廣義量詞的單調性與其他語義性質之間的關系

張曉君，吳寶祥

(四川師范大學政治教育學院，成都 610066)

一、引言

廣義量詞理論(generalized quantifier theory)是一階邏輯的擴展理論，它比一階邏輯更有利于計算機進行知識表示和知識推理，這是因為:(1)廣義量詞理論使得邏輯句法與自然語言的句法能夠得到緊密的對應［1］;(2)廣義量詞理論可以解釋亞里士多德三段論不能夠解釋的許多直觀上成立的推理，打破了僅僅憑借公理及其推理規則來判斷有效推理的一階邏輯的常規做法［2］;(3)廣義量詞理論通過考察廣義量詞所涉及的論元集合的性質，或不同論元集合之間的關系來表示廣義量詞的一些重要的語義普遍特征，大大拓展了一階邏輯處理現實世界的能力［3］;(4)廣義量詞理論處理問題的方式直觀簡潔，成果普適性強［4］。基于這些原因，廣義量詞理論受到了邏輯學、理論語言學、計算語言學、計算機科學等交叉領域的研究者的重視［5］。

廣義量詞包括:(1)由限定詞a，an，the或其他量化關系指稱所形成的所有名詞短語;(2)限定詞;(3)一階邏輯的全稱量詞?和存在量詞?。比如:“大多數的、所有的、至少一半的、這個、介于三與八之間的整數、無窮多個蚊子”等等都是廣義量詞［6］。廣義量詞的語義性質主要包括:同構閉包性(isomorphism closure)、駐留性(conservativity)、擴展性(extension)、單調性(monotonicity)、對稱性(symmetry)、相交性(intersectivity)、邏輯性(logicality)［7］。同構閉包性和擴展性是廣義量詞的兩個基本性質;這兩個概念與語言學高度相關，而且它們也是數理邏輯和計算機科學中常見的、重要的且有一定難度的概念。幾乎自然語言中遇到的量詞或者本身就具有同構閉包性，或者從系統層面上來看與同構閉包性有關。廣義量詞的單調性是廣義量詞最重要的語義性質，該性質是從邏輯角度研究自然語言信息處理繞不開的重要內容，這也是近年來國際邏輯學界研究的重點內容之一，其研究成果極其豐富。

由于〈1〉類型量詞和〈1，1〉類型量詞是自然語言中最為普遍存在的廣義量詞，因此本文重點研究這兩類量詞。常見名詞短語對應〈1〉類型量詞，這類量詞表示其論元所組成集合的性質。絕大多數限定詞對應〈1，1〉類型量詞，這類量詞表示廣義量詞的左論元和右論元所涉及的集合之間的二元關系［1］。在本文中:A、B、C 或 A＇、B＇、C＇表示廣義量詞所涉及的論元所組成的集合，E、E＇是所討論的論域;“?”表示蘊涵，“?”表示相互蘊涵;若沒有特別說明，量詞都是指廣義量詞。

二、相關背景知識

定義 1［7］95-100〈1，1〉類型量詞的同構閉包性

一個〈1，1〉類型量詞Q滿足同構閉包性ISOM，當且僅當，對任意的論域E、E＇且任意的A、B?E，A＇、B＇?E＇:若|A-B|=|A＇-B＇|，|A∩B|=|A＇∩B＇|，|B-A|=|B＇-A＇|且|E-(A∪B)|=|E＇-(A＇∪B＇)|，則 QE(A，B)?QE＇(A＇，B＇)。

在漢語中，具有同構閉包性的量詞包括:一些〈1〉類型量詞，比如，所有的鋼筆、有些學生、有的雞蛋、至少3個恐怖分子、正好3個人、無數的繁星、奇數、偶數;一些〈1，1〉類型量詞，比如，至多 3個(位、打、副等)、最少 10個(位、打、副等)、無窮多的、大多數的、奇數的、偶數的、所有的、有的、有些、無、并不是所有的(全部的)等等。廣義量詞滿足同構閉包性才能夠保證“如果在一個邏輯語言中一個語句在一個模型中為真，那么該語句將在所有的同構模型中為真”，關系、個體等無關緊要的東西已經被抽象掉，結構的重要性被凸顯出來。比如，an odd number of students與 an odd number of eggs/dogs/trees的單調性及其數字三角形只與an odd number of有關，與 students、eggs/dogs/trees無關。

