性能。然而充模過程中模腔始終保持封閉狀態，人們難以觀察到熔體在模腔內的流動情況。因此，數值模擬技術成為一種有效預測充模過程的強有力手段。

目前已發展了多種數值方法[1]研究充模過程，如有限差分法（FDM）、有限體積法（FVM）、有限元方法（FEM）等。然而，上述方法都是基于網格的方法，在處理復雜自由面流動問題時存在一些困難，如FDM、FVM均是基于Euler描述的網格類方法，不能直接追蹤自由表面、運動物質交界面等，需要引入額外的界面捕捉技術（如MAC方法、VOF方法、Level Set方法等），FEM模擬大變形問題時容易出現網格扭曲、程序實施較復雜等。與有限元類似的數值方法是邊界元方法（Boundary Element Method， BEM），BEM在計算過程中需要不斷進行網格重構。此外，上述方法中網格生成是一項十分耗時的工作，對于復雜形體的網格劃分十分困難，求解過程中常出現網格畸變嚴重的情況，從而導致求解精度低甚至發散。因此，人們發展了無網格方法來研究具有復雜自由面的流動問題。

光滑粒子流體動力學（Smoothed Particle Hydrodynamics）方法[2]是一種基于Lagrange描述的無網格粒子法，此方法在計算中不需要網格，避免了大變形問題中網格重構、網格畸變等問題，其計算精度不受結構變形程度的影響。由于SPH方法的純Lagrange特性及粒子特性，可以通過粒子本身的位置自動追蹤運動界面，SPH方法自提出后受到了眾多研究者的廣泛關注，并廣泛應用于計算流體力學各個領域。然而，SPH方法卻很少應用于非等溫粘彈性流體充模過程的流動模擬方面。一方面，粘彈性流體控制方程的非線性性質遠強于牛頓流體，其數值模擬對數值格式的要求遠高于牛頓流體。目前已有的SPH離散格式不適合這類聚合物充模過程的模擬。若要得到比較穩定的SPH解，只能選擇非常小的時間步長，計算效率太低。因此，傳統SPH方法被認為不適合模擬聚合物充模過程。為了提高傳統SPH方法的數值精度和數值穩定性，人們提出了多種改進SPH方法[3]，如RKPM、CSPM、MSPH，SSPH，FPM等。然而這些改進方法提高了傳統SPH方法的數值精度和穩定性的同時，也引入了其它問題，如實施過程繁瑣、計算量大、局部矩陣容易發生奇異等，不易推廣應用，從而未被廣泛應用于流體力學領域。另一方面，聚合物充模過程是一個非等溫過程，具有對流擴散性質的溫度方程的離散方式及求解對充填結果有很大影響，而目前關于非等溫粘彈性流體流動模擬的SPH離散模型還未建立。

基于上述原因，該文針對非等溫粘彈性流體充模問題，試探性地建立非等溫粘彈性流體充模問題的改進SPH離散模型。首先闡述非等溫粘彈性流體流動的控制方程，然后對控制方程尤其是溫度控制方程進行SPH離散，從而建立非等溫粘彈性流體充模過程的SPH離散模型。最后通過簡單的數值算例驗證了所建立模型的收斂性、有效性。

2 非等溫粘彈性流體充模過程的SPH離散模型的建立

二維情況下，流體控制方程為

（1）

（2）

其中為外力，包括重力及約束力等。為應力張量，當熔體為非等溫非牛頓粘性流體時，。當熔體為粘彈性流體時，，其中為各向異性壓力，為非牛頓聚合物溶劑貢獻的偏應力。該文考慮非等溫粘彈性XPP流體的簡化模型Oldroyd-B模型的充模過程，XPP本構模型的表達式為

（3）

其中為單位張量，形變率張量，，

，為速度梯度張量，為速度梯度張量的轉置。、分別表示聚合物分子鏈的取向和拉伸松弛時間，為線性松弛模量，為各向異性無關的參數，拉伸量，。總粘度，其中，，。當和時，XPP模型退化為Oldroyd-B模型。

