OFDM系統雙選擇性慢衰落信道的壓縮感知估計

葉新榮 朱衛平 張愛清② 孟慶民

1 引言

壓縮感知技術[1,2]能依據觀測信號 y ∈?M及線性模型 y = Φ x+n高概率地重構出稀疏信號x∈?N。這里的Φ ∈ ?M×N表示觀測矩陣，且通常M?N，即高維信號x經過線性觀測被降維（壓縮）成y; n表示噪聲。該技術將傳統信號處理過程中的采樣和壓縮合并成一步實現，有利于提高系統的效率，因而壓縮感知理論及其應用是近年來學術界的熱點課題[3,4]。信號的稀疏表示、重構算法及觀測矩陣的設計是壓縮感知技術的3個主要組成部分。近年來國內外的學者已提出了很多優秀的重構算法，且總體上可分為3類。其一是貪婪追蹤類算法，正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit,OMP[5]）是此類算法的典型代表。其基本思想是先通過觀測矩陣Φ中與殘差信號相關度最大的列向量估計出x非零元素的位置，接著通過最小二乘準則計算出非零元素的值，然后更新殘差信號，并繼續迭代以上過程，直到殘差信號能量小于閾值為止。凸松弛方法[6]是第2類有效的重構算法，其用一個凸函數（?1范數）代替目標函數里的?0范數，然后通過最優化的方法求解該凸函數的極值問題。由于x的?0范數不可微分，因而常用求極值的方法不能直接用于求解含?0范數的信號重構問題。針對?0范數不可微分問題，文獻[7]設計了一個近似?0范數的連續可微函數。文獻[7]和文獻[8]將該類方法稱為光滑近似?0范數法（Smoothed ?0-norm, S?0）。S?0算法不必將信號稀疏度及噪聲方差作為輸入參數，并具有運行速度快的優點，但其抗噪能力不強，且運用一個常數值作為最速下降方向的步長因子，而在實際應用場景里很難合理地設置該常數值。因此，本文在 S ?0目標函數里添加了一個誤差容允項，以此來提高算法的抗干擾能力，且采用共軛梯度法代替最速下降法求解建立的目標優化問題，避免了需要設置步長因子的限制，并將該算法稱為 S ?0正則化的最 小 二 乘 法 （Smoothed ?0-norm regularized least-square, ?2-S?0）。

壓縮感知技術能憑借少量的觀測信號高概率地重構出原始信號，因此相對于傳統信道估計方法而言，運用壓縮感知技術的信道估計方法能有效地減少導頻符號數，從而提高了系統的頻譜利用率。文獻[9]較為全面地研究了由不同衰落信道及不同系統模型組合成的多種場景里的壓縮信道估計問題，但缺少研究 OFDM 系統時變信道這種情形。針對OFDM 系統壓縮信道感知方法的最優導頻設計問題，文獻[10]提出了一種迭代搜索局部最優的導頻子載波方法，并將該方法推廣到MIMO-OFDM系統[11]，但討論的均是頻率選擇性非時變衰落信道。文獻[12]聯合離散傅里葉變換基和離散橢球序列（Discrete Prolate Spheroidal Sequences, DPSS） 來稀疏表示OFDM系統時變信道，并提出一種迭代優化該基的算法。文獻[13]針對MIMO-OFDM系統的信道矩陣從頻-時域變換到時延-多普勒域過程存在譜泄漏問題，提出了一種增強信道稀疏表示的時域加窗方法。與文獻[12,13]的信道稀疏表示思想不同，文獻[14]通過對時頻2維有界區域進行量化，并將多徑信道每條路徑的時延和多普勒參數對用一個量化點來近似，由于信道的多徑數遠遠少于量化點的個數，從而實現了無線信道的稀疏表示。另外在此基礎上，文獻[14,15]分別研究了單載波單天線和多天線系統壓縮信道感知方法的最佳導頻信號設計問題，但并未涉及OFDM系統。本文借鑒文獻[14]的信道稀疏表示思想，將OFDM系統慢時變信道估計問題建模為壓縮感知框架里的信號重構問題，并運用?2- S?0算法重構信道的參數，另外通過仿真實驗檢驗了該信道估計方法的可行性。

2 ?2 - S ?0重構算法

壓縮感知框架里的信號重構問題可表示為

為了提高S?0算法的抗噪聲能力，?2-S?0算法借鑒?2-?1類型[16]重構方法的思想，在S?0目標函數里加入一個誤差容許項（或稱數據匹配項）|| Φ x-y|，并采用一正則化參數λ＞0來平衡數據匹配項和稀疏引入項，從而構建式（2）的目標優化函數：

