不規則地形地波傳播衰減因子的改進算法及結果一致性研究

周麗麗 穆中林 蒲玉蓉 席曉莉

1 引言

低頻地波被廣泛用于導航授時系統。近年有關低頻地波新的研究應用方向主要有：淺水導航、土壤水分探測、新的捕獲降噪方法實現等方面[13]-。地波信號在傳播過程中受到傳播路徑的大地電參數、地形起伏及大氣折射指數等因素的影響，其傳播特性難以精確預測，從而導致該類系統精度降低[47]-。

目前基于均勻光滑路徑模型的理論預測方法主要有留數級數法，基于復雜（分段均勻光滑/不均勻不光滑）路徑模型的預測方法主要有 Millington方法、Wait積分方法、拋物線方程方法以及積分方程方法等，其中能考慮地形影響的算法主要是積分方程方法[8,9]。其最早由文獻[10]1952年基于格林第 2定理提出；1970年文獻[11]根據拋物線方程得到的另外一種積分形式；1988年文獻[12]則基于補償原理得到更為一般意義的積分形式。研究表明，這些方法在低頻段具有相同的結果[9]。由于能夠考慮傳播路徑實際地形起伏變化和電參數分布，理論上該方法比其它經典算法預測精度更高，且具有普適性。

對于復雜地形路徑，目前國內普遍采用的積分方程公式[1317]-與第1種積分公式相同或相近，衰減因子預測結果多是基于此方法。但即使在均勻光滑路徑模型下，文獻[14,15,17]給出的結果在地面接收距離大于 300 km時會與留數級數法的結果存在較大偏差，且傳播距離越遠，誤差越大，在1700 km的距離上二者預測的傳播相位差別甚至高達 16 μs[17]。上述文獻中沒有給出造成此項誤差的原因。

本文針對積分算法與其它經典算法預測結果不一致的問題進行討論，在對不同路徑模型地波衰減因子的定義、物理含義及相關算法公式研究基礎上，給出了積分方程算法的推導過程，分析了誤差產生原因，并對其進行改進，使之與其它理論算法預測結果趨于一致。下文時間因子統一取 e-jωt。

2 積分方程方法存在問題及算法改進

2.1 典型地面模型下地波衰減因子求解算法

在地波傳播理論預測中，當觀察點及場源均離地面不遠，則觀察點處的電場垂直分量可表示為[8,18]

其中

a為等效地球半徑，dl為電流元長度，θ為觀察點至場源的大圓角距離，Wg稱為地波衰減因子，它是傳播路徑地形及電參數的復雜函數。在實際工程應用中，當已知的是發射臺的輻射功率 Pr，以kW計。若傳播路徑的角距離 θ ≤π/12，則sinθ≈θ,a≈aθ=d,d為大圓距離，如果d以km計，則 E0可表示為

E0物理含義是理想導電平面條件下，場源（垂直電偶極子）及接收點均在地面，且傳播距離為d時接收點處電場垂直于地面的分量。

2.1.1 均勻光滑球地面 若地面為均勻光滑球地面，已知地面相對介電常數為εr，電導率為σ，留數級數算法中地波衰減因子Wg可表示為[4,5]

此處

h1和h2分別為發射點和接收點離地面高度，w2（ t）是愛里函數。式中參數q可表示為

Δg為歸一化地表面阻抗，可表示為

ts是微分方程 w'2（t） - q w2（ t）= 0 的第s個根。

2.1.2 分段均勻光滑球地面 當地面為分段均勻光滑球地面，設從發射點到接收點的傳播路徑分為 N個有限段，每段長度分別為： d1,d2,…,dN，歸一化表面阻抗分別為Δg1,Δg2,…,ΔgN。對應的地波衰減因子求解方法目前主要有 4種：Wait積分法、Millington方法、波模轉換法以及拋物線方程方法，下面僅給出拋物線方程方法相關公式。

設電波傳播的介質環境沿方位角φ沒有變化，且大氣折射指數沿高度方向不變，令磁場Hφ=[ε/ （r sin θ）]1/2ejkaθu（ r,θ），進行坐標變換，則可以推出u（ x, z）滿足式（10）的拋物線方程[19]：

