基于BFGS方法的雙側(cè)向測(cè)井幾何因子表達(dá)式系數(shù)擬合

張融 彭澤波

（中國(guó)石油新疆油田分公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依 834000）

（新疆貝肯能源工程股份有限公司，新疆 克拉瑪依 834000）

進(jìn)行井眼、層厚等環(huán)境校正后，運(yùn)用幾何因子理論可以消除泥漿侵入影響，獲得地層真電阻率值[1]。因此，利用幾何因子進(jìn)行地層電阻率校正時(shí)，首當(dāng)其沖必須求得可靠的幾何因子表達(dá)式系數(shù)。幾何因子表達(dá)式有復(fù)雜的非線性特點(diǎn)，一般回歸分析法不僅計(jì)算麻煩，而且精度不高。此時(shí)，最優(yōu)化方法更為方便有效。測(cè)井解釋中建立的最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型通常是帶約束條件的非線性規(guī)劃模型，或是無(wú)約束的非線性規(guī)劃模型，本文針對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型主要采用適于多變量無(wú)約束非線性規(guī)劃的擬牛頓方法中的BFGS法來(lái)得到雙側(cè)向測(cè)井的幾何因子表達(dá)式系數(shù)。

1 模型與算法建立

由幾何因子理論知，經(jīng)過(guò)井眼和層厚等環(huán)境校正后，雙側(cè)向測(cè)井的幾何因子取決于地層真電阻率，沖洗帶電阻率及泥漿侵入帶直徑，即=f(Rt,Rxo,Di)。設(shè)有n個(gè)幾何因子J，按最小二乘法得到如下式：

式子中，=fi(Rt,Rxo,Di)為幾何因子擬合值，亦即所要求的幾何因子擬合公式。當(dāng)選用適當(dāng)形式的擬合公式，將給定的一組Rt,Rxo,Di及相應(yīng)幾何因子數(shù)據(jù)代入式(1)，用最優(yōu)化方法不斷調(diào)整擬合系數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)殘差平方和Q達(dá)到極小時(shí)，便可得出具體的幾何因子擬合公式。本文采用的擬合公式形式如下[2]：

經(jīng)上述分析知，本文所研究的問(wèn)題屬于多變量無(wú)約束非線性規(guī)劃問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，無(wú)約束多變量函數(shù)的最優(yōu)化方法可分為采用目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析法與不用計(jì)算導(dǎo)數(shù)的直接法兩大類。經(jīng)觀察，本文數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函數(shù)是連續(xù)的二次函數(shù)，可求導(dǎo)數(shù)，因此采用解析法較為方便省時(shí)。解析法中有最速下降法，牛頓法，擬牛頓法，共軛梯度法等等。綜合各類方法的優(yōu)缺點(diǎn)，本文選擇了擬牛頓法中的BFGS方法并結(jié)合精確步長(zhǎng)法。本文所用的迭代公式[3]為：

本文的主要算法如下：首先給定初始點(diǎn)和初始矩陣，且循環(huán)誤差err大于0，k=0；一維搜索，確定最優(yōu)步長(zhǎng)λ并進(jìn)行Hk+1計(jì)算；令k和k+1相等，返回上述步驟進(jìn)行計(jì)算，直至計(jì)算次數(shù)達(dá)到某一規(guī)定值或前后兩次計(jì)算之差小于循環(huán)誤差后，迭代結(jié)束，輸出真值。

2 實(shí)例分析

根據(jù)建立的模型和迭代算法，在MATLAB軟件平臺(tái)上編寫(xiě)程序，分別運(yùn)行不同泥漿侵入半徑條件下的雙側(cè)向測(cè)井幾何因子表達(dá)式系數(shù)的計(jì)算。

表1 雙側(cè)向測(cè)井幾何因子表達(dá)式系數(shù)對(duì)比（Dic=50）

表1為泥漿侵入半徑為50in時(shí)，程序結(jié)果與參照值[2]的雙側(cè)向測(cè)井幾何因子表達(dá)式系數(shù)對(duì)照表，A為目標(biāo)函數(shù)中未知數(shù)的最優(yōu)解，Q為目標(biāo)函數(shù)的極小值。目標(biāo)函數(shù)極小值實(shí)際上就是擬合幾何因子與真實(shí)幾何因子差量的平方和，從目標(biāo)函數(shù)極小值上分析自編程序的值更小，程序所得擬合公式的系數(shù)更為可信。

3 結(jié)語(yǔ)

3.1 初始值的選擇很關(guān)鍵。雖然擬牛頓方法受初始點(diǎn)的影響明顯小于其他最優(yōu)化方法，但選擇初值應(yīng)盡量靠近真值。

3.2 擬牛頓算法中是否需要置Hn=I，x0=xn以重新迭代可視情況而定，若目標(biāo)函數(shù)是較為標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)，且最優(yōu)步長(zhǎng)的結(jié)果較為精確時(shí)可省略這步以簡(jiǎn)化運(yùn)算。

3.3 雖然自編程序得到的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值更小，但驗(yàn)證應(yīng)用效果還需要更多資料的對(duì)比分析。

[1]宋子齊等.視電阻率測(cè)井資料環(huán)境影響校正[J].測(cè)井技術(shù)，1995，9（4）：250-261.

[2]雍世和.最優(yōu)化測(cè)井解釋[M].山東：石油大學(xué)出版社，1995.134-136.

[3]陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.306-315.