考慮橫向剪切變形下水中矩形板聲振特性研究

朱擁勇

(海軍工程大學 兵器工程系，湖北 武漢430033)

0 引 言

水中結構的特征阻抗與結構周圍的聲傳輸介質特征阻抗接近，故介質阻抗對結構振動不可忽略。結構振動向周圍介質空間輻射聲能，同時反作用于結構的聲場又改變結構的振動特性，這種特性稱為流-固耦合，通常求解時的步驟為:先求解結構的聲輻射問題，得到結構的輻射阻抗，再將結構輻射阻抗等效為流體對結構的反作用力，用結構的位移變量引入到結構的振動方程中，求解該耦合方程就得到結構在考慮流體加載效應時的響應，進而得到結構輻射的聲壓場。1952 年，Junger［1］最早對浸沒聲場中的圓柱殼進行研究，將此類問題簡化為平面問題情況下分析流體載荷對圓柱殼振動特性影響，得出了附連水的存在降低殼體固有頻率顯著影響結構低頻振動的結論。Davies［2］采用瑞利積分公式研究了水下矩形薄板受到簡諧點激勵、面激勵、線激勵作用下低頻段的聲振特性。Nelisse 和Beslin［3］用一組特定的三角函數作為基函數，采用瑞利-里茲方法求解了有、無障板條件下矩形板在水中的輻射效率。Chang［4］假定流體在不可壓、無旋無粘以及“濕”模態擾度等于“干”模態擾度的條件下，利用二維傅里葉變換，求解了無限大障板中單面臨水的簡支、固支矩形板的聲振動頻率。求解水中結構聲輻射問題還有一種等效方法，將結構聲輻射抗等效為附加在結構上的質量塊，結構的同振質量隨之改變，將改變的質量以結構密度的等效密度體現出來［5］。國內對水中結構聲振特性研究，崔宏武等［6］對水下結構聲振特性做了詳細的理論分析，具有國內研究開創性。何祚鏞出版專著重點研究了水下結構和聲場耦合產生振動和聲場的分析計算［7］。湯渭霖［8］、石煥文［9］等集中于研究結構噪聲的控制激勵，系統研究了水中彈性結構聲散射和聲輻射以及水下裂紋板結構的聲振耦合機理。研究結構-流體耦合系統的動態特性，需充分考慮結構表面聲壓對結構的作用力，結構在外界激勵載荷和流體耦合力的綜合作用下達到動態平衡，這樣的研究對水下航行體的設計更具參考價值。

本文采用變分法建立流- 固耦合方程，通過求解結構的質量矩陣及剛度矩陣，并結合模態疊加方法分析結構模態輻射效率及振動模態耦合對結構產生的影響，對比分析空氣與水中結構的聲振特性。

1 聲振模型及基本理論公式

1.1 矩形板動力學響應

一般從經典的線彈性理論出發，給出描述問題的控制方程、物理方程和幾何方程，以及實際求解時的位移、應力、應變以及邊界條件。經典板殼振動彈性理論是基于Love -Kirchhoff 假定的所謂薄板理論，采用直法線假定，忽略了板橫向的剪切變形，計算誤差較大。鑲嵌在無限大障板中的簡支矩形板模型如圖1 所示，長、寬分別為a，b，流體介質為輕流體空氣和重流體水介質。變分法涉及到結構動力和應變能，基于Mindlin 模型，考慮板振動的橫向剪切變形下板的位移場可表示為

式中:u，v，w 為板沿x，y，z 方向的振動位移;u0，v0，w0為中面的面內和法向線位移;φx和φy為橫截面分別繞x 和y 軸的旋轉角位移。從而可知，計算過程中含有3 個線自由度u0，v0，w0，以及2 個法向轉角自由度φx和φy。線自由度以與坐標軸的正方向一致時為正，轉角自由度遵守右手螺旋定則，以繞各坐標軸順時針方向轉動為正。

圖1 簡支矩形層合板結構的空間模型Fig.1 Space model of simply supported multilayered rectangular plate

研究板振動問題時，需建立形變分量與位移的關系，也就是振動響應的幾何方程，通過此方成能將振動位移分量與各應變分量聯系起來。應力根據按照幾何關系和Mindlin 彎曲理論，對于單層板可得到位移應變關系為

其中應變關系分為面內應變{ε0}，橫向剪切應變{γ}，及彎曲應變{χ}。

對于各向同性的材料，一般認為z 軸方向的變形和x 及y 軸方向的變形相比較小，則可近似σz=0，τyz= τzx= 0，運用胡克定理來表示為建立形變分量與應力的關系，也就是振動響應的物理方程

式中:Qmn為板的剛度系數;Q11= Q22= E/1 - υ2，Q12=Q21= Eυ/1 - υ2，Q44= Q55= Q66= G = E/2(1 + υ2)E 為板的楊氏模量;υ 為泊松比;G 為剪切模量。

最后建立邊界條件方程，簡支矩形板的振型函數為φmn(x，y)= sin(αmx)sin(βny)，則板結構的線自由度及轉角自由度可表示為:

