基于智能算法優化卡爾曼濾波器的電機轉速估計

張秀國

(珠海城市職業技術學院 電子信息工程學院，廣東 珠海519090)

0 引 言

無速度傳感器矢量控制系統作為目前受到普遍關注的熱點問題之一，其核心問題是電機轉速估計，諸多相關的研究文獻亦提出了各自的電機轉速的估計方法［1］。因為卡爾曼濾波器(Kalman Filter)所特有的抗干擾性、動態性等特點，卡爾曼濾波器以及其相關的改進形態如擴展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter，EKF)，在對感應電機無速度傳感器矢量控制系統中速度的估算方面被公認為是核心的方法。如何選取合適的噪聲矩陣是擴展卡爾曼濾波器在轉速估計應用中的重點問題之一。操作人員對噪聲矩陣的先驗知識的了解程度往往決定了擴展卡爾曼濾波器轉速估計的收斂性和精確度，即測量噪聲矩陣以及系統噪聲矩陣事先規劃的準確度。如果選取了不合適的噪聲矩陣，那么就會大大地降低擴展卡爾曼濾波器的性能，甚至無法正常運轉。對于擴展卡爾曼濾波器如何正確的選取，在過去的研究文獻中有較多的學者進行了相關的探討和嘗試。文獻［2］運用試探法設定噪聲協方差矩陣，此方法雖然使用簡單，但卻存在精確度不高、耗時長、對設計者的經驗積累過度依賴等缺點，在性能方面，也不是最優的卡爾曼濾波器;文獻［3］使用模擬退火算法對系統噪聲矩陣進行優化，不過模擬退火算法存在不足，如:收斂速度慢、耗時較長、算法性能對初始值敏感;文獻［4］利用最小方差原理遞推噪聲模型，但也存在累積誤差較大以及計算量大等不足;文獻［5］應用模糊邏輯方法，將理論值同新息序列協方差的實際值進行匹配，但在本方法中具體如何確定所需的新息序列以及模糊邏輯規則數是存在一定的困難的;文獻［6］中應用單純形法確定噪聲協方差矩陣，但此方法存在一定的不足，如:濾波器的實時性及效果無法得到保證，并且計算量非常大;文獻［7］使用粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)來優化擴展卡爾曼濾波器噪聲矩陣，但本算法存在易早熟等不足。

鑒于上述文獻中的不足，本文在無速度傳感器矢量控制系統電機轉速估計中使用擴展卡爾曼濾波器，并且為了確保擴展卡爾曼濾波器轉速估計達到最優濾波效果，文中使用改進后的粒子群算法來優化對EKF收斂性和濾波性能產生影響的噪聲矩陣，以此得到最優的系統噪聲矩陣和測量噪聲矩陣。通過實驗證明，使用改進后的PSO 算法進行優化的EKF 可以精確地估計電機轉速。相比于傳統的PSO 算法、試探法以及遺傳算法，改進后的PSO 算法在總體性能和估算精度方面都具有更好的效果。

1 擴展卡爾曼濾波轉速估計

目前，針對交流異步電動機的研究，有許多文獻提出了諸多的電機方程模型，其中最具有代表性的是基于兩相靜止坐標系αβ 軸的電機模型。在此模型里，將轉子磁鏈以及定子電流在αβ 上的分量當作狀態變量，同時，將電機狀態方程變成一個非線性的四階方程。由于在無速度傳感器矢量控制系統中，轉速wr是一個需要估計的未知量，所以這里將wr設置為系統的狀態變量，這樣一來，異步電機狀態方程則變成了5 階方程式，用下式(1)表示。

其中:X =［isαisβΨrαΨrβwr］T，u(t)=［usαusβ］T，isα、isβ、usα、usβ、Ψrα、Ψrβ分別表示定子電流、定子電壓和轉子磁鏈的αβ 軸分量，系數A，B 則為:

Rs、Rr、Ls、Lr、Lm分別表示定轉子電阻、電感及互感，wr表示轉速，σ=1－L2m/(LsLr)表示漏磁系數，Tr=Lr/Rr表示轉子時間常數。在兼顧系統噪聲且離散化之后，得到擴展的電機離散狀態方程可用下式表示。

