微分中值定理的推廣形式

劉期懷

摘要：函數(shù)的可微性與定義域的凸性是中值定理成立的兩個(gè)本質(zhì)條件，本文我們將微分中值定理推廣到多元可微函數(shù)的情形。最后，我們將介紹微分中值定理的一個(gè)統(tǒng)一公式，該公式適用于所有的Lipschitz連續(xù)函數(shù)。

關(guān)鍵詞：微分中值定理；Lipschitz連續(xù)；Clarke梯度

中圖分類號(hào)：O178 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：C 文章編號(hào)：1674-9324（2015）28-0182-02

1 引言

微分中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)中最重要的定理之一，也是數(shù)學(xué)分析中的基本內(nèi)容。關(guān)于微分中值定理的研究有很多方面，主要涉及它的推廣形式及其應(yīng)用。在文獻(xiàn)[1]中，作者利用平面幾何中曲線之間的相切關(guān)系不依賴于坐標(biāo)軸的選取這一基本事實(shí)對(duì)微分中值定理進(jìn)行了幾何上的解釋；文獻(xiàn)[2]把微分中值定理推廣到連續(xù)的一元凸（或者凹）函數(shù)上去，給出了微分中值定理更加一般的形式。眾所周知，歐式空間上的凸（或者凹）函數(shù)具有局部Lipschitz連續(xù)性。下文中我們首先將微分中值定理推廣到多元可微函數(shù)上去，并且通過(guò)結(jié)果指出，函數(shù)的可微性與定義區(qū)域的凸性是中值定理成立的兩個(gè)本質(zhì)條件。最后，我們將介紹微分中值定理的一個(gè)統(tǒng)一公式，該公式可適用于所有的Lipschitz連續(xù)函數(shù)。

在本文中，我們始終假設(shè)A為歐式空間R上的開集，函數(shù)u（x）為A上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)。對(duì)于任意給定的x，y∈A，記[x，y]？奐A為連接x，y線段上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合。

2 多元函數(shù)微分中值定理

定理1：設(shè)u：A→R為可微函數(shù)，對(duì)于任意給定的x，y∈A，如果[x，y]？奐A，則存在ξ∈[x，y]滿足u（y）-u（x）=Du（ξ）·（y-x）.

證明：定義函數(shù)F：[0，1]→R為F（t）=u（ty+（1-t）x），則F為[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)。由Lagrange中值定理可知，存在一點(diǎn)τ∈（0，1）

參考文獻(xiàn)：

[1]曾可依.從幾何的角度看微分中值定理[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，（02）：108-111.

[2]王良成，白海，楊明碩.關(guān)于Lagrange微分中值定理的逆問(wèn)題[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（05）：140-143.

[3]P. Cannarsa and S. Carlo，Semi-concave functions，Hamilton-Jacobi equations，and optimal control [M]. Springer，2004.

[4]F. H. Clarke，Optimization and non-smooth analysis [M]. Wiley，New York，1983.endprint