該目標函數F（）x是可微的，且其梯度函數可表示為

另外，F（）x的 Hess矩陣可表示為

其中 ?2Fσ（x）表示Fσ（x）的 Hess矩陣，且其可計算為

這里采用共軛梯度法（Conjugate Gradient, CG）求解式（2）的優化問題，并將該算法簡記為?2- S?0-C G。在其第k次迭代過程中， xk更新為

根據以上分析可將 ?2- S?0-C G算法描述如表1。

表1 ?2 -S?0-CG 重構算法的步驟

3 系統模型

考慮一個具有N個子載波的 OFDM 系統，并將添加循環前綴的發送信號記為

其中循環前綴的長度為cpN , （）Nn 表示數n模N運算，（）g t代表脈沖成形濾波器。則接收端收到的信號可表示為

這里無線信道的多徑數目為Q，第q條路徑的衰落系數、時延和多譜勒頻移分別為a[ q], τ~[q]和~f[ q],w（ t）指高斯噪聲。對接收信號以 1 /Ts的速率進行采樣，并將時延和多譜勒頻移分別歸一化為τ[q ] = τ~[q]/Ts和f[ q ] = ~f[ q ]Ts，則離散化的接收信號（不包括循環前綴）可表示為

s應 ， τ [q ] ∈ （τmin,τmax）, NcpTs＞ τmax,f[ q]∈ （- fmax/2,fmax/2）。通常g（ t）具有因果性及有限的時長Tg，若記 L -1= τmax+Tg/Ts，則 h [ k; l]= 0 ，（l ＜ 0 或l＞L-1）。從而式（9）可等效為

假設系統滿足如下兩個條件：（1）循環前綴長度不小于信道長度，即Ncp≥L; （2）收發端具有精確的符號同步，則矢量形式的時域接收信號（不包括循環前綴）可表示為

其中 y =（y[ 0],y[ 1],… ,y[ N - 1 ]）T∈ ?N×1和 x =（x[0],x[ 1 ],… ,x[ N - 1 ]）T∈ ?N×1分別表示接收和發送的時域信號， X =（X [ 0],X [1 ],… ,X[ N - 1 ]）T∈ ?N×1表示發送的頻域信號。DFT變換矩陣F的第（k, n）個元素F=（1/） e-j2πnk/N， 信道脈 沖響 應 矩陣k,nH∈?N×N的第（i, j）個元素H=h[ i; m od（i - j, N）],i,jw =（w [ 0],w[1 ],… ,w[ N - 1 ]）T∈ ?N×1表示時域噪聲。N×NL維矩陣A的第（i, iL + j ） 個元素Ai,j=x[（i - j）N], （i=0,1,…,N -1, j = 0,1,…,L-1）,其 余 元 素 為 零 。 h =（h[ 0;0],… ,h[ 0;L - 1],h[1;0],… ,h[ N - 1 ;L - 1 ]）T。

記NL×Q維矩陣G的元素G=ej2πf[q]k

l+kL, q?g（（ l- τ[q]）Ts）, a=（a[ 1 ],a [ 2],… , a [Q]）T，則可得

4 信道估計的方法

若分別對時延τ和多譜勒頻移f所在的區間（0,τmax） 和 （- fmax/2,fmax/2） 進行Iτ和 If次的均勻量化，則在2維有界區域 （0 ,τmax） ×（- fmax/2,fmax/2）可獲得 I = IfIτ個點 （τiτ,fif） ，其下標 iτ∈ { 0,1,… ,Iτ- 1 }, if∈{0,1,… ,If-1}。從而在這I個點中存在一個距離（τ[q],f[ q]）最近的點，將其記為），其中（τ[q],f[ q]）是由第q條路徑的真實時延τ[q]和多譜勒頻移f[ q]確定的點，下標∈{0,1,…,Iτ-1}∈{0,1,…, If-1}。

令NL × IτIf維矩陣的元素為[ l+ k L, if+ iτIf]=ej2πkfifg（（ l - τ ）T） ，其中 l ∈ {0,1,…,L -1}； 列向

） ，則向量h及接收信號可分別稀疏線性表示為

其中εy和εh表示用2維區域的 （）代替真實信道參數（τ[q],f[ q]）所產生的建模誤差，w~包含噪聲和系統稀疏建模所產生的誤差，= A。

從式（15）可獲得如下的最小二乘問題：

其解為

式（15）與壓縮感知的模型 y = Φ x+n具有相同的形式，且a~是稀疏向量，因此可先采用?2- S?0- C G算法求出式（18）的解 a?CS，然后由=估計出信道的脈沖響應。

在 2維區域 （ 0,τmax） ×（- fmax/2,fmax/2） 已正確地檢測到距離（τ[q],f[ q]）最近點的情形，并將該點的序號記為），（即則可從抽取Q列組成一個NL×Q維的子矩陣G~Q，其中被抽取的Q列的序號為+I , q ∈ { 1,2,… , Q }；從而式（15）可簡f化為