其中:W(k)和R(k)分別表示系統噪聲以及測量噪聲的零均值高斯白噪聲協方差矩陣;G(X(k)，k)表示噪聲權重;Ts表示采樣周期。同時滿足下式

因為擴展卡爾曼濾波器是在線性條件下使用，將式(1)在濾波值設置為在x =x^(k|k)的附近展開成泰勒級數，同時將高次項去掉得到式(4)，

式中，

表示由kTs～(k+1)Ts的狀態轉移矩陣，

結合式(1)～(3)，能夠得到的狀態轉移矩陣，

在應用EKF 的過程中，一般劃分為預測階段以及更新階段。其中，預測階段得到的是狀態誤差協方差預測值以及狀態量預測值。而更新階段得到的是EKF 的增益，同時更新狀態誤差協方差矩陣和預測的狀態值。如下所述過程表示使用EKF 對電機轉速估計進行處理:

Step1:針對狀態誤差協方差陣P(0)以及狀態x^(0)進行初始化處理;

Step2:將測量噪聲協方差陣以及系統噪聲方差陣分別設置為R(2 ×2)以及Q(5 ×5);

Step3:針對每個采樣周期，執行如下的卡爾曼濾波迭代。

狀態預測:

估計誤差協方差陣:

式中:卡爾曼增益的處理:

狀態的更新處理:

誤差協方差矩陣的更新處理:

通過上述對EKF 轉速估計的處理能夠反映出，EKF 的迭代過程受協方差矩陣P 及其初始狀態值的影響較小，并且隨著濾波迭代的持續，這種影響會越來越小。測量噪聲協方差陣R 以及系統噪聲協方差陣Q 往往是制約轉速估計精度和濾波效果的兩個關鍵方面。在現實使用時，一般依據系統的實際將噪聲矩陣的初始值設定好，并且為了使得估計誤差能夠逐漸收斂，達到濾波最優化的效果，關鍵取決于所選擇噪聲矩陣。不同的噪聲矩陣值會引起系統瞬態過程的變化，若Q 值增大則相應地加強了系統噪聲，加大了系統模型的不確定性，將導致預測協方差增大，從而濾波器增益增大，測量反饋的加權作用也增大，濾波器瞬態特性加快;而如果測量噪聲增強，則R 值增大，導致濾波器增益減小，進而測量數據對系統的影響會減弱，濾波器瞬態特性減慢，甚至會使濾波過程不穩定或發散［12］。因此確定適合的Q 和R 的值對能否獲得卡爾曼最優濾波至關重要［8-10］。

2 優化EKF 噪聲矩陣的改進粒子群算法

在現實的無速度傳感器閉環控制系統中，如果將EKF 應用于轉速估計中就會出現EKF 估計轉速同實際轉速間產生不小的延遲。但延遲越多，影響系統控制性能往往越明顯，因此，選取適當的噪聲矩陣，能夠將這種延遲減小到最低，達到提升系統性能的目的。最優化噪聲矩陣R 和Q 從本質上來講是一個有約束的最優化問題。

2.1 標準的粒子群算法(PSO)

標準的粒子群算法是由Kennedy 提出的，是受到人類決策的行為和鳥群覓食啟發而來，算法的原理是以群體中的個體間進行信息共享以及協作來得到最優解。設粒子群體規模為N，每個粒子在D 維搜索空間中運動，粒子Pi(i =1，2，…，N)的當前位置為Xi={Xi1，Xi2，…，Xid}，當前的飛行速度為Vi= {Vi1，Vi2，…，Vid}，Pid為粒子i 當前的最優解，Pgd為種群中所有粒子全局最優解［12］。可用下式來說明標準的粒子群算法的進化過程:

其中:ω 表示慣性權重，其值在進化中慢慢變小;c1，c2分別表示用來調節Pid以及Pgd相對重要性的加速參數，r1～U(0，1)、r2～U(0，1)表示相互獨立的兩個隨機函數。

