水動力系數(shù)敏感性分析在潛艇水平面運動模型簡化中的應(yīng)用研究

李浪濤，倪 剛，潘良高，胡 濤，林俊興

(1.海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢430033;2.中國人民解放軍92531 部隊，海南 三亞572000;3.海軍駐南京地區(qū)航天機電系統(tǒng)軍事代表室，江蘇 南京210006)

0 引 言

在潛艇操縱性研究中，計算機仿真作為操縱性預(yù)報最有前途的方法被廣泛的使用［1］。目前，對潛艇操縱性進行評估的方法是基于傳統(tǒng)的、以水動力系數(shù)表達水動力(矩)的水動力模型，通過時域的數(shù)值解算進而評估不同的機動［2］。模型中無因次水動力系數(shù)通常被認為是常數(shù)，該方法普遍用于預(yù)報潛艇水面、水下的操縱性及評估其運動控制性。而此方法的核心是仿真數(shù)學模型和水動力系數(shù)［3］。

通過大量的研究試驗證明，用近似估算公式估算的水動力系數(shù)［4］，來進行數(shù)值仿真預(yù)報潛艇操縱性的精度已經(jīng)達到了工程要求［5］。但這種測算方法也有一些急需解決的問題:怎樣進一步提高精度以及如何減少研究的工作量等。通過深入研究發(fā)現(xiàn)，不同的水動力系數(shù)對潛艇的操縱性影響范圍和程度都有所不同，因此各水動力系數(shù)在模型中的重要程度也是不同的，如果可以找到各水動力系數(shù)對操縱性影響的規(guī)律，盡量提高對操縱運動影響顯著的水動力系數(shù)的估算精度。同時將對操縱運動影響較小的水動力系數(shù)做較為粗糙的估算，或者將這些水動力從運動模型中舍去。這樣不僅能夠提高預(yù)報精度，而且可以大大減少工作量［6］。

因此，水動力系數(shù)敏感性研究提出了一個可以簡化水動力模型和界定各水動力系數(shù)對潛艇操縱性影響程度的方法。本文采用水動力系數(shù)敏感性指數(shù)對某模型艇水平面運動模型的水動力系數(shù)敏感性進行了計算與分析，結(jié)果得到了不同水動力系數(shù)的相對重要程度，并且根據(jù)不同誤差范圍，簡化了潛艇水平面動力模型。為潛艇的設(shè)計和操縱性研究提供參考，并為國家自然科學基金項目(51179196)的研究提供理論指導(dǎo)。

1 潛艇水平面運動模型

本文的坐標系、名詞術(shù)語和符號，都采用國際水池會議(ITTC)推薦的和造船與輪機工程學會(SNAME)術(shù)語公報體系［2］。運動方程為潛艇標準水平面運動方程:

軸向運動方程:

側(cè)向運動方程:

轉(zhuǎn)艏運動方程:

運動關(guān)系式:

從潛艇水平面運動模型看出，模型的確定需要2 個因素，一是反映模型結(jié)構(gòu)的數(shù)學方程，二是描述潛艇的特征參數(shù)(水動力系數(shù)是特征參數(shù)之一)。當模型結(jié)構(gòu)確定以后，潛艇的運動參數(shù)就構(gòu)成了模型中參數(shù)的函數(shù)［6］。也可以說，潛艇水平面運動模型確定了一個從模型參數(shù)到運動參數(shù)的映射，這映射關(guān)系可以描述為:當給定模型參數(shù)的向量空間X 后，就決定了運動參數(shù)曲面R=S(X)。對向量空間X 中任意一個參數(shù)向量H，運動參數(shù)曲面S 上總有反映運動參數(shù)R 的一點P 與之對應(yīng)，且P 點將隨著H 的改變而改變。研究中發(fā)現(xiàn)，模型中任意參數(shù)的變化，都將引起運動參數(shù)R的改變。本文目的是研究潛艇在水平面回轉(zhuǎn)運動中，模型參數(shù)空間中水動力系數(shù)的變化對戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑的影響程度。

2 水動力系數(shù)敏感性指數(shù)

