基于供應鏈網絡管理的企業競爭與合作互補模型與算法＊

朱浩瑋，張 飛，張西錦，任慶軍，孫洪春

（臨沂大學理學院，山東 臨沂276005）

引言

從世界范圍來看，企業經營面臨的外部環境發生了巨大變化，越來越體現出“多樣化、個性化”特征．企業之間的競爭，已經由過去的相對簡單、靜態、緩和轉變到如今的較為復雜、動態和激烈．隨著全球經濟一體化和區域經濟集聚化趨勢的不斷加強，企業逐漸認識到：僅憑某個企業的資源和能力，走內部挖潛道路，已經很難在激烈的市場競爭中長久地立于不敗之地．“在全球性的市場中‘完全損人利己的時代已經結束’，為了競爭必須合作．”（喬爾·布利克，1998），使企業雙贏乃至多贏成為可能．

供應鏈網絡管理，主要用于研究供應鏈上企業的布局、競爭和合作等問題．已成為現代物流研究的一個熱門課題，引起了國內外許多學者濃厚的研究興趣（參看綜述文獻［1，2］）．Nagur ney等［3］建立了三層供應鏈網絡均衡變分不等式模型．Dong等［4］研究了擁有隨機需求的有限維變分不等式為供應鏈網絡模型．Cheng等［5］基于Wardrop均衡原理建立了多產品的供需網絡均很模型．徐兵等［6］研究了產品隨機選擇下的多商品流供應鏈網絡均衡模型．滕春賢等［7，8］研究了隨機需求下供應鏈網絡均衡問題以及供應鏈網絡均衡模型．Choi等［9］研究了價格競爭環境下的產品定位問題，并構建了具有優化結構的均衡模型．

供應鏈網絡管理具有典型的層次性，供應鏈網絡中上下層之間的競爭和合作問題是供應鏈管理中研究的重要問題．供應鏈網絡中的上下層之間常常既具有競爭也有合作的博弈關系．因為處于上層的決策者通常處于主導地位，而處于下層的決策者在上層給出決策參數后，分別選擇自己的最佳決策，下層決策者又是追求個體利益最大化的獨立經濟主體，處于非合作博弈狀態，最終達到某種均衡態．這樣在供應鏈網絡系統中，就同時具有了上下層之間的競爭合作博弈關系和下層成員之間的非合作博弈關系，如何刻畫供應鏈網絡中的這種關系，進而揭示出供應鏈網絡中處于上下層的成員間的競爭和合作關系就顯得尤為重要．

本文利用均衡理論和二層規劃理論，對具有一個制造商和多個零售商的供應鏈網絡系統進行了研究，分析了同層零售商之間的競爭行為以及制造商和零售商之間的競爭合作關系，構建了二層供應鏈網絡的互補模型，并提出了求解該模型的一個新算法，在較寬松的條件下，證明了所給算法的全局收斂性和二次收斂率．本文的研究對分析供應鏈成員間的競爭和合作等問題具重要的理論和實際意義．

1 互補模型的構建

在供應鏈網絡結構中，假設有一個制造商和多個零售商，制造商處于占主導的地位，零售商屬于跟隨者，顧客在零售商處購買的產品數量是隨機的．

1．1 零售商的最優性條件

以單個銷售季為研究對象，令Dj表示零售商j的隨機需求量，是隨機變量，Fj為隨機需求的分布函數，fi為相應的密度函數，且μj表示數學期望需求量，即μj＝E（Dj）．假定零售商j處的零售價格為pj，用表示零售商j同制造商交易時所發生的交易成本．令Sj表示零售商的期望銷售量，用qj表示制造商送給零售商j的產品量，則

令Ij表示零售商j沒有銷售完的期望剩余庫存，假定這些剩余的產品在銷售季末將以單位價格vj處理，則

令Lj表示零售商j處供不應求時的缺貨量，則：

如果發生缺貨，則顧客會空手而歸以至于零售商和整個行業遭受一定商譽損失．用grj表示零售商處的缺貨對零售商j造成的商譽損失成本．

基于以上分析，為實現零售商的利潤最大，其利潤等于其收益減去相應的成本，用πj表示零售商j的利潤，則有

由（2）、（3）、（4），得

其中制造商給零售商j的批發價格記為w1j，j＝1，···，n．

假設每一個零售商將在他的競爭對手達到最優狀態下做出自己的定購量．由假設，零售商的成本函數為連續可微的凸函數，則所有零售商達到均衡就等價為如下問題，即求解q∈，滿足