2.2 粒子群算法的改進

遺傳算法以及標準的粒子群算法都是經典的群智能算法，它們都具有一定的優劣性［14-15］。遺傳算法的優點是具備極強的全局最優搜索能力以及變異能力，不足之處是局部尋優能力差以及早熟等情況。而粒子群算法具有收斂速度快的優點，是一種全局優化搜索智能算法，但也存在收斂精度較差以及易陷入局部最優解等不足。往往在實際應用中，需要將這兩種智能算法進行綜合處理，取其精華，避免不足，由此來設計高效可行的搜索算法。文中改進的粒子群算法就是于此來實現的，改進后的粒子群算法使用一個可調節的混合GA/PSO 模型，將PSO 以及GA 進行合理的混合，以此來克服它們所存在的不足。改進后的粒子群算法在尋優求解時利用遺傳算法的交叉、選擇以及變異思維，使用一個在0 ～1 之間變化的繁衍因子系數，并使每次迭代時所需的選擇、交叉及變異的個體數量取決于該系數。對于每次的迭代，將所有個體的適應度值計算出來，然后將該值按照由大到小的順序進行排序。給定N 為個體的數量，b 為繁衍因子，這時去掉適應度值最小的N* b 的個體，將保留下來的N* (1－b)的個體依據粒子群算法實施速度更新處理，接著按照錦標賽機制在速度更新后的群體中選取N* b 個個體，并按照式(13)做交叉操作。

式中，實施交叉后的子代粒子個體數分別用c1(x)以及c2(x)表示，兩個按照錦標賽機制選取的父代粒子個體位置分別用p1(x)及p2(x)表示，兩個按照錦標賽機制選取的父代粒子個體速度則分別用p1(v)及p2(v)表示。下式用來表示子代粒子的速度。

其中，子代粒子的速度用c1(v)及c2(v)表示。歷經如此交叉處理后，使得子代粒子的速度及位置的信息源自于父代粒子。通過遺傳交叉算子操作可以增加粒子多樣性，搜尋更多區域的范圍解，跳出局部最優，加強群體的尋優探索能力，充分利用群體中優良粒子的特性，加快收斂速度［11］。改進的粒子群算法如圖1所示。

2.3 改進的粒子群(IPSO)算法優化EKF 噪聲矩陣

現有的電機狀態方程里共有2 個輸出變量及5 個狀態變量［13］，而在系統噪聲及測量噪聲的協方差矩陣里也有相應的數量，即:

圖1 改進的PSO 算法流程圖

將上述的7 個變量在每個采樣周期中實施相應的調整，即可實現噪聲矩陣的優化。針對每個粒子在相應參數下實施多次迭代操作，在執行任一次迭代時，將系統的適應度值及其輸出計算出來，然后依據計算得出的適應度值將個體歷史最優粒子以及全局最優粒子選出，完成迭代后噪聲矩陣參數用得到的全局最優粒子來替換，噪聲矩陣元素不斷的隨著系統狀態的變化而變化。在IPSO 算法中，粒子位置的好壞是依據適應度函數來確定的，因此，需要依據實際情況選取合理的適應度函數，文中對電機轉速估計的適應度函數選取如下式(15)所示:

下述步驟表示在改進后的粒子群算法下的EKF轉速估計:

步驟1:對噪聲矩陣Q、R 做初始化處理，并且對粒子的速度向量以及位置向量做隨機初始化處理，然后將適應度函數值計算出來，據此將粒子個體歷史最優Pi以及群體全局最優Pg選取出來。

步驟2:對繁衍因子b 使用隨機產生方式獲取，然后根據步驟1 計算出的適應度函數值進行重新排序，將最差的N* b 個個體遺棄，并依據標準的PSO 算法對剩余的每個粒子進行速度更新處理。

步驟3:參照錦標賽制度，應用式(13)將粒子的位置做交叉運算，應用式(14)將粒子的速度做更新處理，接著將位置和速度都更新處理過的N* b 個粒子執行標準的變異操作并得到新的粒子，同時將得到的新粒子替代遺棄的N* b 個粒子。

步驟4:針對每個粒子的全局最優適應度值以及歷史最優適應度值一一比較。若發現某個粒子的歷史值劣于當前位置的適應度值，那么替換該粒子的歷史最佳位置和適應函數值;若某個粒子的全局最優適應值劣于歷史最優適應值，那么將全局最優適應值設置為該歷史最優適應值，并且將該全局最優粒子的位置記錄下來。

