基于復(fù)合權(quán)值自調(diào)整策略的量子粒子群優(yōu)化算法

宋益春，毛 力

（江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院 輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫214122）

0 引 言

有研究結(jié)果表明，運(yùn)用Solis 和Wets 對(duì)粒子群優(yōu)化（PSO）算法進(jìn)行關(guān)于隨機(jī)性算法的收斂性準(zhǔn)則理論分析后，發(fā)現(xiàn)其無法保證算法全局收斂性和局部收斂性的結(jié)論。PSO 算法雖然具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)、參數(shù)少等諸多優(yōu)點(diǎn)，但也存在著收斂速度慢、精度差等問題［1，2］。

在Clerc等關(guān)于粒子收斂性行為研究的基礎(chǔ)上，Sun等融合量子力學(xué)的思想，提出了一種粒子進(jìn)化模型，即量子粒子群優(yōu)化 （QPSO）算法［3，4］，該算法認(rèn)為δ 勢(shì)阱中粒子向勢(shì)阱中心移動(dòng)的過程符合粒子搜索尋優(yōu)的機(jī)理，具備量子行為的粒子的搜索范圍擴(kuò)大至整個(gè)可行解區(qū)域，移動(dòng)時(shí)不再受速度和方向的束縛，因此它的全局搜索性遠(yuǎn)好于一般的PSO 算法。近年來，QPSO 算法在函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多目標(biāo)優(yōu)化、聚類分析等領(lǐng)域得到較多的應(yīng)用［5－8］。

收縮－擴(kuò)張系數(shù)β 是能夠調(diào)節(jié)QPSO 算法的收斂過程，平衡全局搜索和局部搜索能力，因而是算法控制收斂的一個(gè)重要參數(shù)。QPSO 算法采用收縮－擴(kuò)張系數(shù)線性遞減的策略［4］，使得β的變化符合粒子群的總體運(yùn)行方向，但在具體運(yùn)行過程中沒有獨(dú)立于粒子群的實(shí)際狀況，影響了收斂速度和收斂精度。基于進(jìn)化速度－聚集度的動(dòng)態(tài)改變權(quán)值策略［9］的量子粒子群 （dynamically changing weight QPSO，DCWQPSO）提出動(dòng)態(tài)改變權(quán)值策略中，β的變化依賴于粒子群的進(jìn)化速度與聚集度的改變，本質(zhì)上不能避開粒子低效或者失效的情形，陷入局部極小值點(diǎn)，加之采用這策略的QPSO 本身逃逸能力很弱，導(dǎo)致全局搜索能力減弱，收斂精度大打折扣。

對(duì)此，本文提出了一種基于復(fù)合權(quán)值自調(diào)整策略的量子粒子群優(yōu)化算法 （quantum－behaved particle swarm optimization algorithm based on the adaptive strategy of composite weight，ACWQPSO）。此算法采用復(fù)合典型線性遞減策略與基于進(jìn)化速度－聚集度的動(dòng)態(tài)改變權(quán)值策略的方法調(diào)節(jié)收縮－擴(kuò)張系數(shù)β，由此β的改變不但與迭代次數(shù)相關(guān)聯(lián)，而且受算法實(shí)際運(yùn)行的種群集聚態(tài)勢(shì)的影響，從而可以根據(jù)運(yùn)行的實(shí)際情況調(diào)整β，有效地平衡全局搜索和局部搜索，進(jìn)而改善算法的性能。通過5個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)收斂性和算法性能進(jìn)行了分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ACWQPSO 算法在尋優(yōu)過程中提高了收斂精度，對(duì)大部分優(yōu)化函數(shù)都能找到較好的解。

1 量子粒子群優(yōu)化算法

假設(shè)在一個(gè)n 維的目標(biāo)搜索空間中，粒子群中第個(gè)個(gè)體在第k次迭代中，位置為向量＝，…）∈Rn。第個(gè)粒子自身迄今搜索到的最優(yōu)適應(yīng)度值位置，記為個(gè)體最優(yōu)極值位置＝（，，…，）；整個(gè)粒子群迄今搜索到的最優(yōu)適應(yīng)度值位置，記為全局最優(yōu)極值位置＝（，，…，）。粒子在每一次迭代中追蹤這兩個(gè)最優(yōu)極值位置來完成位置的更新。