式中:Amn，Bmn，Cmn，Dmn和Emn為各自由度所對應的主則坐標。通過Rayleigh - Ritz 變分法求解振動問題，關鍵是表示出結構的動能和應變勢能，一旦式(8)中的振動位移確定，就能確定系統的能量。這里只考慮橫向位移引起的動能，應變能綜合考慮拉壓變形、彎曲變形以及剪切變形引起的應變勢能。則結構的動能可表示為:

應變勢能可表示為:

結合式(8)可表示出應變勢能，將式(9)第2 項和第3 項代入式(10)并在整個面內積分，可得拉壓應變勢能的主則坐標的表達式為:

式中Rmn為拉壓比例系數，則拉壓應變勢能可表示為:

同理，可假設剪切應變與橫向位移的關系為:

式中Pmn為剪切比例系數，則拉壓應變勢能可表示為:

彎曲應變勢能中只含Amn一個未知量，直接對式(8)進行積分即可求出彎曲應變勢能。結合式(14)和式(15)以及積分表達式(9)可獲得結構的總應變勢能為:

簡寫為矩陣的形式為

式中Lmn為應變勢能的總比例系數。利用粘彈性層減振降噪技術，主要是利用其在受交變應力作用時，變形滯后于應力的變化，這種滯后將振動體的動能一部分轉化為熱能而消耗掉，一部分以應變的形式

式中含有2 個未知量Bmn和Cmn，如果要求解出3 種應變勢能共需要求解5 個主則坐標，Amn易于求出，其余4 個量求解較困難。針對上述問題，Ungar針對簡支梁模型［10］，將結構的拉壓應變表示成橫向位移的形式，這樣簡化了模型并且降低了求解系數矩陣的維數。則簡支板結構的相應近似關系可表示為:存儲起來，進而達到減振降噪的目的。從而可知，在計算粘彈性層時主要考慮的是其拉壓的變化，因此粘彈性層的橫向剪切變形不可忽略，但對于彈性層(基板、約束板)剛度較大，主要發生的是彎曲變形以及拉壓變形，因此可忽略粘彈性的橫向剪切變形，則Lmn表示為:

通過以上分析可知，總的應變勢能中的未知量只有Amn。運用哈密爾頓(Hamilton)原理對整個結構系統的能量進行變分處理，則能求出Amn。結構系統涉及的能量包括橫向位移引起的動能、應變勢能外載荷能量以及流體介質反作用施加的能量。前2 種能量在上述分析中已給出，后2 種能量的表達式為:

式中:f(x，y，0)為外載荷;P(x，y，0，t)為結構表面聲壓。結構在(x0，y0)處受到簡諧激勵載荷的作用，則Vexcition= F0(t)w(x0，y0，t)。

1.2 聲輻射阻抗公式推導

聲輻射阻抗為復雜的四重積分，很難直接計算出，通過坐標變換可將四重積分化為二重積分，坐標變換時令ε = 2x/a，η = 2y/b，ε′ = 2x′/a，η′ =2y′/b，結合變換坐標有μ = ε - ε′，ν = ε′ 及μ′ =η -η′，ν′ = η′。則輻射阻抗可表示為

為坐標變換后的格林方程

通過式(20)成功將聲輻射阻抗矩陣化為二重積分求解的形式，Fmp(μ)和Fnq(μ′)很容易得到，大大降低了求解的難度。由聲場互易性原理知，輻射阻抗矩陣是對稱矩陣，其對角線元素對應自輻射阻抗，且恒為正，非對角元素對應互輻射阻抗，且呈稀疏排列。自輻射表示第(m，n)階振動模態對聲輻射的貢獻，互輻射表示第(m，n)與(p，q)階模態之間的耦合對聲輻射的貢獻。(m，n)與(p，q)為同類型時互輻射不為0，其余情況下均為0。

1)當(m + p)為奇數時，Fmp(μ) = 0;當Fmp(μ)≠0 時，Fmp(μ)= Fpm(μ)。

2)當m = p 時，代表自輻射阻抗值

3)當m ≠p 時，代表互輻射阻抗值

采用Gaussian 方法求解Zmn，pq，因為高斯求積分針對積分范圍為［-1，1］，需要轉換積分象限。則高斯求解方程可表示為

式中，Ng為高斯積分階數;Pr和Ps為高斯求積節點;μr和μ′s為相應的求積系數。

1.3 矩形板聲學問題

推導出結構的振動響應，通過根據赫爾姆茲聲學方程以及邊界連續聲壓條件則可將振動橫向位移與聲壓聯系起來，再接合輻射阻抗以及結構振動速度則可求出聲輻射特性參數，赫爾姆茲聲學方程以及結構表面的連續邊界條件

結構表面聲壓可由瑞利積分獲得

剔除時間部分ejωt，結合式(22)及式(23)可獲得流體介質反作用的能量

表示為矩陣形式為

根據哈密爾頓(Hamilton)原理，結構系統的總能量滿足關系式

利用拉格朗日方程求解式(26)有:

