大學代數知識在互聯網絡中的應用

周進鑫

摘要：代數方面的知識是數學工作者的必備基礎。本文通過討論大學代數知識在互聯網絡對稱性研究中的應用，提出大學數學專業學生檢驗自己對已學代數知識的掌握程度的一種新思路，即思考一些比較前沿的數學問題。

關鍵詞：代數；對稱；自同構

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）31-0191-02

一、引言與基本概念

《高等代數》（advanced algebra）和《近世代數》（abstract algebra）是大學數學專業有關代數方面的兩門重要課程。前者是大學數學各個專業最重要的主干基礎課程之一，后者既是對前者的繼續和深入，也是代數方面研究生課程的重要先修課程之一。這兩門課程概念眾多，內容高度抽象，是數學專業學生公認的難學課程。甚至，很多學生修完《高等代數》之后，就放棄了繼續學習《近世代數》。即使對于那些堅持認真學完這兩門課程的學生來講，也未必能做到“不僅知其然，還知其所以然”，而要做到“知其所以然，還要知其不得不然”就更是難上加難了。眾所周知，學習數學，不僅邏輯上要搞懂，還要做到真正掌握，學以致用，也就是“學到手”。當然，做課后習題和考試是檢驗是否學會的一個重要手段。然而，利用所學知識獨立地去解決一些比較前沿的數學問題，也是檢驗我們對于知識理解和掌握程度的一個重要方法。這樣做，不僅有助于鞏固和加深對所學知識的理解，也有助于培養學生的創新意識和自學能力。筆者結合自己所從事的教學和科研工作，在這方面做了一些嘗試。

互連網絡的拓撲結構可以用圖來表示。為了提高網絡性能，考慮到高對稱性圖具有許多優良的性質，數學與計算機科學工作者通常建議使用具有高對稱性的圖來做互聯網絡的模型。事實上，許多著名的網絡，如：超立方體網絡、折疊立方體網絡、交錯群圖網絡等都具有很強的對稱性。而且這些網絡的構造都是基于一個重要的代數結構即“群”。它們的對稱性也是通過其自同構群在其各個對象（如：頂點集合、邊集合等）上作用的傳遞性來描述的。

下面介紹一些相關的概念。一個圖G是一個二元組（V，E），其中V是一個有限集合，E為由V的若干二元子集組成的集合。稱V為G的頂點集合，E為G的邊集合。E中的每個二元子集{u，v}稱為是圖G的連接頂點u與v的一條邊。圖G的一個自同構f是G的頂點集合V上的一個一一映射（即置換），使得{u，v}為G的邊當且僅當{uf，vf}也為G的邊。圖G的全體自同構依映射的合成構成一個群，稱為G的全自同構群，記作Aut（G）。圖G稱為是頂點對稱的，如對于G的任意兩個頂點u與v，存在G的自同構f使得uf=v。圖G稱為是邊對稱的，如對于G的任意兩條邊{u，v}和{x，y}，存在G的自同構f使得{uf，vf}={x，y}。

至此，完全決定了這三類網絡的對稱性。不難看出，除了必要的圖論概念外，我們的證明主要利用了《高等代數》和《近世代數》的知識。做為上述問題的繼續和深入，有興趣的同學還可以考慮以下問題：

1.這些網絡是否具有更強的對稱性？比如：弧對稱性？距離對稱性？

2.完全決定這些網絡的全自同構群。

實際上，利用與上面證明相同的思路，結合對圖的局部結構的分析，利用一些組合技巧，這些問題也可以得到解決。

三、小結

大學所學代數知識在數學領域中的許多學科、乃至其他領域都有重要的應用。筆者認為任課教師可以根據自己所熟悉的科研領域，選取一些與大學代數知識有緊密聯系的前沿數學問題，引導一些學有余力的學生開展相關研究，甚至可以吸引一些本科生加入自己的課題組。當然，教師要給予必要的指導，比如講解相關背景知識、必要的概念和方法等。指導學生從相對簡單的問題入手，循序漸進，由易到難，逐步加深對代數學知識的系統理解，積累一些經驗，為考慮進一步的問題奠定基礎。

本文所提到的利用《高等代數》和《近世代數》的知識來研究網絡的對稱性就是筆者在教學工作中曾做過的一些嘗試。在該方面，筆者指導完成了由三名大三學生參加的國家級大學生創新實驗項目一項。這樣以來，學生在學習經典數學知識的同時，也可以思考一些比較前沿的數學問題；學生在鞏固已學知識的同時，也可以激發其學習興趣，訓練學生的邏輯思維，培養學生的創新思維，以及獨立發現問題和解決問題的能力。