Clerc等對(duì)PSO 算法中的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的研究［10］表明，每個(gè)粒子必須收斂于他們各自的局部吸引子qi

式中：L——δ勢(shì)阱的特征長(zhǎng)度，決定著粒子搜索的范圍。

使用蒙特卡羅隨機(jī)模擬的方式可獲得粒子的位置更新方程

式中：u—— （0，1）之間符合均勻分布的隨機(jī)數(shù)。L 的控制方法對(duì)QPSO 的收斂速度和性能有關(guān)鍵性的影響，通常采用的是文獻(xiàn) ［3］中提出的平均最好位置 （mbestk），即所有粒子群個(gè)體最好位置的平均

式中：M ——粒子群的種群規(guī)模。

最終式 （3）被定義為

式中：β——QPSO 算法的收縮－擴(kuò)張系數(shù)，用于控制粒子的收斂速度，是除了迭代次數(shù)和種群規(guī)模之外的唯一參數(shù)。

2 權(quán)值β的選擇策略

文獻(xiàn) ［4］仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在QPSO 算法中，當(dāng)β＜1.782時(shí)，單個(gè)粒子可以收斂到吸引子，算法的收斂性能得到保證。從式 （6）中可以看出，在算法迭代初期，較大的β，算法的收斂速度較快，可以取得較好的全局尋優(yōu)效果；在算法迭代后期，較小的β，算法的收斂精度較高，可以取得較好的局部尋優(yōu)效果。對(duì)參數(shù)β控制通常可以采用固定取值、線性遞減和非線性遞減等方式，但文獻(xiàn) ［11］通過實(shí)驗(yàn)得出，固定取值策略的魯棒性較差，而線性遞減和非線性遞減兩種慣性權(quán)值策略則體現(xiàn)了求解相對(duì)穩(wěn)定的特點(diǎn)。因此，本文嘗試把這兩種策略相融合的方法來確定收縮－擴(kuò)張系數(shù)β。

2.1 線性遞減權(quán)值策略

目前對(duì)β 的改進(jìn)策略使用最為普遍的是文獻(xiàn) ［3，4］中提出線性遞減的策略，表示為

如果在全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的迭代初期沒有搜索到較優(yōu)的點(diǎn)，由于搜索空間的縮小不是線性遞減而是高度復(fù)雜的，所以這種簡(jiǎn)單的線性遞減β，容易使算法陷入局部最優(yōu)，出現(xiàn)所謂的早熟收斂現(xiàn)象，在一定程度上會(huì)影響算法的收斂速度和尋優(yōu)精度。

2.2 基于進(jìn)化速度－聚集度的動(dòng)態(tài)改變權(quán)值策略

算法運(yùn)行過程中，QPSO 的收縮－擴(kuò)張系數(shù)β的變化根據(jù)粒子群的進(jìn)化速度和聚集度實(shí)時(shí)進(jìn)行調(diào)整，從而更加有效地搜索最優(yōu)解。

由式 （8）可知0＜h≤1。h 的值越小，進(jìn)化速度就越快。h的值保持為1，則可判斷算法找到了問題的最優(yōu)值。設(shè)Favg是當(dāng)前所有粒子適應(yīng)度值的平均值，則

引入聚集度因子s的定義如下

0＜s≤1，s反映了粒子的聚集程度和一定程度上的種群多樣性，s的值增大，表明粒子的聚集程度也提高，同時(shí)粒子的多樣性降低。當(dāng)s的值為1時(shí)，全部粒子具有同樣的特征，此時(shí)算法陷入局部最優(yōu)的狀態(tài)。

基于這樣的論述，可以把β表示成關(guān)于進(jìn)化速度因子h和聚集度因子s的函數(shù)β ＝f（h，s），即

2.3 復(fù)合權(quán)值自調(diào)整策略

2.3.1 復(fù)合權(quán)值調(diào)整策略的參數(shù)