步驟5:重復執行步驟2-步驟4。直至算法的迭代次數達到設定的次數或算法的精度滿足要求為止。

步驟6:將全局最優解輸出，也就是所要求解的EKF 噪聲矩陣Q 以及R。

3 仿真實驗與結果分析

為了驗證本文改進的粒子群算法在EKF 轉速中的實際效果，設計了一個如圖2 所示的無速度傳感器矢量控制系統。實驗中相關參數的設置如表1 所示:

圖2 無速度傳感器矢量控制系統

表1 電機相關參數表

本文改進的算法、標準PSO 算法和遺傳算法的相關參數約定為:粒子群規模M=50，迭代數G =30。遺傳算法中個體交叉率假定為PC =0.9，個體變異率假定為PM=0.01。圖3 表示這三種算法在優化EKF 誤差矩陣的收斂曲線圖。

在圖3 的曲線圖中可以得出，在收斂速度和最優解方面，文中改進的粒子群算法明顯比標準粒子群算法和遺傳算法更優。經過優化處理后的三種算法的Q、R 分別如下所示:

遺傳算法(GA):Q = diag［0. 228 1 1. 242 6 0.042 0 0.110 2 2.702 9］，R=diag［3.892 9e－4 0.076 9］。

圖3 優化算法的收斂曲線

標準粒子群算法(PSO):Q = diag［0. 010 1 11.350 2 5. 550 1 12. 426 3 9. 276 1］，R = diag［5.211 3 5.584 1］。

IPSO:Q = diag［5. 602 5 0. 050 1 4. 869 5 2.189 9 12.516 7］，R=diag［22.708 7 0.462 4］。

下面通過在三種不同的參數條件下來進行仿真實驗來驗證算法的有效性，及其對EKF 進行轉速進行估計。

3.1 負載和電機參數都不變

本實驗中，假定轉速設定為1 242 r/min，負載設定為2 N·m。仿真結果圖4 的曲線表示通過遺傳算法、試湊法、標準粒子群算法以及文中改進的粒子群算法優化EKF 在穩態時的轉速辨識效果圖。并且滿足試探法取值條件:Q =diag［7.5 0.03 4.4 2.2 12.4］，R=diag［18 0.4］。通過曲線圖可得出，使用試湊法優化的EKF 轉速辨識曲線為穩定轉速下的估計誤差約為1.66%。但使用遺傳算法、標準的粒子群算法以及改進的粒子群算法優化的EKF 轉速估計誤差分別約為0.52%、0.843%以及0.24%。

圖4 EKF 估計轉速和實際轉速

3.2 電機參數不變，但負載發生變化

本實驗中，通過改變負載的方法來驗證算法的估算精度，即在時間t=0.5 s 時將負載的參數由2 N·m修改成4 N·m，得到如圖5 所示的電機轉速響應曲線圖。通過曲線圖能夠得出，在負載擾動狀態下，文中改進的粒子群算法具有更好的魯棒性、更小的誤差，并且在優化EKF 轉速估計跟蹤精度方面比較其他3 種算法更好。

圖5 負載擾動情況下轉速估計

3.3 電機參數變化，但負載不發生變化

在現實使用中，電機的很多參數都會隨著溫度升高等因素的影響而發生改變，例如定子電阻、轉子電阻等參數。定子電阻的變化對轉速估計器影響較大，現在通過實驗來驗證算法在電機參數發生改變的狀態下的有效性，這里約定電機實際電阻Rs= 5. 07(1 +e－0.15t)，Rr=5.27(1 +e－0.15t)轉速響應曲線如圖6 所示。從圖6 所示的效果來看，電機參數的改變對優化EKF 轉速估計精度的影響幾乎可以忽略不計。

圖6 電機參數變化時轉速估計

4 結 語

文中提出的一種改進的粒子群算法，該算法能夠很好地優化擴展卡爾曼濾波器的測量噪聲矩陣和系統噪聲矩陣。并通過在無速度傳感器矢量控制系統中將該算法進行仿真實驗驗證。結果顯示，在負載擾動以及電機參數發生變化等不同條件下，通過文中改進的粒子群算法優化的EKF能夠更準確地估計電機轉子轉速，相比于使用遺傳算法、試算法和標準的粒子群算法優化的EKF 轉速估計而言，文中提出的改進的粒子群算法在抗噪聲能力和跟蹤性能方面都具有更優的效果。

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