由于結構受到簡諧激勵作用，則結構振動體現簡諧變化規律，若剔除時間部分ejωt，式的矩陣形式為:

式中:Mmnpq為質量矩陣;Kmnpq為剛度矩陣;{fmn}為外部激勵載荷向量。質量矩陣和剛度矩陣具體表達式為:

表征結構阻尼性能最常用的量是結構損耗因子，它的物理意義是表征每振動一次所損耗的能量與原有總能量的比值。阻尼層即利用其大阻尼的特性而達到減振降噪的效果，考慮結構的阻尼作用時，彈性模量為復數= E(1 +jη)，η 為第i 層板的結構損耗因子，則相應量的復數形式為和

式(28)給出了考慮流固耦合作用下板結構的振動方程，獲得了唯一的未知量Amn，則可獲得結構的聲學特性，均方速度、聲輻射功率以及輻射效率可表示為:

2 仿真分析

以鋁材料為例進行實例分析，密度ρp= 2.680 ×103kg/m3，結構幾何尺寸為:a = 1.0 m，b = 0.8 m，h = 0.005 m;結構損耗因子η = 0.01，泊松比υ =0.33，彈性模量E = 6.6 × 1010N/m2，空氣密度ρ0= 1.293 kg/m3，聲速c0= 340 m/s，水密度ρ =1 000 kg/m3，聲速c = 1 400 m/s，激勵幅值F = 1，點激勵力位置為(0.5，0.4)。

2.1 模態疊加效應及振動模態耦合

模態作用效應與結構總體體現的關系如圖2 所示，圖2(a)將均方振速進行歸一化處理，表示各階振動模態對結構振動響應貢獻量，圖中的波峰對應的頻率表示結構的自然頻率。在結構發生共振時，該階模態振動所引起的輻射聲是板結構被激噪聲的主要構成，尤其是前幾階模態的振動程度直接決定了結構的整體輻射噪聲水平。圖2(b)給出了模態輻射效率與總輻射效率對比圖，從中可以看出，低頻段時模態輻射效率呈現較大差異，結構的聲輻射能力主要取決于低階振動模態，此時平均輻射效率隨激勵頻率的變化呈現一定的波動，這是由于簡支板為有限結構，振動波在邊界存在反射，振動波相互疊加產生駐波效應。隨著頻率的增大，有限結構振動特性趨近于無限結構，邊界處反射作用減小，曲波波長減小，輻射效率趨向于1。

圖2 聲振特性中模態量與總量的關系圖Fig.2 The relationship between modal and total of vibro-acoustic characteristics

圖3 給出了(1，1)，(2，3)模態的自輻射阻抗以及(11，13)， (21，43)階模態的互輻射阻抗。從圖中可知，自輻射阻隨著頻率的增大逐漸趨近于1，自輻射抗部分逐漸趨于0，但自輻射阻抗始終大于0。由于模態間的耦合作用，互輻射阻抗有在0 附近波動，隨著頻率的增加，最終趨于0，互輻射阻抗幅值較自輻射阻抗相差約一個數量級，在低頻時模態的耦合效應較強，從而可知只有在高頻計算結構聲輻射時不需考慮模態之間的耦合效應。因此在計算結構輸出聲功率時必須考慮到結構模態間的耦合。

圖3 輻射阻抗的實部與虛部Fig.3 The real part and imaginary part of radiation impedance

2.2 水中、空氣中聲振特性對比分析

圖4 給出了空氣介質和水介質中結構的聲振特性。從圖4 (a)中可知，水介質中結構的均方速度峰值較空氣中整體前移，這是因為流體-結構耦合系統在振動平衡狀態下，附加質量使水中結構的各階共振頻率降低，附加質量體現為聲輻射抗部分。從圖4 (a)與4 (c)可看出，均方振速和輻射效率曲線因其水介質的作用，在數值上都有較大幅度下降，聲輻射效率最大相差達到2 個數量級。雖然水中的輻射效率遠小于空氣中的輻射效率，但由于水中的特性阻抗(ρc)較大，水介質的特征阻抗約為空氣的3 500 倍，這表明較小的速度將會輻射出較大的能量，如圖4 (b)所示，水介質中輻射聲功率較大，同時還可知隨著頻率的升高水介質的結構振動響應和輻射聲功率更易衰減。

圖4 不同介質中結構的聲振特性Fig.4 Vibro-acoustic characteristics of the structure in different modal medium

3 結 語

本文以Mindlin 板彈性理論為基礎，考慮結構橫向剪切振動，通過近似替代將結構的線自由度和和轉角自由度均表示成橫向位移的形式，進而導出了矩形簡支板振動方程。結合結構的振動方程，采用變分法建立了水中矩形簡支板的流- 固耦合方程，分析了單一模態量和整體量的相互關系，討論了自輻射模態和互輻射模態的變化規律，對比分析了空氣中和水中結構聲振特性。研究表明:低頻時振動模態的耦合較明顯，在計算結構聲功率輸出時必須考慮振動模態的耦合，高頻時可忽略。

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