其滿足邊界條件

其中

當已知x處地面及空中的u（ x, z），式（10）可以通過分步混合傅里葉變換或有限差分法求解下一段x +Δx 處的任意高度的 u（ x + Δx , z），進而不斷迭代得到任意一點的u（ x, z）。再根據式（13）求解出地波衰減因子

其中 H （x, 0） = - jk Id lejkx/2πx 。迭代初值可以由近0距離的平地面公式求解得到。

2.1.3 不均勻不光滑地面 若電波傳播路徑上地面電導率及地形都有復雜變化，此時地波衰減因子可以用積分方程[4,13]的數值解來求得。記發射源點的位置為O，觀察點的位置為P，地面上積分動點為Q，傳播路徑幾何示意圖如圖1所示。地波衰減因子滿足的積分方程為[8,18]

圖1 積分方程方法中傳播路徑幾何示意圖

其中 r1表示從源點到地面上積分動點Q之間的直線距離，2r表示從Q點到P的距離， h為所在直角坐標系中接收點距離地面的垂直高度。n表示地表面的法線方向。其中x表示觀察點至源點水平距離，L是Q與源點之間的水平距離。地面接收時A為1.0，空中接收時A為0.5。

2.2 積分方程方法直接預測地波衰減因子存在問題

由式（1），式（3）和式（13），光滑路徑和分段均勻光滑路徑模型下相關算法中地波衰減因子實質上是將實際接收點電場的垂直分量或磁場的水平分量與良導體平地面上相應傳播距離下場分量歸一化的結果，其考慮了近場感應、地球曲率、收發點高度以及地面有限電導率的影響。為分析采用積分方程方法與其它經典算法預測衰減因子不一致的問題，下面簡述積分方程方法的推導過程[13,17]。

在一個含有源為垂直電偶子的充滿空氣的封閉區域V內，電磁場的赫茲勢Π滿足標量非齊次波動方程

其中J是電流密度矢量，其模用J表示，δ（o）為沖擊函數，代表源的分布。取直角坐標系x,y,z,J的方向為z方向。區域V被大地表面與一個半徑無窮大的半球面包圍（不包含P點），利用第2格林定理

其中，ψ是一個格林函數，定義為

當地形起伏不大，滿足z'2? 1 （z'為地形函數的一階導數），根據邊界阻抗條件

（其中Δg為歸一化地表面阻抗，n為外法線分量），經過一系列計算可以得到

式（19）第1項為源在觀察點貢獻的直達波，以Π0（P）表示，第2項代表邊界上二次源對觀察點貢獻的場。若地面為一個無限大良導體平面時，可以知道此時P點場為2Π0（P）。此時衰減因子定義為[13,17]

將式（20）代入式（19），可以得出假定地形沿y方向沒有變化，應用穩定相位原理及一系列近似，可進一步簡化近似為1維積分式（14）。

由式（20）可以看出，積分方程方法中用于求解地波衰減因子的參考場量和以上其它各種方法不同。積分方程方法中參考場量對應的電波傳播距離為收發點之間的直線距離，而其他算法中的參考場量對應傳播距離為收發兩點的地表面上的大圓距離。只有當傳播距離很近，且收發點均在地面上時，兩種距離才能近似相等。這是積分方程方法與其它算法預測結果不一致的首要原因，由此導致即使在均勻光滑球地面模型下，其地波衰減因子預測結果與留數級數方法存在較大誤差。

再者，采用積分方程方法求解空中接收點時，離地高度（如圖 1所示）是指直角坐標系下離地垂直方向（z方向）高度，而其它算法中求解高空地波衰減因子（如式（6），式（7）和式（10））算法中對應的高度均是在球坐標系下定義的徑向（r方向）離地高度。該問題會進一步造成接收高度越高，與其它理論算法誤差越大的現象，且由于空中預測算法中離地高度并非海拔高度，算法對于空中傳播預測結果應用于實際工程時難以直接應用，需要進行高程轉換。

2.3 積分方程方法改進算法

針對積分方程方法存在的問題，本文提出對積分方法進行如下改進。

已知傳播路徑隨大圓距離d變化的地形海拔高度 hp（ d），首先將其轉換為直角坐標系下的地形函數z（ x） ：其中ha為發射天線處的海拔高度。將z（ x）代入式（14），求解原積分方程，可得到觀察點 Wg（ d, h ）（注意此處h和d分別表示原式（14）中大圓距離和接收高度）。