由于不同的水動力系數(shù)對于潛艇操縱性的影響程度不同，即潛艇操縱性對不同水動力系數(shù)的敏感程度不同，因此引入水動力系數(shù)敏感性指數(shù)S［7］，定義如下:

式中:R 為運動參數(shù)，例如戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑、超越深度等;H 為水動力系數(shù)。有上標* 為基準的水動力系數(shù)和對應(yīng)仿真計算得到的運動參數(shù)，無上標為變化的水動力系數(shù)和對應(yīng)仿真計算得到的運動參數(shù)。

從上式中可以看出，敏感性指數(shù)S 代表了潛艇在某一操縱條件下運動參數(shù)對水動力系數(shù)變化的敏感程度，可以理解為1%的水動力系數(shù)變化導(dǎo)致潛艇運動變化的百分點數(shù)。例如，在潛艇在航速8 kn、操方向舵5°進行水平面回轉(zhuǎn)運動時，作為輸入響應(yīng)的某一水動力系數(shù)Hi變化a%，那么對于選取作為輸出響應(yīng)的戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑，也會相應(yīng)的變化b%，輸出響應(yīng)的變化比上輸入相應(yīng)的變化，即可以求出此操縱條件下作為運動參數(shù)的戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑的水動力系數(shù)敏感性指數(shù)。當S = 0 為輸入變化對輸出響應(yīng)沒有任何影響;S ＞0 為輸出響應(yīng)隨輸入的增大而增大;S ＜0 為輸出響應(yīng)隨輸入的增大而減小。同時，S 的絕對值越大說明輸入變化對輸出響應(yīng)的影響程度越大，即該水動力系數(shù)對操縱運動的影響越顯著。

3 水動力系數(shù)敏感性指數(shù)計算與分析

3.1 水動力系數(shù)敏感性指數(shù)的計算

本文利用Matlab7.8/ Simulink 軟件，根據(jù)某模型潛艇的結(jié)構(gòu)特點和水動力系數(shù)，建立其水平面運動仿真模型。計算機模擬仿真其水平面回轉(zhuǎn)運動，選取潛艇標準水平面運動模型中的27 個無因次水動力系數(shù)為輸入量，輸出響應(yīng)為戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑。因為回轉(zhuǎn)運動試驗是標準操縱試驗，因此選擇戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑這個操縱性指數(shù)既可簡化計算，又具有代表性，還可以較為全面反映潛艇的回轉(zhuǎn)操縱特性［7］。本文在仿真試驗過程中，只考慮單個輸出響應(yīng)與單個輸入變量的敏感性。

在本文計算機仿真試驗中，設(shè)定航速8 kn，分別操方向舵5°，10°，20°，30°，35°，每次通過選取單個水動力系數(shù)作為輸入量，將其從-100%變化到+100%，每次變化20%，然后通過大量仿真計算得出相應(yīng)的輸出響應(yīng)R。再根據(jù)敏感性指數(shù)公式計算出各操縱條件下、各輸入量對應(yīng)百分比變化的敏感性指數(shù)S 的值。本文將水動力系數(shù)的敏感性指數(shù)分類進行分析，做出具有代表性的水動力系數(shù)在各操縱狀態(tài)下的敏感性指數(shù)曲線，各圖中的橫軸表示各水動力系數(shù)敏感性指數(shù)定義中縱軸表示圖中各曲線的斜率為相應(yīng)的敏感性指數(shù)。

各水動力系數(shù)分別在五種操舵運動狀態(tài)下的敏感性計算結(jié)果，可以分3 類進行分析:1)如圖1 所示水動力系數(shù)X′rr，此類水動力系數(shù)的敏感性指數(shù)在各舵角的運動狀態(tài)下都為正，這種情況下各運動狀態(tài)的戰(zhàn)術(shù)直徑隨水動力系數(shù)的增大而增大。這樣的系數(shù)包括2)如圖2 所示水動力系數(shù)此類水動力系數(shù)的敏感性指數(shù)在各舵角的運動狀態(tài)下都為負值，這種情況下各運動狀態(tài)的戰(zhàn)術(shù)直徑隨水動力系數(shù)的增大而減小，這樣的系數(shù)包括δr;3)如圖3 所示水動力系數(shù)X′vv，此類水動力系數(shù)的敏感性指數(shù)在各舵角的運動狀態(tài)下有正值也有負值。這樣的系數(shù)有X′u·，Y′r·，X′vv，Y′v·，N′v·，N′r·，bT，cT。