定義 2［7］137-138〈1，1〉類型量詞的駐留性

一個〈1，1〉類型量詞Q是駐留的，當且僅當，對任意的論域E和任意的A、B?E，QE(A，B)?QE(A，A∩B)。

例1:(a)大多數女人都愛哭。?(b)大多數女人都是愛哭的女人。

例1中的語句(a)與(b)相互蘊涵，由定義2知，“大多數”具有駐留性。在漢語中，除了“比……多”和“與……相等”這兩個〈1，1，1〉類型量詞外，絕大多數量詞都滿足駐留性。所有的〈1，1〉類型廣義量詞都具有駐留性。

定義 3［7］101-107〈1〉類型量詞的擴展性

一個〈1〉類型量詞Q滿足擴展性，當且僅當，對任意的論域 E、E＇且任意的 A?E?E＇，QE(A)? QE＇(A)。

擴展性的另一個標簽是“論域獨立性”，即“在每個論域上量詞的意義都不變”。也就是說，只要論元不改變，當論域被擴大或縮小時，該廣義量詞的語義定義或真值條件不會改變。量詞的這一性質叫做擴展性。例如:在“All children/girls/boys/women/wen/dogs/pigs are sleeping.”中“all”的意義與 children、girls、boys、women、wen、dogs、pigs這些具體的個體對象無關，也與上面這些對象的論域無關，“all”的真值定義“all(A，B)?A?B”僅僅代表的是包含關系，即使把量化論域中的元素的個數由10個擴展到100個、1 000個，甚至10 000個時，即把與個體相聯系的論域擴大時，“all”代表的包含關系仍然是不變的。

定義 4［7］208-214〈1，1〉類型量詞的對稱性

一個〈1，1〉類型量詞Q是對稱的，當且僅當，對所有的論域E和所有的A，B? E而言，QE(A，B)? QE(B，A)。

例2:(a)最多5位特警是女性。?(b)最多5位女性是特警。

例3:(a)30%的特警是女性。?/(b)30%的女性是特警。

例2中的語句(a)與(b)相互蘊涵，由對稱性的定義知，〈1，1〉類型量詞“最多五位”具有對稱性。而例3中的語句(a)與(b)不能夠相互蘊涵，由定義4知，“30%的”不具有對稱性。

定義 5［7］92余性(co-properties)

令P是一個類型為τ的量詞的一個性質，Q具有余性(co-P)當且僅當其內否定Q﹁具有性質P。

定義 6［7］163-207〈1，1〉類型的量詞的單調性

(1)〈1，1〉類型量詞QE是右單調遞增的，當且僅當:若 B?C?E，則 QE(A，B)蘊涵 QE(A，C)。

(2)〈1，1〉類型量詞QE是右單調遞減的，當且僅當:若 B?C?E，則 QE(A，C)蘊涵 QE(A，B)。

(3)〈1，1〉類型量詞QE是左單調遞增的，當且僅當:若 B?C?E，則 QE(B，A)蘊涵 QE(C，A)。

(4)〈1，1〉類型量詞QE是左單調遞減的，當且僅當:若 B?C?E，則 QE(C，A)蘊涵 QE(B，A)。

(5)〈1，1〉類型量詞QE是東南方向單調遞增的，當且僅當:若QE(A，B)且A?C?E且A-B=C-B，則 QE(C，B)。

(6)〈1，1〉類型量詞QE是西南方向單調遞增的，當且僅當:若QE(A，B)且A?C?E且A∩B=C∩B，則 QE(C，B)。

(7)〈1，1〉類型量詞QE是西北方單調遞減的，當且僅當:若QE(A，B)且C?A?E且A-B=C-B，則 QE(C，B)。

(8)〈1，1〉類型量詞QE是東北方向單調遞減的，當且僅當:若QE(A，B)且C?A?E且A∩B=C∩B，則 QE(C，B)。

在研究廣義量詞的單調性時，首先得假設該量詞滿足駐留性。這是為什么呢?筆者的理解是，在假定具有同構閉包性和有窮論域的情況下，單調性可以在數字三角形①廣義量詞的數字三角形及其畫法請參見文獻［8］。中異常清楚明了地展示出來，而且這種展示方法所得到的結果離開了這些假設就很難被發現［9］。而對于后4種單調性，只有滿足駐留性的條件下，才能滿足它們各自的定義中的條件A∩B=C∩B或A-B=C-B。上面這些單調性的例子依次分別見例4至例11，而且例8至例11的推理成立的前提是假定只有男學生才抽煙，女學生不抽煙。

