一類(lèi)時(shí)滯SIQRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的穩(wěn)定性和Hopf分支＊

尹 發(fā)，張子振，王麗葉

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠，233030）

引言

近年來(lái)，基于網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播與傳染疾病的傳播相似性，有不少研究學(xué)者提出了不同的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，研究計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播行為．文獻(xiàn)［1］研究了一類(lèi)改進(jìn)的SIR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的穩(wěn)定性，并給出產(chǎn)生分岔的充分條件．文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［3］分別研究了一類(lèi)具有直接免疫的SIR和SIRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型．考慮到網(wǎng)絡(luò)病毒的潛伏期，文獻(xiàn)［4］則在SIR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的基礎(chǔ)上，提出了一類(lèi)SEIR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，并研究了模型的有病毒平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．但是，以上網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型并未考慮到時(shí)滯因素．考慮到網(wǎng)絡(luò)病毒的潛伏期時(shí)滯，文獻(xiàn)［5］提出并研究了一下具有隔離策略的時(shí)滯SIQR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型：

其中，S（t），I（t），Q（t）和R（t）分別表示易感狀態(tài)、感染狀態(tài)、隔離狀態(tài)和恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)在時(shí)刻t的數(shù)量．b，p，β，d，α1，α2，γ，δ和ε為系統(tǒng)（1）的參數(shù)，均具有和文獻(xiàn)［5］相同的物理含義．τ為網(wǎng)絡(luò)病毒的潛伏期時(shí)滯．文獻(xiàn)［5］研究了系統(tǒng)（1）的全局吸引性和持續(xù)性，得到了一些有益的結(jié)果．顯然，系統(tǒng)（1）是假設(shè)處于恢復(fù)狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒具有永久的免疫力，這與現(xiàn)實(shí)中的網(wǎng)絡(luò)世界是不相符的．基于此，并考慮到恢復(fù)狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒的臨時(shí)免疫期時(shí)滯，本文提出下列具有臨時(shí)免疫期時(shí)滯的SIQRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型：

其中，η為恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)向易感節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化率，τ為恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的臨時(shí)免疫期時(shí)滯．

1 有病毒平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

系統(tǒng)（2）在有病毒平衡點(diǎn)D＊處的線性化系統(tǒng)為

其中

系統(tǒng)（3）的特征方程為：

其中：

當(dāng)τ＝0時(shí)，方程（4）變?yōu)?/p>

其中：

A0＊＝A0＋B0，A1＊＝A1＋B1，

A2＊＝A2＋B2，A3＊＝A3＋B3．

根據(jù)A3，B3的表達(dá)式可以得到A3＋B3＝3d＋α2＋ε＋η＋βI＊＞0．因此，如果條件（H1）（其中，條件（H1）即：方程（6）～（8））成立，則系統(tǒng)（2）的有病毒平衡點(diǎn)D＊是局部漸近穩(wěn)定的．

當(dāng)τ＞0時(shí)，令λ＝iω（ω＞0）為方程（4）的一個(gè)根．則可以得到：

進(jìn)而，得到

其中，

令ω2＝v，則方程（10）變?yōu)?/p>

關(guān)于方程（11）根的分布，類(lèi)似于文獻(xiàn)［6］中的討論．根據(jù)文獻(xiàn)［6］中的討論結(jié)果，并考慮到如果系統(tǒng)（2）的所有參數(shù)值給定，那么方程（11）的根很容易由Matlab軟件計(jì)算得到．因此，為了給出本文主要結(jié)果，做出下列假設(shè)：

（H2）：方程（11）至少存在一個(gè)正實(shí)根．

如果條件（H2）成立，即方程（11）至少存在一個(gè)正實(shí)根，則方程（11）至少存在一個(gè)正實(shí)根v0使得方程（4）存在一對(duì)純虛根對(duì)于ω0，根據(jù)方程（9）可以得到相應(yīng)的時(shí)滯臨界值

因此，

對(duì)方程（4）左右兩邊同時(shí)求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，可以得到