以 Pg表示改進后的衰減因子， hpR表示接收點實際的海拔高度， dp表示改進后對應的大圓距離，則

圖2 改進算法中地波衰減因子函數變量幾何示意

從式（24）可以看出本次算法改進的方式是對原算法求得的直角坐標系中大圓距離為d，離地垂直高度為h處的地波衰減因子，采用球面校正因子和高程轉換技術進行校正后得到的實為大圓距離為dp，海拔高度為 hpR處的地波衰減因子。

由上述推導分析可知直角坐標系中相同水平距離下，接收點分別在地面與空中時，在改進算法中對應的大圓距離不同。實際工程應用中當求解相同經緯度，不同海拔高度處的地波衰減因子時，在原積分算法中對應的水平距離或大圓距離也應不同。改進后的積分算法中，衰減因子包含了近場感應、地球曲率、地形起伏、有限電導率以及收發高度因素等對地波傳播特性的影響。同時，由于改進后的衰減因子中 hpR是觀察點海拔高度，亦更適合工程應用。

3 積分方程改進算法的數值結果驗證

該節對積分方程改進算法與其他方法結果的一致性進行了驗證。

圖3給出了接收高度 hpR分別為0 km和10 km條件下，采用積分方程、留數級數，拋物線方程方法計算的均勻光滑球地面的結果，電參數選擇為：σ= 3 × 1 0-3s/m, εr= 1 5。地球半徑取等效地球半徑 ae= 4 a/3，其中 a = 6 371.12 km。

從圖3可以看出，經改進后，積分方程方法結果與其它方法預測結果一致性非常好，均勻光滑地面條件下在1000 km范圍內與留數級數法幅度誤差小于0.2 dB，相位誤差小于50 ns。

圖4給出了不同接收高度（0 km, 5 km及10 km）條件下，采用積分方程算法、拋物線方程方法、波模轉換法以及Millintong算法計算的陸海兩段均勻光滑球地面的結果。其中Millintong算法只適用于地面接收的情況，因此只給出了地面接收結果。第1段路徑長 400 km，電參數為： σ = 1 0-3s/m,εr=10。第2段路徑長600 km，電參數為：σ=5 s/m, εr= 8 0。地球半徑仍取等效地球半徑 ae=4a/ 3。

從圖4可以看出，分段均勻光滑條件下改進積分方程方法與拋物線方程、波模轉換方法預測結果一致性也非常好，Millington算法與其它算法誤差略大。

圖 5（a）所示的是一條實際復雜傳播路徑上測量點分布區域圖。測量信號為宣城臺（O 點所示）播發的導航信號，沿該路徑共測量了8個點的相位，其中地面上測量了6個點，海拔為4.26 km的高空測量了1個點，海拔為6.40 km處測量了1個點。圖5（b）所示的是沿該路徑地形高程及 8個測量點空間位置分布，其中1～6為地面測量點，7, 8為兩個空中測量點。采用改進積分方程方法對該路不同高度（地面、4.26 km, 6.40 km）衰減因子相位進行預測，并將預測結果與上述8個點的實測結果進行比較，如圖 5（c）所示。該路徑中平原地區電參數取σ=3 × 1 0-3s/m, εr= 1 3； 山 區電參 數取 σ = 4 × 10-4s/m, εr= 7 。

圖3 均勻光滑球地面條件下地波衰減因子算法一致性驗證

圖4 分段均勻光滑球地面條件下地波衰減因子算法一致性驗證

圖5 復雜不規則路徑積分方程方法預測結果與實測結果比較

從圖5看出對于該復雜路徑，算法結果與實測結果吻合很好。

4 結束語

本文主要研究了低頻地波理論衰減因子算法中預測結果不一致的問題。給出了地波衰減因子預測中積分方程方法的改進公式，使不同算法在均勻/分段均勻光滑路徑模型下的地波衰減因子預測結果趨于一致，提高了電波地面長距離傳播衰減因子的精度，同時該算法更加適合實際工程問題的求解。受限于積分方程方法的局限性，諸如模型推導近似、數值積分近似及奇點處理等，文中改進算法對于地形起伏較緩的不規則路徑預測精度較高。對于地形起伏劇烈的不規則路徑，積分方程方法可通過與電磁場數值計算方法相結合等途徑進一步提高其預測精度[20]。

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