例4:(a)大多數學生都抽過雪茄。?(b)大多數學生都抽過煙。

例5:(a)不到一半的學生抽過煙。?(b)不到一半的學生抽過雪茄。

例6:(a)至少有5位亞洲學生抽過煙。?(b)至少有5位學生抽過煙。

例7:(a)最多有5位學生抽過煙。?(b)最多有5位亞洲學生抽過煙。

例8:(a)大多數男學生沒有抽過煙。?(b)大多數學生沒有抽過煙。

例9:(a)最多七分之三的男學生抽過煙。?(b)最多七分之三的學生抽過煙。

例10:(a)只有少數學生沒有抽過煙。?(b)只有少數男學生沒有抽過煙。

例11:(a)至少三分之一的學生抽過煙。?(b)至少三分之一的男學生抽過煙。

三、廣義量詞的單調性與其他語義性質之間的關系

我們首先來考察單調性與駐留性的關系。前面已經說明，研究量詞的單調性時首先得假設該量詞滿足駐留性。事實上，如果沒有這一假設，要使得單調性蘊涵駐留性，那么該量詞必須滿足非常苛刻的條件:即該量詞必須是全域量詞，為此，筆者提出:

定理1 單調性與駐留性的關系

對于一個〈1，1〉類型量詞Q而言，如果Q是右單調遞增且右單調遞減的，那么Q具有駐留性。

證明:假定〈1，1〉類型的廣義量詞Q既是右單調遞增又是右單調遞減的，因為對所有的E和所有的A、B?E，A∩B?B?E始終成立，則根據定義6中的(1)右單調遞增的定義知，對所有的E和所有的 A、B?E，QE(A，A∩B)?QE(A，B)。同理，因為對所有的E和所有的A、B?E，A∩B?B?E始終成立，則根據定義6中的(2)右單調遞減的定義知，對所有的E和所有的A、B?E，QE(A，B)?QE(A，A∩B)。故，對所有的E和所有的A、B?E，QE(A，B)?QE(A，A∩B)，根據定義〈1，1〉類型的廣義量詞的駐留性的定義知，Q具有駐留性。證畢。

在此，筆者畫出既是右單調遞增又右單調遞減量詞的數字三角形簡圖(見圖1)。①廣義量詞的數字三角形簡圖的畫法以及廣義量詞的單調性及其在數字三角形中的特點請參見文獻［8］。

圖1 既右單調遞增又右單調遞減量詞的數字三角形

由圖1可以看出，如果一個〈1，1〉類型的廣義量詞Q的數字三角形，在一個序對(k，m)處對應的是“+”號，則與(k，m)處于同一階層且緊接(k，m)的右邊的所有序對(k-i，m+i)(其中1≤i≤k)處，對應的都是“+”號;而且與(k，m)處于同一階層且緊接(k，m)的左邊的所有序對(k+i，m-i)(其中1≤i≤m)處，對應的也都是“+”號，則Q具有駐留性。在此，筆者給出其形式化表述:在一個〈1，1〉類型的廣義量詞Q的數字三角形中，如果對于 Q(k，m)且 1≤i≤k 且 1≤i≤m，有Q(k+i，m+i)且 Q(k+i，m-i)，則 Q 具有駐留性。

事實上，在自然語言中，只有〈1，1〉類型的全域量詞，②一個具有同構閉包性的〈1〉類型量詞Q是一個全域量詞(universe quantifier)，當且僅當，對于數的某種類S而言，QE(A)?|A|∈S。類似地，對于〈1，1〉類型的全域量詞 Q而言，QE(A，B)?|A|∈S。比如，在自然語言中，“這8個……中的任意多個……”就是這種量詞。比如“這n個……中的任意多個……”滿足既右單調遞增且右單調遞減。例如，“這8個學生中任意多個學生都是男孩?這8個學生中任意多個學生都是男學生”，可見，“這8個中任意多個”具有駐留性。這例證了定理1的正確性。

定理1的逆命題并不成立。事實上，滿足定理1的前提條件的量詞，即既右單調遞增又右單調遞減量詞的數字三角形中，只有“+”號，并無“-”，即任意序對都能夠使得Q(A，B)成立。定理1從另一個角度說明:如果我們研究量詞的單調性不首先假設量詞必須首先滿足駐留性，那么我們就只能夠研究全域量詞的單調性了。

