高速鐵路設計線形上任意里程處切線方位角的計算

聶虎嘯，劉成龍，王化光，陳 龍

（1.西南交通大學 地球科學與環境工程學院，四川 成都612756；2.成都市勘察測繪研究院，四川 成都610081）

在高速鐵路和客運專線等快速鐵路中，由于列車運行速度的提高，對線路平順性的要求很高［1］；而線路的平順性，主要由軌道的幾何狀態參數來評價［2］。這些軌道幾何狀態參數正確與否，直接關系到機車車輛能否安全運行。要計算軌道幾何狀態參數中的軌向和矢距以及線路設計線形上任意里程點處的平面坐標，線路設計線形上任意里程處的切線方位角是必要數據。可見，線路設計線形上任意里程點處切線方位角的計算，是進行軌道測量及其平順性檢測的基礎，因此，研究線路設計線形上任意里程點處切線方位角的計算方法是必要的。然而，如今線路設計線形上任意里程點處切線方位角的計算方法過于零散，給軌道平順性的檢測帶來了諸多不便，尤其不利于軌道平順性檢測數據處理的程序化。因此，本文結合相關的線路、高速鐵路測量理論和數學知識，探討線路設計線形上任意里程處切線方位角計算的方法，為今后軌道幾何狀態參數的編程計算提供依據。

1 線形判斷

高速鐵路線路中線的第一類平面設計文件，包括線路上各個曲線處四大樁點的里程、平面坐標以及切線方位角，即直緩點（ZH）的里程、平面坐標（xZH，yZH）、坐標方位角αZH，緩圓點（HY）的里程lHY、平面坐標 （xHY，yHY）、坐標方位角αHY，圓緩點（YH）的里程lYH、平面坐標 （xYH，yYH）、坐標方位角αYH，緩直點（HZ）的里程lHZ、平面坐標 （xHZ，yHZ）、坐標方位角αHZ。

鐵路平面線形由直線、圓曲線和緩和曲線組成。計算任意里程處切線方位角，首先將指定點的里程與設計文件中的四大樁點的里程進行比較，從而判斷指定點所處位置的線形；然后根據點的位置分三種情況對該點處切線的方位角進行計算，即點在直線、緩和曲線和圓曲線上三種不同情況下切線方位角的計算。

將線路上指定點的里程，與線路設計文件中各個曲線的四大樁點的里程進行比較，判斷該里程處于哪兩個相近大樁點之間，該點就處于這兩個大樁點所夾的線形上。例如，給定一個里程，與線路上四大樁點的里程進行比較，發現該里程處于直緩點和緩圓點的里程之間，那么，可以判斷，該點位于緩和曲線上。上述過程就是指定里程點所處線形判斷的過程，它是進行線路設計線形上任意里程點處切線方位角計算的基礎。

2 直線段切線方位角計算

當指定里程點位于直線段時，為了方便計算該點處的切線方位角，可將點的位置分為直緩點之前和緩直點之后兩種情況。

當指定的里程點位于直緩點之前的直線上時，根據直緩點處的切線方位角，可以確定直線上任意里程點處的切線方位角α：

式中：αZH為直緩點設計切線方位角。

當指定的里程點位于緩直點之后的直線段上時，根據緩直點處的切線方位角，可以確定直線上任意里程點處的切線方位角α：

式中：αHZ為緩直點設計切線方位角。

3 緩和曲線段時切線方位角計算

當指定里程點位于緩和曲線段時，建立以直緩點（ZHD）或緩直點（HZD）為坐標系原點、以直緩點或緩直點處的切線為x軸的緩和曲線段獨立坐標系。如圖1所示，圖中β為緩和曲線上任意里程點處切線與x軸的夾角。

由圖1可知，在緩和曲線上任意里程點處（設為P點）前進方向的切線方位角α計算：

式中：αZH-JD為直緩點到交點的設計坐標方位角，即與直緩點處切線方位角等同；β為緩和曲線上點的切線與x軸的夾角；c為線路方向定向因子，沿前進方向線路左偏時c＝-1，右偏時c＝1；圖1中的線路為左偏。