圖1 在回轉(zhuǎn)運動中的敏感性Fig.1 Sensibility of when submarine’s rotary movement

圖2 在回轉(zhuǎn)運動中的敏感性Fig.2 Sensibility of when submarine′s rotary movement

圖3 在回轉(zhuǎn)運動中的敏感性Fig.3 Sensibility of when submarine′s rotary movement

以上分析可知:在不同操舵運動狀態(tài)下的各水動力系數(shù)敏感性指數(shù)存在很大差異。而在相同操舵運動狀態(tài)下，各水動力系數(shù)敏感性指數(shù)也同樣存在較大差異。本文以操舵20°為例，對相同操舵運動狀態(tài)下的各水動力系數(shù)敏感性指數(shù)進行了分析，按水動力系數(shù)的性質(zhì)分3 類進行分析:1)附加質(zhì)量系數(shù)敏感性指數(shù)間的比較。從圖4可知，在附加質(zhì)量系數(shù)中，除外絕大多數(shù)附加質(zhì)量系數(shù)在此運動狀態(tài)下敏感性指數(shù)都很小;2)線性與非線性水動力系數(shù)敏感性指數(shù)之間的比較。對比分析圖5 和圖6 可知，無論是線性或是非線性系數(shù)，其中影響操縱性大的都是z 方向上的水動力力矩系數(shù);3)不同方向上的水動力系數(shù)敏感性指數(shù)之間的比較。對比分析圖7 ～圖9可知，不管是哪個方向上的水動力 (矩)系數(shù)，對操縱性運動影響較大的都是與舵角有關(guān)的水動力系數(shù)。

圖4 操舵20°時，附加質(zhì)量敏感性曲線Fig.4 Sensibility curve of added mass when δr=20°

圖5 操舵20°時，線性水動力系數(shù)敏感性曲線Fig.5 Sensibility curve of linear hydrodynamics coefficient when δr=20°

注:1—Xδrδr 2—Xrr 3—Xvr 4—Xvv

圖7 操舵20°時，x 方向上水動力系數(shù)敏感性曲線Fig.7 Sensibility curve of hydrodynamics coefficient of x place when δr=20°

圖8 操舵20 °時，y 方向上水動力系數(shù)敏感性曲線Fig.8 Sensibility curve of hydrodynamics coefficient of y place when δr=20°

圖9 操舵20 °運動狀態(tài)下z 方向上水動力系數(shù)敏感性曲線Fig.9 Sensibility curve of hydrodynamics coefficient of z place when δr=20°

3.2 水動力系數(shù)敏感性指數(shù)的確定

對于各水動力系數(shù)在不同操縱條件、不同變化輸入量下的敏感性指數(shù)，選取其中絕對值最大者為本水動力系數(shù)在水平面回轉(zhuǎn)運動下的敏感性指數(shù)，得到表1，其表征的是水動力系數(shù)對潛艇水平面回轉(zhuǎn)運動狀態(tài)下戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑的最大影響程度。

表1 各水動力系數(shù)的最大敏感性指數(shù)Tab.1 The most sensitivity index of hydrodynamics coefficient

根據(jù)由表1 分析如下:不同水動力系數(shù)的敏感性指數(shù)是存在差異，即表明不同水動力系數(shù)對潛艇運動狀態(tài)的影響程度不同;在該操縱條件下線性水動力系數(shù)的敏感性指數(shù)都大于非線性水動力系數(shù)的敏感性指數(shù);轉(zhuǎn)首力矩水動力系數(shù)的敏感性指數(shù)相對軸向力和側(cè)向力水動力系數(shù)敏感性要大，這和回轉(zhuǎn)運動特性相吻合。