現在我們來考察對稱性與單調性之間的關系。為此，筆者提出了定理2與定理3:③定理2和定理3的詳細證明及其在數字三角形中的特點請參見文獻［6］。

定理2 對稱性與單調性的關系

令Q是一個具有駐留性的〈1，1〉類型量詞，Q是對稱的，當且僅當，Q是西南方向單調遞增且東北方向單調遞減。

定理3 余對稱性與單調性的關系

負壓吸引器：在手術過程中每個手術室都配有負壓吸引裝置利用負壓吸引來吸除煙霧是手術中常用的去除煙霧的方法之一。吸引器主要用來吸引血與大量液體等，同時也用來吸電外科器械產生的煙霧，但是實際操作時并不是很理想，但是效果如何并不為人知，只是直覺上覺得有效。自從使用自制吸煙裝置在手術腔鏡應用得到大家一致好評。

令Q是一個具有余駐留性的〈1，1〉類型量詞，Q是余對稱的，當且僅當，Q是東南方向單調遞增的且西北方向單調遞減的。

現在我們來考察擴展性與單調性之間的關系。為此，筆者提出:

定理4 單調性與擴展性的關系

對于〈1〉類型量詞Q而言，若Q滿足擴展性，則Q是西南方向單調遞增的。

證明:令Q是一個〈1〉類型量詞。一方面，如果Q滿足擴展性且A?E?E＇且QE(A)，那么由擴展性的定義知，QE＇(A)，即 QE(A)且 A?E?E＇?QE＇(A)，根據〈1〉類型量詞西南方向單調遞增的定義④〈1〉類型量詞 QE是西南方向單調遞增的，當且僅當:若QE(A)且 A?E?E＇，則 QE＇(A)。知，Q是西南方向單調遞增的。證畢。

而對于同時具有多種性質的廣義量詞，van Benthem提出了下面的定理5:

與之相反的是，滿足這些條件的右單調性量詞卻有無窮多個。Westerst?hl用數字三角形證明了另一個與之相關的一個定理:

定理6［10］在有窮論域下，滿足駐留性、擴展性和同構閉包性的左單調量詞是一階可定義的，即在一階邏輯FO中可定義。

而右單調性量詞(比如:比例量詞)在有窮模型上，通常不能夠在一階邏輯 FO中加以定義［7］465-478。對于邏輯學中的量詞而言，卻沒有介于自然語言中的量詞的左右單調性之間的這種截然相反的特點，這說明量化式(quantirelations)的特征就是:其限制論元用于對量化論域加以限制。

四、結束語

雖然我們已經對廣義量詞的單調性與同構閉包性、駐留性、擴展性和對稱性之間的關系進行了探討，但是廣義量詞的駐留性、擴展性等性質分別與它們的內否定、外否定、對偶否定和親緣量詞等相關量詞的駐留性、擴展性、對稱性和相交性等相應性質之間又有什么關系呢?比如，一個滿足對稱性的〈1，1〉類型量詞是否滿足駐留性或擴展性呢?為了探討這些關系，我們是否對其進行相應的形式化證明呢?如果能，應如何證明?這些問題都有待進一步研究。

［1］張曉君.廣義量詞的各種單調性之間的關系［J］.安徽大學學報:哲學社會科學社版，2012(5):47-52.

［2］張曉君，林勝強.如何利用廣義量詞的語義性質判斷擴展三段論的有效性［J］.邏輯學研究，2013(2):42-56.

［3］張曉君.擴展三段論的可化歸性與廣義量詞的語義性質之間的關系［J］.邏輯學研究，2012(2):63-74.

［4］張曉君，黃朝陽.基于廣義量詞理論的亞氏三段論的研究［J］.重慶理工大學學報:社會科學，2012(10):7-11.

［5］Chow K F.Inferential Patterns of Generalized Quantifiers and their Applications to Scalar Reasoning［D］.Hong Kong:Hong Kong Polytechnic University，2012.

［6］張曉君.廣義量詞的相關性質研究［J］.邏輯學研究，2010(3):67-79.

［7］Peters S，Westerst?hl D.Quantifiers in Language and Logic［M］.［S.l.］:Claredon Press，2006.

［9］張曉君，郝一江.廣義量詞的單調性與數字三角形［J］.重慶理工大學學報:社會科學，2010(3):18-24.

［9］V??n?nen J.Unary quantifiers on finite models［J］.Journal of Logic，Language and Information，1997(6):275-304.

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