圖1 直緩點獨立坐標系

設ρ為該點處的曲線曲率半徑；l為P點至直緩點的緩和曲線長；l0為緩和曲線總長。R為圓曲線的半徑［5］。

首先計算P點至直緩點的緩和曲線長：

式中：LP為P 點的里程；LZH為直緩點的設計里程。

由圖（1）可知：dβ＝dl／ρ，同時緩和曲線方程滿足：ρl＝Rl0，由以上兩式可得：dβ＝l·dl／（Rl0）

積分得

可得緩和曲線上指定里程點處前進方向的切線方位角為

同理，若以緩直點（HZD）為原點建立緩直點獨立坐標系，如圖2所示，則圓緩點至緩直點之間的緩和曲線上任意里程點處前進方向的切線方位角

式中：l＝LP-LHZ；cc為線路方向定向因子，當沿前進方向線路左偏時cc取1，右偏時cc取-1；圖2中的線路為右偏。

圖2 緩直點獨立坐標系

4 圓曲線段時切線方位角計算

當指定里程點位于圓曲線段時，以緩圓點（HYD）為坐標原點，緩圓點的切線方向為x軸，切線的垂線為y軸，建立圓曲線獨立坐標系［6-10］。如圖3所示，圖中β為圓曲線上點的切線與x軸的夾角，γ為P點的弦切角，ψ為圓心角。

圖3 圓曲線獨立坐標系

由圖3，圓曲線任意里程點處切線方位角

式中：αHY為緩圓點處切線設計方位角，β為圓曲線上任意點處切線與x軸的夾角，沿前進方向線路左偏時c＝-1，右偏時c＝1。

其中αHY已由設計文件給出，β計算方法如下：

由指定點P的里程lp、緩圓點的里程lHY可得P點至緩圓點的曲線長：

由幾何關系可得圓心角：

由圖3可知曲線上P點的切線角：

式中：γ為HYD點的弦切角。

那么由式（8）、式（9）和式（10）可得圓曲線上指定里程點前進方向的切線方位角為

5 算例分析

本文推導線路設計線形上任意里程點處的切線方位角計算公式，為驗證其正確性與可行性，選取某高速鐵路的部分線路設計文件進行計算分析。某高速鐵路平面線形的部分線路設計文件如表1所示，按照推導公式計算的前進方向的切線方位角如表2所示。

表1 國內某高速鐵路平面線形的部分設計文件

表2 部分給定里程點前進方向的切線方位角計算結果

顯然，緩圓點既在緩和曲線上又在圓曲線上。從上表2中計算的結果可以看出，利用緩和曲線上任意里程點前進方向切線方位角的計算公式，得到的緩圓點處切線方位角與設計的方位角相同；同樣，對于圓緩點，分別利用圓曲線和緩和曲線上任意里程點前進方向切線方位角的公式進行計算，得到的圓緩點處切線方位角也相同，充分說明本文推倒的公式是準確無誤的，推導出的公式可以應用于高速鐵路軌道幾何狀態參數的計算和平順性檢測中，也可作為編程計算軌道幾何狀態參數的算法之一。

6 結束語

本文結合線路、高速鐵路測量和數學的相關知識，利用本文提出的指定里程點所在線形的判斷方法，推導了線路設計線形上任意里程點處不同線形上切線方位角的計算公式，經實例計算驗證，是一種正確并且實用的計算式。對今后線路測量的相關研究，尤其是對軌道平順性幾何狀態參數的研究有一定的幫助，為軌道平順性檢測數據處理的程序化提供了算法。當然，軌道設計線形上任意里程點處切線方位角計算，只是軌道測量技術相關研究中的部分內容，應在此基礎上繼續對軌道平順性檢測的數據處理內容與方法進行深入研究。

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