通常情況下，我們感興趣的只是其中敏感性指數(shù)較大的水動力系數(shù)，因為他們對相應(yīng)的潛艇運動影響較大，為了更精確的預(yù)報潛艇運動，在估算或則試驗計算這些水動力系數(shù)時，盡量提高它們的估算精度。而對于一些敏感性較小的水動力系數(shù)，由于它們對相應(yīng)潛艇運動影響較小，所以我們可以根據(jù)自身的需要，為了減少工作量，對這些敏感性較小的水動力系數(shù)粗略估計或者舍去這些水動力項，從而簡化模型。

3.3 模型簡化與對比

本文分別選取了0.01，0.025，0.028，0.03，0.035，0.05 作為敏感性指數(shù)指標，將敏感性指數(shù)小于這些指標的水動力系數(shù)賦值為0，舍去敏感性較小水動力項，簡化模型。其中，，aT，bT，cT這4 個系數(shù)為潛艇艇體結(jié)構(gòu)自身所決定，故不能忽略;Y′r·和這2 個系數(shù)在模型計算過程中位于方程式分母位置，若忽略則運動方程無解，所以也不能賦值為0。所以，不同指標對應(yīng)的可忽略水動力系數(shù)如表2。

表2 不同指標對應(yīng)的可忽略的水動力系數(shù)Tab.2 The negligible hydrodynamics coefficient of various index

再次利用建立的運動仿真模型，對選擇不同敏感性指數(shù)指標所簡化的運動方程，在8 kn 航速下，分別操舵5°，10°，20°，30°，35°運動狀態(tài)，仿真計算運動參數(shù)，繪制航跡線，并計算各模型在不同操縱條件下戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑的誤差值，如表3。這里列出在操方向舵5°時，取敏感性指數(shù)指標0.03 和0.05 下，簡化的模型與原始模型仿真潛艇水平面回轉(zhuǎn)運動的航跡曲線，如圖10 所示。

表3 不同敏感性指數(shù)指標下的戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑相對原始模型戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑誤差Tab.3 Error of tactics rotary diameter of various index when new model compare with original model

圖10 方向舵5°，取敏感性指數(shù)指標0.03 和0.05 簡化的模型與原始模型仿真潛艇水平面回轉(zhuǎn)運動航跡曲線Fig.10 The curve of simplified model and original model simulation submarine rotary movement in horizontal ，when δr=20°and sensitivity index of0. 03，0. 05

從圖10 可知，簡化方程后的仿真結(jié)果與原方程的仿真結(jié)果十分接近，很好的驗證了水動力系數(shù)敏感性指數(shù)這種方法的有效性。并且從表3 可知，在同一操縱條件下，簡化模型的誤差值隨著敏感性指數(shù)指標選取的增大而增大。所以，根據(jù)不同精度的需要，完全可以將方程進行不同程度的簡化，以降低建模難度，減少運算量。

4 總結(jié)與展望

本文研究結(jié)果表明，根據(jù)計算的水動力系數(shù)敏感性指數(shù)，在潛艇設(shè)計和操縱性研究中，為了提高計算精度，可以對敏感性指數(shù)較大的水動力系數(shù)進行精確計算;為了減少工作量，在誤差允許的范圍內(nèi)，可以對敏感性較小的水動力系數(shù)進行粗略估算或則舍去，從而簡化模型。本文作為國家自然科學基金項目《基于高維全局分叉的水下航行器空間運動穩(wěn)定性數(shù)值分析與自航模試驗研究》 (51179196)研究的基礎(chǔ)，為潛艇的操縱性和運動非線性研究提供了理論指導(dǎo)。

但是，本文主要以潛艇水平面運動模型，對單輸出對應(yīng)單輸入來計算水動力系數(shù)的敏感性，沒有考慮各水動力之間存在的耦合因素。根據(jù)項目的研究工作，接下來將對潛艇六自由度空間運動模型進行研究，并考慮各水動力系數(shù)之間存在的耦合因數(shù)，計算單輸出對應(yīng)多輸入或則多輸出對應(yīng)多輸入之間水動力系數(shù)的敏感性。

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