線性遞減權(quán)重的策略，β 的數(shù)值只與迭代次數(shù)k 有關(guān)，雖沒有很好地匹配算法運(yùn)行過程中搜索空間非線性變化的特點(diǎn)，但是能夠符合粒子群整體運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)；動(dòng)態(tài)改變權(quán)重的策略中，雖契合粒子群當(dāng)前的變化態(tài)勢(shì)，但也存在一旦種群粒子出現(xiàn)低效或失效的情形，就難以避開陷入局部極小的困境，因而此時(shí)的β不能準(zhǔn)確地反映粒子群的實(shí)際狀態(tài)變化。綜合考慮，本文引入權(quán)重參數(shù)λ，提出了用典型的線性遞減策略和動(dòng)態(tài)改變策略相復(fù)合的方法來確定收縮－擴(kuò)張因子β的量子粒子群優(yōu)化算法

通過對(duì)λ值的調(diào)整來控制線性遞減策略和進(jìn)化速度－聚集度的動(dòng)態(tài)改變策略對(duì)每一代收縮－擴(kuò)張因子β的影響程度λ 作為平衡線性權(quán)重和動(dòng)態(tài)權(quán)重改變的核心參數(shù)，它的取值將直接影響到算法的收斂效率。過大的取值將使得混合權(quán)重調(diào)整策略退化成權(quán)值線性遞減策略，算法尋優(yōu)性能欠佳；過小的取值又將混合權(quán)重調(diào)整策略改變成動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，喪失了一般性。

本文使用黃金分割的比例來確定λ，即λ ＝0.618。本文算法以線性遞減策略為主、動(dòng)態(tài)改變權(quán)值策略為輔的復(fù)合權(quán)值，既保證了算法能夠以線性遞減策略跟隨粒子群整體運(yùn)行趨勢(shì)，又避免了過度使用動(dòng)態(tài)改變策略帶來的粒子低效或失效導(dǎo)致收斂精度低的問題。

2.3.2 ACWQPSO 算法執(zhí)行流程

步驟1 設(shè)置種群規(guī)模為M，尋優(yōu)維數(shù)為n，最大進(jìn)化代數(shù)MAXITER，h＝0，s＝0，隨機(jī)初始化粒子群個(gè)體位置；

步驟2 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出每個(gè)粒子的適度值；

步驟3 比較每個(gè)粒子的適度值和個(gè)體極值，若較優(yōu)則更新當(dāng)前個(gè)體極值；

步驟4 比較每個(gè)粒子的適度值和全局極值，若較優(yōu)則更新當(dāng)前全局極值；

步驟5 使用式 （4）計(jì)算得到粒子群的平均最優(yōu)位置；

步驟6 對(duì)于粒子的每一維，使用式（1）計(jì)算得到一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的位置，使用式（6）計(jì)算得到下一代粒子的位置；

步驟7 根據(jù)式 （7）計(jì)算出βlin；根據(jù)式 （8）、式 （9）、式 （10）、式 （11）計(jì)算出βdcw；再根據(jù)式 （12）計(jì)算出β；

步驟8 重復(fù)步驟2～步驟7，直到當(dāng)前迭代的次數(shù)達(dá)到預(yù)先設(shè)定的最大次數(shù)，輸出粒子最佳位置，算法結(jié)束。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及效果評(píng)價(jià)

本實(shí)驗(yàn)采用表1中5個(gè)常用的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，這些函數(shù)包括了單峰非獨(dú)立 （Schwefel）、多峰獨(dú)立 （Rastrigin）、多峰非獨(dú)立 （Rosenbrock、Griewank、Ackley）3種類型。

表1 全局優(yōu)化的測(cè)試函數(shù)

現(xiàn)使用3種不同權(quán)值策略的QPSO 算法分別對(duì)表1中所列的函數(shù)分別進(jìn)行20次實(shí)驗(yàn)，測(cè)試函數(shù)的維數(shù)為30。算法中參數(shù)設(shè)置：采用線性遞減策略的標(biāo)準(zhǔn)QPSO［4］中，βstart＝1.0，βend ＝0.5；基于進(jìn)化速度－聚集度的動(dòng)態(tài)改變權(quán)值策略的DCWQPSO［9］中，βini ＝1，ηh ＝0.5，ηs ＝0.2。最大進(jìn)化次數(shù)均取MAXITER ＝1000，種群規(guī)模均取M ＝120。經(jīng)過用Rosenbrock、Rastrigrin和Griewank等典型測(cè)試函數(shù)測(cè)試發(fā)現(xiàn)：λ∈（0.6，0.8）時(shí)，算法的整體性能較優(yōu)。

實(shí)驗(yàn)中每種算法對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)優(yōu)化所得的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最優(yōu)值，見表2。

