基因振子同步化的數(shù)值模擬

吳虞　高軍暉

摘 要：Jordi Garcia-Ojalvo等人2004年在PNAS上發(fā)表了一篇文章，建立了多細(xì)胞基因共振的數(shù)學(xué)模型。該文對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了同步化過(guò)程的實(shí)例，并研究Q值、細(xì)胞數(shù)量與同步化過(guò)程的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：基因振子 同步化過(guò)程 數(shù)值模擬 Q值

中圖分類號(hào)：Q75 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）09（c）-0017-02

1 介紹

基因振子在多細(xì)胞之間能產(chǎn)生同步現(xiàn)象，是由于細(xì)胞外部環(huán)境的驅(qū)動(dòng)力以及內(nèi)部自我產(chǎn)生的節(jié)律。在論文[1]中，Jordi Garcia-Ojalvo等人研究了細(xì)胞中mRNA和蛋白質(zhì)濃度隨時(shí)間變化的動(dòng)力學(xué)模型。該文對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了同步化過(guò)程的實(shí)例，并研究Q值、細(xì)胞數(shù)量與同步化過(guò)程的關(guān)系。

2 方法

2.1 數(shù)學(xué)模型

圖1表示了3種蛋白和對(duì)應(yīng)基因mRNA（與AI有關(guān)）在細(xì)胞群體中的表達(dá)[1]。

圖1中，虛線左邊是原壓制振動(dòng)子（用A、B和C代表3個(gè)壓制蛋白），右邊是細(xì)胞全體感應(yīng)機(jī)制。3種mRNA的動(dòng)力學(xué)方程為：

（1）

描述三種蛋白的動(dòng)力學(xué)方程為：

（2）

AI的濃度取決于TetR和LucI蛋白的降解、合成和擴(kuò)散。假設(shè)TetR和LucI蛋白有相同的壽命，那么它們的動(dòng)力學(xué)方程就是相同的，也就可以用相同的變量來(lái)解釋這兩種蛋白的濃度。從而，AI比率方程中的合成項(xiàng)正比于Ai，AI在細(xì)胞內(nèi)和細(xì)胞環(huán)境中濃度滿足動(dòng)力方程：

（3）

其中=測(cè)量AI跨細(xì)胞膜的擴(kuò)散比率，表示細(xì)胞膜的滲透性，A表示細(xì)胞膜的面積，Vc表示細(xì)胞內(nèi)的體積，Ks1Ks0是無(wú)剛量常數(shù)，Se表示AI在細(xì)胞環(huán)境中的濃度，其中Se滿足：

（4）

當(dāng)實(shí)際處理時(shí)，使為0，可以滿足：

（5）

（6）

Q是刻畫(huà)細(xì)胞密度（）的參數(shù)。

2.2 數(shù)值模擬結(jié)果

我們采用了論文中模擬的mRNA和蛋白質(zhì)的動(dòng)力學(xué)方程，固定了，，，以及N值和Q值。隨機(jī)選取10個(gè)細(xì)胞，記錄每一時(shí)刻的AI濃度。最終，10個(gè)細(xì)胞AI的濃度變化完全一致，達(dá)到同步狀態(tài)。同步的過(guò)程由圖2展示。

圖2中的橫軸表示時(shí)間點(diǎn)（步數(shù)），縱軸表示的是在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)時(shí)AI濃度的變化分成了幾組。可以看出，在大概0～50個(gè)時(shí)間點(diǎn)期間，分組數(shù)呈下降趨勢(shì)，但有波動(dòng)變化；在50個(gè)時(shí)間點(diǎn)以后，只有一組數(shù)據(jù)并不再出現(xiàn)變化，細(xì)胞完全同步了。

3 討論

進(jìn)一步，我們研究Q值、細(xì)胞數(shù)量與同步化過(guò)程的關(guān)系。

選取不同的N值，分別取N為1000000、500000、100000、50000、10000、5000，和不同的Q值，分別為0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2、0.1。不斷重復(fù)上述的數(shù)值模擬過(guò)程，記錄達(dá)到同步化的時(shí)間（步長(zhǎng)），我們得到圖3。

圖3中，橫坐標(biāo)表示不同的Q值，縱坐標(biāo)表示達(dá)到同步化需要的時(shí)間，不同顏色的6條曲線，代表了不同的N值。由圖3可知，從0.8～0.5同步的速度是加快的，在0.5～0.3期間同步速度達(dá)到最大值，從0.3～0.1同步的速度又減緩了。

參考文獻(xiàn)

[1] Jordi Garcia-Ojalvo， Michael B Elowitz，Steven H Strogatz，et al.Modeling a synthetic multicellular clock： Repressilators coupled by quorum sensing[J].PNAS，2004，101（30）：10955-10960.