基于數值方法求解的周期加筋板聲振特性研究

胡毅鈞，王 偉，金葉青，葉夢熊

(1．海軍裝備部駐沈陽地區軍事代表局，遼寧 沈陽110031;2．海軍駐431 廠軍事代表室，遼寧 葫蘆島，125004;3．武漢第二船舶設計研究所，湖北 武漢430064)

0 概 述

周期加筋板被廣泛應用于艦船、飛機、高速列車等外殼結構中。當外殼結構受到外部激勵時，會向外部或內部流場中輻射噪聲，降低船舶的隱聲性和飛機、高速列車的舒適度。因此，開展周期加筋板的聲振特性研究，對于增強隱蔽性和提高舒適度具有重要意義。

針對周期加筋板在外部激勵下的動態響應和聲學特性，在過去的半個多世紀里已經提出了不同理論模型［1－10］。其中，Lee 和Kim［3］應用空間諧波展開法研究了無限大單向周期加筋板的聲透射問題，在他們的研究中加強筋被等效為彈簧和扭簧的組合模型。Mace［4－5］運用傅里葉變換法求解了流體載荷作用下單向周期加筋板在任意點激勵或線激勵下的聲輻射問題，但是只考慮加強筋彎曲運動的影響。Maxit［6］運用離散傅里葉變換法并考慮加強筋彎曲和扭轉運動的影響，建立理論模型研究了單向周期加筋板在波數域和空間域中響應，但是求解過程太過繁瑣，不便于數值編程操作。金葉青等［9］通過綜合Mace 和Maxit［5－6］方法的優點，建立了一種計算水中周期加筋板在簡諧點力作用下的遠場輻射聲壓的高效方法，通過與文獻［6］的計算結果對比驗證了其方法的有效性，并且借助該方法研究激勵力位置，板厚，加強筋間距和尺寸對周期加筋板聲輻射特性的影響。

本文將在文獻［9］所給出的周期加筋板聲振耦合方程解析表達式的基礎上，給出更加詳細的數值求解方法，以此來研究周期加筋板的遠場聲輻射特性及波數域中的振動特性。

1 理論模型

考慮如圖1 所示的無限大流體負載周期加筋板，y 方向上有一系列平行排列的加強筋沿著x 方向等間距均勻分布，加強筋間距為L。當從平板下側施加一單位簡諧點力于平板或加強筋上時，會使得加筋結構產生振動繼而向平板上側的流場中輻射聲壓，反過來聲壓也會影響加筋結構的運動。其中，機械點力作用點的位置為x0，其中x0∈［0，L］。

圖1 機械點力作用下平行加筋板聲輻射示意圖Fig.1 Sketch of sound radiation of periodically stiffened plate under concentrated force

為研究周期加筋板的聲振特性，文獻［9］基于經典薄板理論，通過充分考慮加強筋的彎曲和扭轉運動，并借助傅里葉變換法在波數域中求解周期加筋板的聲振耦合方程，給出機械點力作用下周期加筋板聲振理論耦合方程的解析表達式如下:

其中，αm=α +2πm/L，(m = n = － ∞ ～+ ∞)。

方程(1)中各種參數的含義詳見文獻［9］。

式中:pa的具體表達式可由文獻［9］得到;p0= 1E －6 Pa 為水中的參考聲壓。

本文將首先給出方程(1)的一種數值求解方法，在此基礎上再研究周期加筋板的遠場聲輻射特性和波數域中的振動特性。

方程(1)左右兩邊同時除以Z(αm，β)，可得:

定義下式:

利用方程(5)可將方程(4)簡化如下:

2 數值截斷方法

限于本文篇幅的約束及為了達到演示的目的，本文令m =2，則m = －2，－1，0，1，2，這樣將會得到關于未知數(α－2，β)，(α－1，β)，(α0，β)，(α1，β)和(α2，β)的5 個方程。其中，α－2=α + 2π(－ 2)/L，α－1= α + 2π(－ 1)/L，α0= α +2π(0)/L，α1=α+2π(1)/L，α2=α+2π(2)/L。將其代入到方程(6)中，則可以得到用于計算周期加筋板在波數域中橫向位移的矩陣方程如下:

其中，矩陣方程中的各項系數如下:

3 數值結果與討論

本節將利用式(2)和式(3)來計算點激勵作用下，系統參數對周期加筋板聲振特性的影響規律。本文將通過使用復彈性剛度E (1 + jη)來計及板和加強筋結構阻尼的影響，其中η 為結構的損耗因子，令η =0.02。

數值計算中，假設平板上半空間流體為水，其密度ρ0=1 000 kg/m3，水中聲速c0=1 500 m/s;機械點力的幅值q0=1N，作用點位置為(x0，0)，其值可取(0，0)，(L/4，0)， (L/3，0)和(L/2，0);球坐標中的聲場點Q 的坐標為r =50m，θ =45°，φ =45°。最后將得到的遠場輻射聲壓級都換算成r = 1 m 處的聲源級;設平板和加強筋材料為鋼;計算橫向位移譜(Hαβ)，加強筋的橫截面定為T型截面，其參數為A = 0.024 m2，Ix= 1.10 E －4 m4，Io=5.60 E －4 m4，J =3.60 E －5 m4;計算遠場輻射聲壓級(SPL)，加強筋的橫截面定為矩形截面，其參數為A =4.94 E －4 m2，Ix=5.94 E －8 m4，Io=6.64 E－8 m4，J=2.18 E－8 m4。

