輪換平均值不等式及其應用

●李世杰(衢州市教育局教研室浙江衢州324002)●李盛(衢州市第一中學浙江衢州324000)●汪水林(衢州市第二中學浙江衢州324000)

輪換平均值不等式及其應用

●李世杰(衢州市教育局教研室浙江衢州324002)●李盛(衢州市第一中學浙江衢州324000)●汪水林(衢州市第二中學浙江衢州324000)

本文提出了輪換平均的概念，建立了關于輪換平均的一個不等式，該不等式是算術-幾何平均值不等式的一個隔離.作為其應用，得到了一系列的新不等式，最后給出輪換平均值不等式的加權推廣.

1 輪換平均的定義

定義設ai＞0，pi≥0，pn+i=pi(其中i=1，2，3，…，n，n∈N，n＞1)，，我們把

稱為關于a1，a2，…，an的輪換平均.

2 主要結論

一般地，如下的輪換平均值不等式成立:

定理1設ai＞0，pi≥0，pn+i=pi(其中i=1，2，3，…，n，n∈N，n＞1)，，則有G≤L≤A，即

證明1)先證右邊的不等式.利用算術－幾何平均值不等式，結合，得

這就證明了式(1)右邊的不等式.

2)由加權算術－幾何不等式知

上述各式相乘得

至此知式(1)左邊的不等式也成立.

定理1證畢.

注1)不等式(1)說明:輪換平均值L是n元算術－幾何平均值不等式的一個隔離.

2)當n=2時，由定理1可得以下結論.

若a1＞0，a2＞0，p1≥0，p2≥0，p1+p2=1，則

3)不等式(2)具有如下的幾何意義.

設A(a1)，B(a2)，AM=BQ，，則

說明對稱的定比分點坐標積可以隔離算術-幾何平均值不等式.

圖1

4)不等式(1)等號成立的條件不唯一，當a1=a2=…=an時左、右邊2個等號同時成立.

對于不等式(2)，還可以將條件a1＞0，a2＞0改進為“a1，a2是任意實數”，即為如下定理2.

定理2若p1≥0，p2≥0，p1+p2=1，則

3 應用

對p1取一些特殊值，可得一系列對算術平均值與幾何平均值進行隔離的新不等式.

代入不等式(3)得如下結論3.

結論3若a1＞0，a2＞0，p≥1，則

4)當a1＞a2時，取，則，從而

代入不等式(3)得如下結論4.

結論4若a1＞0，a2＞0，則

5)當a1＞a2時，取，則，從而

代入不等式(3)得如下結論5.

結論5若a1＞0，a2＞0，則

6)當a2＞a1時，取，則，從而

代入不等式(3)得如下結論6.

結論6若a1＞0，a2＞0，則

注因為結論4～6中的不等式關于a1，a2是對稱的，所以條件a1＞a2或a2＞a1可省略.

從上可見，從定理1的一個特例:一個加權的簡單不等式(2)出發，通過選取不同的p1，p2值，就可以得到許多新的不等式.同樣地，對于二元以上的輪換平均值不等式，通過選取不同的pi值，也可以得到許多新的不等式，限于篇幅，不再展開論述.

4 加權推廣

定理3設ai＞0，pi≥0，pn+i=pi(其中i=1，2，3，…，n，n∈N，n＞1)，，qi＞0(其中i=1，2， 3，…，n，n∈N，n＞1)，，則

證明在不等式(1)中用qiai替換ai(其中i=1，2，3，…n)，得

［1］匡繼昌.常用不等式［M］.3版.濟南:山東科學技術出版社，2004:348-375.