基于差分曲率的偏微分方程圖像降噪算法

董嬋嬋，張 權，郝慧艷，張 芳，劉 祎，孫未雅，桂志國，2＋

（1.中北大學 電子測試技術國家重點實驗室，山西 太原030051；2.中北大學 儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，山西 太原030051）

0 引 言

目前圖像降噪的方法眾多，如基于偏微分方程 （partial differential equation，PDE）的圖像濾波法［1，2］、小波濾波法［3，4］、非局部均值 （nonlocal means，NL－means）濾波法［5］等。其中，基于PDE的圖像降噪算法能夠較好緩解降噪和邊緣保留之間的矛盾，逐漸成為圖像降噪領域的研究熱點。自從Perona－Malik提出各項異性擴散模型 （P－M 模型），基于PDE 的圖像降噪算法引起了人們的廣泛關注。P－M 模型利用梯度檢測邊緣，而噪聲的梯度有時比邊緣的梯度大，這使得處理后的圖像仍含有噪聲點。Chao等［6］在P－M 模型的基礎上增加了圖像灰度方差的信息，可以進一步去除圖像中灰度方差較小的噪聲；為了克服TV 模型的“階梯”效應，Chen等提出了基于差分曲率的自適應全變分降噪算法［7］，算法提出新的邊緣檢測算子函數，有效避免了TV 模型的 “階梯”效應；陳強等將片相似性思想引入到各向異性擴擴散降噪模型中［8］，使處理后的圖像在去除噪聲的同時，保留了更多的細節；Guo等提出了基于變指數的自適應P－M 圖像降噪模型［9］，在圖像的內部區域采用熱傳導方程，在圖像的邊緣處采用P－M 方程。為了避免二階PDE產生的 “階梯”效應，學者們利用高階PDE對高頻噪聲平滑速度更快的特點，提出了四階PDE 圖像降噪算法［10－13］，本文將參考文獻 ［10，13］中的四階PDE 模型，分別記為Mahammad模型和Boli模型。受文獻 ［6，7］的啟發，本文提出了一種改進的各項異性擴散圖像降噪算法，該算法可以使處理后的圖像在去除噪聲的同時保留更多的細節特征，提高圖像降噪的性能。本文對該算法進行了分析與研究，并通過實驗驗證了其有效性和可行性。

1 Chao和Tsai算法及其不足

傳統P－M 模型的表達式為

式中：ct——擴散系數函數，其表達式為

傳統P－M 模型僅利用梯度來控制模型的擴散速度，而圖像中有些平坦區域的梯度與細節處的梯度相差無幾，因此只用梯度來檢測邊緣時不夠的。Chao和Tsai指出，圖像背景區域的方差遠小于圖像邊緣，對傳統的P－M 模型做出了改進，提出了新的擴散系數函數，如下所示

式中：σ2t，N（x，y）——歸一化方差，其表達式為

由于邊緣處有較大的梯度值和方差，所以Chao和Tsai所提算法可以更好的區分邊緣和背景，提高恢復圖像的質量。

然而當圖像含有噪聲時，受噪聲的影響，圖像中有些背景區域的方差和弱邊緣處的方差相差無幾，甚至有些背景區域的方差比弱邊緣處的方差稍大，如圖1所示。

圖1 含高斯噪聲的lena圖像

圖1 （b）為中心坐標 （72，16），窗口大小 （3×3）的平坦區域的像素，圖1 （c）為中心坐標 （143，56），窗口大小 （3×3）的細節區域的像素，其灰度值分別為

平坦區域的方差為：5.1966， 邊緣處的方差為：2.2747。

對于上面的情況，若擴散強度不足，雖可以保留圖像邊緣，但方差大的背景區域的噪聲去除不干凈，會留有噪聲點；若擴散程度過強，雖可以濾除背景區域的噪聲，但同時會丟失圖像的細節特征。因此，利用梯度和方差檢測邊緣的Chao和Tsai算法并不能很好的權衡噪聲去除和細節保留之間的矛盾。

2 本文提出的算法

2.1 算法原理

文獻 ［7］提出的差分曲率可以較好的區分細節和平坦區域、獨立噪聲，其表達式為

式中：Iηη和Iξξ——圖像I在梯度方向和水平方向的二階導數。梯度和切線方向的方向向量分別為

則

同理可得

其中

由式 （6）可知：在邊緣處，｜Iηη｜較大，｜Iξξ｜較小，其差分曲率D 值較大；在平坦區域，｜Iηη｜和｜Iξξ｜都較小，所以D值較小；在獨立噪聲點處，｜Iηη｜和｜Iξξ｜都較大，且幾乎相等，所以D 較小。因此根據差分曲率D值大小，可以很好的區分邊緣和平坦區域、獨立噪聲點。

根據圖1 （b）平坦區域和圖1 （c）弱邊緣的灰度值，由式 （7）～式 （11）計算其差分曲率：

平坦區域

弱邊緣處

由上面的計算可知，即使在弱邊緣處差分曲率的值也比平坦區域的值大，而由上節圖1灰度方差的計算結果可知，灰度方差無法很好的區分弱邊緣和噪聲，即差分曲率區分弱邊緣和平坦區域的能力優于灰度方差。因此，本文提出新的擴散系數函數如下