通過求解式（20）的最小二乘問題：

5 仿真結果與分析

圖1給出的是S?0, ?2-S?0-CG和理想OMP 3種重構算法的重構信噪比與噪聲功率的關系曲線。在OMP算法里假設已提前獲知信號的稀疏度K，且由K來控制算法的終止，這是一種理想化的情形，因此稱為理想OMP。這里原始信號x和測量信號y的長度分別為 N =1000和M= 4 00, x的稀疏度K= 1 00，且隨機抽取的K個非零元素值由復正態分布 N （ 0 ,1/2）+ jN（ 0 ,1/2）產生，測量矩陣Φ 的每個元 素 值 由N（ 0 ,1）+j N（ 0 ,1） 生 成 。 采 用 定 義 為20lg（||x ||2/||x - x? | |2）的信噪比 （SNR）來衡量重構算法的性能，且?2-S?0-CG算法里的參數r= 0 .5, P = 2 0。在各種不同的噪聲功率情形，從圖1可看出?2-S?0-CG算法重構信噪比優于S?0近10 dB，且略優于理想OMP。?2-S?0-CG不同于 S ?0之處是其目標函數里包含了誤差容允項|| Φ x - y，從而使重構出的x? 滿足 Φ x? 與y之間存在一定的誤差，更符合噪聲環境里的觀測模型y= Φ x+n。因此，相對于S?0而言，?2-S?0-CG抗噪聲干擾的重構能力更強。

在 Q =5, L =2和fmax= 0 .05的場景，且量化點數 Iτ= 1 00和 If= 3 0，圖2和圖3分別給出了不同信道估計方法的MSE和BER與信噪比的關系曲線。對于時頻雙選擇性慢衰落信道的情形，從圖 2和圖3可看出：隨著信噪比的增大，采用壓縮感知技術的信道估計獲得的 MSE和 BER會逐漸地減小；且信噪比僅為9 dB時，采用?2-S?0-CG的信道估計方法也能獲得低于-20 dB的MSE和0.1的BER。這表明文中對多徑信道的時延和多普勒頻移構成的時頻2維有界區域進行量化，并將OFDM系統信道估計問題建模為壓縮感知理論中的稀疏信號重構的方法是可行和有效的。另外在相同的信噪比，?2- S?0- CG信道估計方法獲得的MSE和BER均優于采用 S ?0和理想 OMP的信道估計方法，且其MSE僅低于理想LS方法的MSE 2 dB左右。由于噪聲的干擾和用2維區域的（τiτ,fif）代替真實信道參數（τ[q],f[ q]）引入了誤差，因而，從式（15）可看出接收信號y與之間存在誤差w~。 ?2-S?0- CG算法在 S ?0算法的目標函數里添加了一個誤差容許項，與式（15）的實際情況更匹配，因此取得了優于S?0算法的估計效果。

圖1 3種重構算法的性能比較圖

圖2 信道估計的MSE與SNR關系

圖3 信道估計的BER與SNR關系

文中提出的壓縮信道感知方法是尋求以距離真實信道參數最近的量化點來近似表示信道的時頻參數，因此在理論上隨著量化點數的增加，該近似表示誤差應該逐漸降低，從而信道估計的準確度也會相應地得到提高。在 Q = 5 , L = 4 和 fmax= 0 .2的場景，圖4給出了?2-S?0-CG信道估計方法在If= 2 0和不同Iτ量化點數時的MSE與SNR關系曲線。從該圖可觀察到在相同的信噪比，信道估計的性能隨著量化點數的逐漸增加而逐漸獲得提升；這是由于在固定的時頻2維有界區域，量化點數越多，真實信道參數與最臨近量化點之間的距離就越小，從而近似誤差就會隨著量化點數的增多而減小。

圖4 不同量化點數的壓縮信道感知MSE與SNR關系

6 結束語

本文圍繞 OFDM 系統雙選擇性慢衰落信道估計問題，提出了一種采用壓縮感知技術的信道估計方法。為了高概率地重構壓縮感知框架里有噪聲干擾的稀疏信號，這里首先建立了一個無約束優化目標函數（20S-??），并采用共軛梯度法求解該優化問題。接著通過對多徑信道的時延和多普勒頻移參數構成的時頻2維有界區域進行量化，將OFDM時頻雙選擇性慢衰落信道估計問題建模為壓縮感知理論中的稀疏信號重構問題。最后通過仿真發現，采用?2- S?0- C G重構算法的信道估計方法在估計性能方面優于采用 S ?0的信道估計方法，且其BER性能接近于理想最小二乘法的性能。

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