1．2 制造商的最優性條件

由（3），則

1．3 基于供應鏈網絡的企業競爭與合作模型

對整個供應鏈網絡系統而言，制造商處于供應鏈網絡的上層占主導地位，首先給出批發價格．處于供應鏈網絡下層的零售商再根據上層制造商的批發價格，確定其最優的訂購量，處于下層的各個零售商屬于非合作博弈，繼而達到均衡態．

上層為制造商的利潤最大化問題：

下層所有零售商達到均衡狀態等價為如下問題，即，對給定的w1∈Rn＋使得

因此，基于供應鏈網絡的企業競爭與合作模型：

顯然，（10）等價于下面的互補問題，即求解q∈Rn＋使得

其中q＝（q1，q2，···，qn）T，w1＝（w11，w12，···，w1n）T，

下面，為給出（12）的一個等價轉化，首先給出下面的Fischer函數［10］，其定義為φ：R2→R1且φ（a，b）＝且有下面性質：

同時，Tseng［11］也給出了下面的結論

因此，對任意向量a，b∈Rn，定義一個向量函數

基于以上分析，（12）等價于等式Φ（q，H（q，w1）＝0．（11）等價的轉化為：

為進一步等價轉化（15）為一互補問題，對給定的向量函數Θ給出B－次微分的定義和計算方法．

定義2．1［12］設Θ：Rn→Rm為Rn上局部Lipschit z連續函數，則其B－次微分定義為?BΘ（x）＝，對于所有的k，Θ（x）在xk處可微｝．

Clar ke（［12］）廣義Jocobian微分定義為B－次微分的凸包，即?Θ（x）＝co?BΘ（x）．借助B－次微分的定義給出半光滑和強半光滑的定義．

定義2．2［12］局部Lipschit連續向量函數Θ：Rn→Rm在x∈Rn半光滑，若極限對任意h∈Rn存在．

易知，若函數Θ在x點半光滑，則Θ在x點沿任意方向h∈Rn的方向導數都存在．下面是關于半光滑函數的性質［13］．

定理2．1［13］設Θ：Rn→Rm為局部Lipschit Q連續函數且半光滑，則如下結論成立：

a）對任意V∈?Θ（x＋h），h→0，Vh－Θ′（x；h）＝O（‖h‖）；

b）對任意h→0，Θ（x＋h）－Θ（x）－Θ′（x；h）＝O（‖h‖）．

半光滑函數介于Lipschitz函數和連續可微函數之間，連續可微函數與凸函數都是半光滑函數，比半光滑稍強的概念是強半光滑．

定義2．3［13］函數Θ：Rn→Rm稱為在x點強半光滑，若Θ在x半光滑，且對任意V∈?Θ（x＋h），h→0有Θ（x＋h）－Θ（x）－Vh＝O（‖h‖2）．

下面討論向量值函數φ（x，y）＝（φ（x1，y1），φ（x2，y2），．．．，φ（xn，yn））的微分性質．特別地，給出φ（x，y）關于（x，y）的Clar ke廣義Jacobian矩陣的估計．為了方便，用?φ（x，y）表示φ（x，y）關于（x，y）∈R2n的Clar ke廣義Jacobian矩陣，類似于文獻［14］中命題3．1的討論，有如下結論．

引理2．1［14］對任意（x，y）∈R2n，?Ψ（x，y）?（Da，Db），其中

ai＝ξi－1，bi＝ηi－1，對任意（ξi，ηi）∈R2使得‖（ξi，ηi）‖≤1，若＋＝0基于以上分析，（15）的KKT條件為：存在λ1∈R2n，λ2∈R2n使得

令

則（17）等價于下面的互補問題，求一向量Q∈R4n使得

當上層的制造商給出批發價格以后，下層的零售商以上層制造商的批發價格為參數，進行非合作博弈，繼而達到均衡狀態，下層的零售商再把均衡解（訂購量）反饋給上層的制造商，制造商最后選擇自己的最優方案．