3.1 加強筋作用的影響

為了研究周期加筋板波數中的橫向位移譜，先對比分析無限大平板和無限大周期加筋板的橫向位移譜圖，如圖2(a)和圖2(b)所示。數值計算時，平板厚度h=0.048 m，加強筋間距L =1.2 m，作用點x0=L/4，頻率f=1 000 Hz，計算無限大平板的橫向位移譜時，令周期加筋板的截面參數取無限小值。

由圖2(a)可知，無限大光滑平板的橫向位移譜中存在2 個半徑不同的圓。其中，小細圓被稱為流體“聲波圓”。小圓的半徑R1= ω/c0=4.19 m－1，表示為流體介質中的聲波波數k0。大粗圓被稱為平板“彎曲波圓”，其半徑R2=9.76 m－1，表示為流體介質中無阻尼平板的彎曲波波數，其值的大小可以通過迭代方法求解其頻散方程(8)近似計算得到。當時，流場中的平面波為耗散波，此時光滑平板的振動位移呈指數衰減，輻射聲能呈現近場特性。當波數處于這個區域時，平面波為傳播波。這部分聲波可以輻射到遠場，因此在聲輻射中起主導作用。

圖2 無限大平板和周期加筋板Hαβ 的對比Fig.2 Hαβ of infinite smooth plate and periodically stiffened plate

對比圖2(a)和圖2(b)可知，圖2(b)中除了包含與圖2(a)中相同的“聲波圓”與平板“彎曲波圓”以外，同時還包含兩部分對稱于ky軸的“振蕩區”。這部分是由于平板的橫向彎曲運動與加強筋橫向彎曲及扭轉運動之間相互作用而產生的，其值大小分別為4.23 m－1和7.70 m－1。它們分別表示加強筋的彎曲波波數ksf和扭轉波波數kst，可以分別由加強筋的橫向彎曲運動和扭轉運動的頻散方程(9)和(10)計算得到。

3.2 加強筋間距的影響

本節將研究不斷改變加強筋間距對周期加筋板橫向位移譜和遠場輻射聲壓的影響規律，如圖3 和圖4所示。計算Hαβ時，平板厚度h=0.048 m，加強筋間距L=0.8，1.0，1.2，1.5 m，作用點x0=L/4，頻率f =1 000 Hz;計算SPL 時，平板厚度h=0.005 m，加強筋間距L =0.15，0.2，0.25 m，作用點x0=0，L/4，L/3，L/2，頻率f=100 ～1 000 Hz。

圖3 不同加強筋間距下平行加筋板的Hαβ 圖Fig.3 Hαβ of periodically stiffened plate in different spacing of the stiffeners

由圖3 可知，改變加強筋間距對結構橫向位移譜的影響比較明顯。隨著加強筋間距不斷增大，橫向位移譜中平板“彎曲波圓”附近的光亮區域逐漸縮小，并向“彎曲波圓”逐漸靠近，值的大小也逐漸減小，結構的輻射能力逐漸在下降。同時，隨著加強筋間距不斷增加，螺旋線的波動周期也逐漸變得密集。這說明隨著平板厚度不改變的情況下，隨著加強筋間距不斷增加，平板與加強筋之間的耦合效應越來越弱，最終加筋板的振動特性將漸趨于光滑平板。

由圖4 可知，3 條SPL 曲線總體上的變化趨勢還是能保持很好的一致性。在低頻段，改變加強筋間距對結構聲輻射的影響不大，3 種不同強筋間距時的SPL 曲線基本上是重合的;加強筋間距變化主要在中高頻段顯著影響結構的聲輻射，這是因為此時平板彎曲波波長與結構加強筋間距在量值上相當。隨著加強筋間距不斷增加，結構SPL 曲線上的波峰和波谷不斷向低頻方向移動。這是因為結構的固有頻率隨著加強筋間距不斷增加而減少，因而SPL 曲線上與結構固有頻率所對應的波峰和波谷才會逐漸向低頻推移。因此，通過合理選擇加強筋間距可以設計出力學和聲學性能最優的結構形式。

圖4 不同加強筋間距下平行加筋板的SPL 曲線Fig.4 SPL curves of periodically stiffened plate in different spacing of the stiffeners

4 結 語

為了研究周期加筋板遠場聲輻射特性和波數域中的振動特性，本文在文獻［9］的基礎上，首先給出一種數值求解方法，然后在此基礎上對比分析了無限大平板和周期加筋板在波數域中的橫向位移譜，最后分析了加強筋間距對周期加筋板橫向位移譜和遠場輻射聲壓的影響。主要結論如下:

1)周期加筋板的橫向位移譜中存在3 個特征區域，即“聲波圓”、“彎曲波圓”和耦合“振蕩區”。

2)改變加強筋間距影響非常明顯。隨著加強筋間距不斷增加，平板與加強筋之間的耦合效應越來越弱，最終加筋板的振動特性將會漸趨于光滑平板。

3)隨著加強筋間距不斷增加會使得結構的固有頻率降低，使得結構的SPL 曲線會向低頻段偏移，而低頻平滑段減少。

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