因此，

因此，如果條件（H3），即，f′（v＊）≠0，成立，則根據(jù)文獻(xiàn)［7］中所介紹的Hopf分支定理可以得到下列結(jié)論．

定理1 如果條件（H1）～（H3）成立，則當(dāng)τ∈［0，τ0）時(shí)，系統(tǒng)（2）的有病毒平衡點(diǎn)D＊（S＊，I＊，Q＊，R＊）是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ＝τ0時(shí)，系統(tǒng)（2）在有病毒平衡點(diǎn)D＊（S＊，I＊，Q＊，R＊）處產(chǎn)生Hopf分支，并在τ＝τ0附近產(chǎn)生一簇周期解．

2 仿真示例

令b＝10，d＝0．01，p＝0．2，α1＝0．01，α2＝0．02，β＝0．1，γ＝0．5，δ＝0．1，ε＝0．1，η＝0．5．可以得到系統(tǒng)（2）的一個(gè)仿真示例：

利用Matlab軟件經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到，R0＝160．657 8＞1并得到系統(tǒng)（12）的唯一有病毒平衡點(diǎn)D＊（6．2，182．238 3，140．183 3，210．073 5），并且可以驗(yàn)證條件（H1）是成立的．進(jìn)而，有ω0＝1．002 9，τ0＝9．667 2．根據(jù)定理1可知，當(dāng)τ∈（0，9．667 2）時(shí)，系統(tǒng)（12）是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)τ＞τ0＝9．667 2時(shí)則系統(tǒng)（12）失去穩(wěn)定性，并產(chǎn)生Hopf分支．仿真效果如圖1～4所示．

圖1 當(dāng)τ＝8．35∈（0，9．667 2）時(shí)，系統(tǒng)（12）SIQ相圖

圖2 當(dāng)τ＝8．35∈（0，9．667 2）時(shí)，系統(tǒng)（12）IQR相圖

圖3 當(dāng)τ＝12．25＞τ0＝9．667 2時(shí)，系統(tǒng)（12）SIQ相圖

圖4 當(dāng)τ＝12．25＞τ0＝9．667 2時(shí)，系統(tǒng)（12）IQR相圖

3 結(jié)論

基于文獻(xiàn)［5］中所提出的SIQR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，并考慮到網(wǎng)絡(luò)中恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)對(duì)病毒的臨時(shí)免疫期，本文提出了一類(lèi)具有臨時(shí)免疫期時(shí)滯的SIQRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型．首先給出有病毒平衡點(diǎn)存在的條件，進(jìn)而以恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的臨時(shí)免疫期時(shí)滯為分支參數(shù)，通過(guò)分析相應(yīng)特征方程根的分布，討論了有病毒平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性，得到有病毒平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分支存在的充分條件．最后，給出一個(gè)仿真示例對(duì)所得理論分析結(jié)果的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證．Hopf分支的發(fā)生，將不利于控制網(wǎng)絡(luò)病毒傳播有效措施的制定．因此，應(yīng)該采取有效措施對(duì)系統(tǒng)（2）Hopf分支的產(chǎn)生進(jìn)行控制．

［1］Piqueira J．R．C，Araujo V．O．A modified epidemiological model for co mputer vir uses［J］．Applied Mathematics and Co mputation，2009，213（2）：355－360．

［2］肖麗，包駿杰，馮麗萍．一種新的計(jì)算機(jī)病毒模型的穩(wěn)定性分析［J］．湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2012，34（2）：94－96．

［3］葉曉夢(mèng)，楊小帆．基于兩階段免疫接種的SIRS計(jì)算機(jī)病毒傳播模型［J］．計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2013，33（3）：739－742．

［4］Peng M，He X，Huang J．J，Dong T．Modelling computer virus and its dynamics［J］．Mathematical Problems in Engineering，vol．2013，Article ID 842614，5 pages．

［5］楊斌．具有時(shí)滯的SIQR計(jì)算機(jī)病毒模型分析［J］．重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，30（9）：70－73．

［6］Li X．L，Wei J．J．On the zer os of a fourth degree exponential polyno mial with applications to a neural net wor k model with delays［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2005，26（2）：519－526．

［7］Hassard B．D，Kazarinoff N．D，Wan Y．H．Theory and Applications of Hopf Bif urcation［M］．Cambridge University Press，Cambridge（1981）．