式中：dt，N——歸一化差分曲率

此時，各項異性擴散方程為

2.2 算法步驟

（1）首先由式 （7）～式 （11）計算梯度方向和切線方向的二階導數Iηη和Iξξ。

（2）將第一步計算的值帶入式 （6），可計算出差分曲率D，并可由式 （13）得出歸一化差分曲率。

（3）由表達式 （15）得到4個方向的梯度值。

（4）把第二步和第三步計算的值帶入式 （12），得到擴散系數函數的值。

（5）最后依據表達式 （14）對圖像進行處理。

（6）重復上述步驟 （1）～步驟 （5），直至得到較好的恢復圖像I。

3 實驗結果與分析

本文采用256×256的lena標準圖像作為測試圖像，圖2為本算法與P－M 模型、TV 模型、Chao和Tsai模型的比較分析；為了更清晰的展示各模型降噪效果，圖3給出了圖2對應模型處理結果的局部放大圖像；圖3為本算法與LLT 模型、模型、模型的比較分析。

圖2 （a）為lena原始圖像，圖2 （b）為加入方差為0.002的高斯噪聲圖像，圖2 （c）～ （f）分別為經過P－M模型、TV 模型、Chao和Tsai模型以及本文提出模型的處理結果圖像。圖3為圖2中各模型處理結果的局部放大圖。與P－M 模型處理結果相比，Chao和Tsai所提模型處理圖像的毛發的細節保留的更多，如圖2 （c）和 （e）所示。由圖2和圖3中的圖 （c）、（e）和 （f）可以看出，P－M 模型和Chao和Tsai模型處理后的圖像均含有斑點噪聲，且帽子上的細節紋理丟失較多，而本文算法處理后的圖像帽子上的細節紋理很清晰，且不存在噪聲點。由圖3中各模型處理結果的局部放大圖可以清晰的看出，圖3 （f）與圖3（c）、（d）和 （e）相比，本文算法處理后的lena圖像帽檐上保留的細節紋理較多且清晰，從而提高了圖像質量。

從圖4可知，LLT 模型丟失了很多細節，圖像較模糊；如圖4 （d）所示，Bibo模型處理后的lena圖像帽子上的紋理被平滑，也丟失了重要的細節信息，但與圖4 （c）LLT模型相比，Bibo模型比傳統的LLT 模型保留了更多邊緣；將圖4中的LLT 模型和Bibo模型與圖4 （f）本文算法相比可以清晰的看出，本文算法處理后的圖像保留了更多弱邊緣和紋理等細節特征，如lena圖像的頭發和帽子上的褶皺紋理都比較清晰；圖4 （f）與圖4 （e）相比，雖然處理后的圖像都保留了較多的邊緣和細節，但Mohammad模型的計算較復雜，運算量較大。

為了對算法進行客觀、定量的評價，本文采用較常用的

圖2 本文算法與二階PDE模型的處理結果

圖3 本文算法與二階PDE模型處理結果的局部放大圖

圖4 本文算法與四階PDE模型的處理結果

信噪比、平均絕對誤差、峰值信噪比來評價處理后圖像的質量。這些參數的定義如下：

（1）信噪比 （signal to noise ratio，SNR）

式中：σ［f（x，y）］和σ［n（x，y）］——圖像和噪聲的標準方差。信噪比越高，圖像的質量越好，噪聲越少。

（2）峰值信噪比 （peak signal to noise ratio，PSNR）

PSNR是圖像信噪比變化情況的統計平均，PSNR 值越大，圖像失真越少。在8 位量化的灰度圖像中，通常取Peak ＝255。

（3）平均絕對誤差 （mean absolute error，MAE）

式中：M，N——圖像大小，u0——原始圖像，u——恢復圖像。MAE——去噪后圖像與原始圖像之間的差異，MAE越小，去噪效果越好。

表1列出了本算法與其它算法的圖像質量評估參數，由表1可以看出：本文提出算法與其它算法相比，信噪比SNR 和峰值信噪比PSNR 都較大，平均絕對誤差MAE 較小。說明本算法處理后的圖像質量較好，能夠有效地去除噪聲，并保留圖像的邊緣等重要細節特征。

表1 不同降噪算法處理后的質量評估參數

4 結束語

本文針對Chao和Tsai提出降噪模型的不足，構造出新的擴散系數函數，提出了改進的各項異性擴散模型。新的擴散系數函數可以更好的區分弱邊緣、噪聲點和平坦區域，進而算法可以在弱邊緣、紋理等細節處減小平滑，在噪聲點和平坦區域增強平滑。實驗結果表明，本算法可以較好的權衡噪聲去除和細節保留之間的矛盾，即可以在濾除噪聲的同時，保留較多的弱邊緣信息。從主觀的視覺效果和客觀的質量評價可以看出，算法的降噪效果優于Chao和Tsai提出模型、P－M 模型和TV模型、LLT模型、Bibo模型、Mohammad模型。因此，本文提出的算法對圖像降噪有較好的效果，對圖像進一步的處理與研究有一定的意義。

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