溫度控制方程為

（4）

其中是熔體溫度，、和分別表示熔體的密度、比熱容和導熱系數。熔體粘度與溫度的關系用下列熱冪律模型來描述[3]。

為了能夠對聚合物充模過程進行數值模擬，下面對流體控制方程進行SPH離散。密度的求解仍采用連續性方程

（5）

而對于動量方程離散，該文推廣文獻[2]中非牛頓粘性流體的動量離散形式，考慮彈性的影響，從而有

（6）

其中。

對于粘彈性本構方程，則采取如下的離散方式

，

（7）

（8）

對于溫度控制方程（4）的SPH離散，作者及其合作者在參考文獻[2]中針對非等溫粘性流體充模過程提出了非牛頓粘性熔體的改進SPH溫度離散模型，即

（9）

其中，，，為修正核梯度。

可以看出，式（9）未考慮聚合物熔體的彈性對熔體流動和溫度的影響。于是，推廣上面非牛頓粘性流體的SPH溫度離散模型（9），考慮熔體彈性對流體的流動和溫度的影響，則得到如下的粘彈性流體的改進SPH溫度離散模型

（10）

其中，，。

式（5）～（8）和式（10）構成了非等溫粘彈性熔體充模過程的SPH離散模型。

3 數值驗證

為了驗證所建立的非等溫粘彈性流體充模過程的SPH離散模型的有效性，本小節模擬非等溫粘彈性Oldroyd-B流體的Poiseuille流。采用的參數為：密度為 ，熔體初始粘度 ，壁面溫度 ，熔體溫度 ，溫度依賴參數，比熱容 ，導熱系數 ，，，，冪律指數，力 ，時間步長 。

圖1給出了非等溫粘彈性Poiseuille流在速度達到穩態時的溫度剖面。可以看出，所得溫度剖面呈拋物形，與文獻[4]中給出的溫度的變化趨勢類似，這說明給出的粘彈性溫度離散模型是有效的。由于該文與文獻[4]中所采用的本構方程、參數等條件不同會造成溫度值的差異，所以這里僅做定性比較。

圖2給出了3種不同粒子數下的溫度剖面。采用的3種粒子組合分別為P1：P2：和P3：。由圖2可以看出，三種不同粒子數下得到的溫度剖面變化趨勢一致，說明給出的粘彈性SPH溫度離散模型收斂。

圖1與圖2的數值結果表明，該文建立的非等溫粘彈性流動的SPH離散模型是收斂、有效的。

4 結語

該文首先對SPH方法應用于非等溫聚合物流動問題的研究現狀進行了闡述，分析了SPH方法很少用于非等溫聚合物充模問題的原因，然后根據相關文獻及作者的數值模擬經驗建立了非等溫粘彈性流體充模過程的SPH離散模型，最后通過非等溫粘彈性Poiseuille流數值算例的模擬，驗證了所建立的非等溫粘彈性流體的SPH離散模型的有效性和收斂性。

值得注意的是，該文沒有對非等溫粘彈性流體充模問題進行數值模擬和分析，后續作者將對此問題進行研究討論。

參考文獻

[1] JinlianRen，JieOuyang，Tao Jiang.Simulation of complex filling process based on the generalized Newtonian fluid model using a corrected SPH scheme[J].Computational Mechanics，2012，49：643-665.

[2] 蔣濤，任金蓮，徐磊，等.非等溫非牛頓黏性流體流動問題的修正光滑粒子動力學方法模擬[J].物理學報，2014，63（21）：22-34.

[3] 任金蓮.SPH方法改進及其在聚合物充模問題中的應用研究[D].西安：西北工業大學，2014.

[4] A.Ahsan.Evaporation，Condensation and Heat transfer，Croatia：InTech，2011.