表2 3種不同權(quán)值策略的QPSO 優(yōu)化結(jié)果比較

表2中對(duì)Griewank的尋優(yōu)結(jié)果為0，理論上結(jié)果不為0；產(chǎn)生這種結(jié)果的原因是在MATLAB2009 的仿真環(huán)境下，當(dāng)某個(gè)數(shù)小于1.0e－324時(shí)，輸出結(jié)果就為0。

對(duì)于表1 中的所有測(cè)試函數(shù)，表2 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明ACWQPSO 算法尋優(yōu)的平均值和最好值比其它權(quán)值策略的算法跟接近最優(yōu)值，在算法收斂精度上有一定的提高，標(biāo)準(zhǔn)差反映算法在尋優(yōu)過程中表現(xiàn)出較強(qiáng)的穩(wěn)定性。

為了比較這幾種算法的收斂速度，繪制以橫坐標(biāo)為進(jìn)化代數(shù)，縱坐標(biāo)為20次實(shí)驗(yàn)的每代的平均最優(yōu)值的對(duì)數(shù)的收斂曲線圖，如圖1～圖5所示。

由圖1～圖5的進(jìn)化曲線中很直觀地看出，算法初期，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)QPSO，ACWQPSO 和DCWQPSO 粒子均表現(xiàn)出更快的收斂速度，其中ACWQPSO 的收斂速度稍遜于DCWQPSO，這是因?yàn)镈CWQPSO 算法初期能夠很好地契合了粒子群運(yùn)動(dòng)的方向。但也正是因?yàn)槭諗克俣冗^快，粒子在局部尋優(yōu)性能上表現(xiàn)不足，陷入早熟的困境，所以在算法運(yùn)行的迭代后期，ACWQPSO 的收斂精度上超過DCWQPSO。

圖1 f1 Rosenbrock函數(shù)尋優(yōu)曲線對(duì)比

圖2 f2 Rastrigin函數(shù)尋優(yōu)曲線對(duì)比

圖3 f3 Griewank函數(shù)尋優(yōu)曲線對(duì)比

特別在圖2中，Rastrigin函數(shù)具有大量按正弦拐點(diǎn)排列的局部極小點(diǎn)，對(duì)優(yōu)化算法來說是一個(gè)極難優(yōu)化的函數(shù)。優(yōu)化過程中，標(biāo)準(zhǔn)QPSO 和DCWQPSO 都出現(xiàn)了失效狀態(tài)，即二者都無法找到全局最優(yōu)值。DCWQPSO 優(yōu)化效果次于標(biāo)準(zhǔn)QPSO，表明僅僅使用動(dòng)態(tài)改變權(quán)值策略QPSO跳出局部最優(yōu)值的能力次于標(biāo)準(zhǔn)線性遞減策略QPSO。但兩種策略復(fù)合后的ACWQPSO，尋優(yōu)精度有了一定的提高，比單純的DCWQPSO 好。

圖4 f4Schwefel函數(shù)尋優(yōu)曲線對(duì)比

圖5 f5 Ackley函數(shù)尋優(yōu)曲線對(duì)比

本文構(gòu)造的復(fù)合權(quán)值，整合線性遞減策略和動(dòng)態(tài)改變權(quán)值策略，改善了種群的多樣性，能夠有效地均衡全局搜索和局部搜索能力，增進(jìn)了算法的尋優(yōu)性能，同時(shí)算法的收斂速度也有一定程度地提高。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)QPSO 算法收斂速度緩慢及收斂精度低的問題，對(duì)算法收縮－擴(kuò)張系數(shù)β進(jìn)行了復(fù)合權(quán)值策略的改進(jìn)，提出了基于復(fù)合權(quán)值自調(diào)整策略的量子粒子群優(yōu)化算法。同時(shí)將該改進(jìn)算法與其它兩種權(quán)值策略的QPSO 對(duì)5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，復(fù)合權(quán)值策略能夠適應(yīng)QPSO 算法早期收斂速度快，盡快讓算法進(jìn)入局部搜索的要求，也能夠有效地避免陷入局部最優(yōu)值，提高了算法的收斂精度和穩(wěn)定性，也說明了算法改進(jìn)的可行性和有效性。利用本文提出的算法求解其它基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和解決工程實(shí)際問題是筆者下一步的研究方向。

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