2 模型的算法及收斂性

對于實際問題，可用多項式進行曲線擬合，因此，模型（18）中的映射函數可假設為多項式函數，且要求在一個有界區域內求解．因此，在f（Q）是一個多項式函數和Q有界的假設下，給出求解（18）的一個新算法，并證明算法的全局收斂性和二次收斂率．為此首先建立（18）的誤差界．

定理3．1 假設f（Q）是一個多項式函數，且次數為正整數s≥1，對給定的正常數ρ，存在一個常數η1＞0使得dist?Q，‖Q‖≤ρ，其中r（Q）＝‖min｛Q，f（Q）｝‖，dist（Q，X＊）表示任給點Q到解集合X＊的距離．

證明 假設命題不成立，則存在序列｛Qk｝，對于任意的正整數k，皆有

即

其中‖Qk‖≤ρ．因序列｛Qk｝有界，且r（Q）是連續的，結合（19），有r（Qk）→0，k→∞，同時序列｛Qk｝存在收斂的子序列｛Qki｝，不妨設其中因f（Q）是一次數為S的多項式函數，因此，有

式中，β是一個正常數．另外，由（19），有：

這與（20）矛盾，所以命題結論成立．

基于（14），系統（18）等價轉化為下面等式

Φ（Q，f（Q））＝（φ（Q1，f1（Q）），φ（Q2，f2（Q）），…，φ（Qn，fn（Q））T＝0．

顯然，利用（13）和定理3．1，易有下面結論成立．

定理3．2 假設f（Q）是一個多項式函數，且次數為正整數s≥1，對給定的正常數ρ，存在一個常數η2＞0使得dist（Q，X＊）≤η2‖Φ（Q）‖，｜Q｜≤ρ．

下面，給出函數ρ：R＋→R，

定理3．3 假設f（Q）是一個多項式函數，且次數為正整數s≥1，對給定的正常數ρ，存在一個常數c1＞0，使得dist（Q，X＊）≤c1Ψ（‖Φ（Q）‖），‖Q‖≤ρ．

其中Ψ（φ（Q））＝（Ψ（｜φ（Q1，f1（Q））｜），Ψ（φ（Q2，f2（Q））），···，Ψ（φ（Qn，fn（Q）））2）T，c1＝η2．

基于定義2．3和（22）和（23），利用定義2．3，有如下結論．

定理3．4［14，15］對于（22）和（23）定義的向量函數F和實值函數，如下結論成立

下面，給出求解問題（18）的一個收斂算法，并且利用建立的誤差界結果，在不要求存在非退化條件下，證明所給光滑算法的二次收斂性．

算法3．1

步1：選取初始點Q0，參數σ，β，γ∈（0，1）和ε≥0，令k＝0．

步3：任選Hk∈?F（Qk），取dk為以下線性方程組的解

其中μk＝σ‖F（Qk）‖2．

步4：令mk為滿足如下條件的最小非負整數

令Qk＋1：＝Qk＋γmkdk，k：＝k＋1，轉步2．

容易證明dk為F（Q）在Q的下降方向，故算法3．1是有定義的．顯然，若▽F（Qk）＝0，則Qk為穩定點，從而在適當的條件下，Qk為（18）的解．在下面的算法收斂性分析中，假設算法3．1產生一個無窮點列，即Qk不是穩定點．

定理3．5 設｛Qk｝為算法3．1產生無窮點列，則｛Qk｝的任一聚點都是下面問題的穩定點．

證明：設Q＊為｛Qk｝的任一聚點，則存在無窮子列K?｛1，2，…｝使得｛Qk｝K→Q＊．由次微分的上半連續性可知，｛Hk｝k∈K有界．不妨設相應的子列

｛（Hk）｝K→H＊，｛μk｝K→μ＊，

從而有｛（Hk）THk＋μkI｝K→（H＊）TH＊＋μ＊I．

定理3．6 假設算法3．1產生的序列為｛Qk｝，當Qk充分的靠近F（Q）＝0的解Q＊，則有｛dist（Qk，X＊）｝二次收斂到0，即序列｛Qk｝二次收斂到∈X＊．

注：定理3．1表明在不要求存在非退化條件下，所給的光滑算法具有二次收斂性，這是一個新的結果．

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