求異面直線距離的幾種方法

華騰飛

求異面直線間的距離是高中數學的一個難點，難就難在不知怎樣去找異面直線的公垂線，也不會將所求的問題進行轉化.為此，下面舉例向大家介紹幾種求異面直線間距離的方法，相信對大家學好這部分知識會有一定的幫助.

一、平移法

解題思路若能找到一條直線c，使c與異面直線a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂線，這時我們設法將直線c平移到直線c′處，使c′與a、b均相交，則c′夾在a和b之間的線段就是a和b的公垂線段.然后再根據平面幾何和立體幾何知識，求出公垂線段的長.

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1，其棱長為a，求AC和A1D間的距離.

解析如圖1，由立體幾何知識容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.

設BD與AC的交點為M，△DBD1中，將BD1平移到MN處，連結AN，可知N為DD1的中點.

設AN與A1D交點為Q.在△AMN中，將MN平移到QP處，可知QP就是AC與A1D的公垂線.

由平面幾何知識，有AQQN=21，則AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.

故AC和A1D的距離為33a.采用同樣的方法可以求出BD與B1C的距離也為33a.（請同學們完成）

二、線面垂直法

解題思路a、b為異面直線，平面α過直線b，且a⊥α于O，過O在α內作OP⊥b于P，則OP的長為異面直線a、b間的距離.

例2如圖2，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，其棱長為a，求B1D1與A1C之間的距離.

解析∵B1D1⊥A1C1， B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.

過O1做O1E⊥A1C于E，則O1E是異面直線B1D1與A1C的距離.

∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，

∴O1E=A1O1·CC1A1C=22a·a3a=66a，即B1D1與A1C的距離為66a.

三、面面平行法

解題思路a、b為兩條異面直線，分別過a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距離就是a、b的距離.

例3棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、AD的中點，求EF、DB1的距離.

解析如圖3，G為AA1的中點.

∵GF∥A1D， GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.

∵A1D⊥AD1， A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.

同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D與平面EFG截得的線段MN的長就是異面直線EF與BD1的距離.

故異面直線EF與DB1的距離為：

MN=14AD1=24a.

四、轉化法

解題思路求異面直線間的距離通常轉化為直線到平面的距離，再轉化為點到平面的距離，而點到平面的距離常用體積法來求.主要思路是過異面直線中的一條作一個平面，使這個平面與其中的另外一條平行，則異面直線的距離就轉化為直線到平面的距離.再轉化為直線上的點到平面的距離，這是一種很重要的轉化思想，是求異面直線間距離的常用方法.

例4如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，其棱長為a.M、N分別是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求異面直線AM和DN間的距離.

解析如圖4所示，把AM平移到KC1處，易得KC1與DN一定相交在一個平面內，從而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM間的距離就是直線AM到平面A1DC1的距離，進而轉化為求點A到平面A1DC1之間的距離.

設所求的距離為d，運用體積法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d·S△A1DC1=13a·S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a·a2232a2=33a.

五、公式法

解題思路求異面直線之間的距離，除了上述常用方法外，我們還可以根據下面的兩個公式來求.

公式1如圖5，三棱錐A-BCD中，若AB和CD所成的角為θ，三棱錐A-BCD的體積為VA-BCD，則異面直線AB與CD之間的距離d=6VA-BCDAB·CDsinθ.

圖5圖6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角為θ，如圖6.直線b與平面α、β分別相交于A、B，點A、B到棱a的距離分別為m、n.則異面直線a和b之間的距離d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.

以上兩個公式均可按照方法3來求，有興趣的同學可以自己證明一下.

例5如圖7，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，其棱長為a.P是B1C1的中點，求AC與BP的距離.

解法1運用公式1來求.

設AC和BP所成的角為θ，取A1D1的中點為N，連結AN，則∠CAN=θ.不難求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a·12a2=16a3.

d=6VP-ABCAC·BPsinθ=6×a36

2a·5a2·31010=23a.

即AC與PB之間的距離為23a.

解法2運用公式2來求.如圖8，容易求出點B到AC的距離為m=2a2，點P到AC的距離n=32a4.

設二面角P-AC-B的平面角為θ，用面積的射影公式容易求得cosθ=13，從而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入已知數值得d=23a，即AC與PB之間的距離為23a.

練習S-ABC為正四面體，棱長為a，求不相鄰的兩條棱AC、SB的距離.（提示：過B做BC′ AC，連接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB的距離就是三棱錐C - SBC′的高h=22a）.

（收稿日期：2015-07-09）