基因振子同步化的數值模擬

吳虞　高軍暉

摘 要：Jordi Garcia-Ojalvo等人2004年在PNAS上發表了一篇文章，建立了多細胞基因共振的數學模型。該文對這個模型進行數值模擬，得到了同步化過程的實例，并研究Q值、細胞數量與同步化過程的關系。

關鍵詞：基因振子 同步化過程 數值模擬 Q值

中圖分類號：Q75 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）09（c）-0017-02

1 介紹

基因振子在多細胞之間能產生同步現象，是由于細胞外部環境的驅動力以及內部自我產生的節律。在論文[1]中，Jordi Garcia-Ojalvo等人研究了細胞中mRNA和蛋白質濃度隨時間變化的動力學模型。該文對這個模型進行數值模擬，得到了同步化過程的實例，并研究Q值、細胞數量與同步化過程的關系。

2 方法

2.1 數學模型

圖1表示了3種蛋白和對應基因mRNA（與AI有關）在細胞群體中的表達[1]。

圖1中，虛線左邊是原壓制振動子（用A、B和C代表3個壓制蛋白），右邊是細胞全體感應機制。3種mRNA的動力學方程為：

（1）

描述三種蛋白的動力學方程為：

（2）

AI的濃度取決于TetR和LucI蛋白的降解、合成和擴散。假設TetR和LucI蛋白有相同的壽命，那么它們的動力學方程就是相同的，也就可以用相同的變量來解釋這兩種蛋白的濃度。從而，AI比率方程中的合成項正比于Ai，AI在細胞內和細胞環境中濃度滿足動力方程：

（3）

其中=測量AI跨細胞膜的擴散比率，表示細胞膜的滲透性，A表示細胞膜的面積，Vc表示細胞內的體積，Ks1Ks0是無剛量常數，Se表示AI在細胞環境中的濃度，其中Se滿足：

（4）

當實際處理時，使為0，可以滿足：

（5）

（6）

Q是刻畫細胞密度（）的參數。

2.2 數值模擬結果

我們采用了論文中模擬的mRNA和蛋白質的動力學方程，固定了，，，以及N值和Q值。隨機選取10個細胞，記錄每一時刻的AI濃度。最終，10個細胞AI的濃度變化完全一致，達到同步狀態。同步的過程由圖2展示。

圖2中的橫軸表示時間點（步數），縱軸表示的是在這個時間點時AI濃度的變化分成了幾組。可以看出，在大概0～50個時間點期間，分組數呈下降趨勢，但有波動變化；在50個時間點以后，只有一組數據并不再出現變化，細胞完全同步了。

3 討論

進一步，我們研究Q值、細胞數量與同步化過程的關系。

選取不同的N值，分別取N為1000000、500000、100000、50000、10000、5000，和不同的Q值，分別為0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2、0.1。不斷重復上述的數值模擬過程，記錄達到同步化的時間（步長），我們得到圖3。

圖3中，橫坐標表示不同的Q值，縱坐標表示達到同步化需要的時間，不同顏色的6條曲線，代表了不同的N值。由圖3可知，從0.8～0.5同步的速度是加快的，在0.5～0.3期間同步速度達到最大值，從0.3～0.1同步的速度又減緩了。

參考文獻

[1] Jordi Garcia-Ojalvo， Michael B Elowitz，Steven H Strogatz，et al.Modeling a synthetic multicellular clock： Repressilators coupled by quorum sensing[J].PNAS，2004，101（30）：10955-10960.