洞庭湖水沙模擬的投影尋蹤回歸和支持向量機模型比較研究

伍小鐵

（湖南省新田水文站 郴州市 425700）

李正最

（湖南省水文水資源勘測局 長沙市 410007）

洞庭湖是長江中游典型的吞吐型調蓄湖泊，隨著三峽工程的建設與運行，其防洪功能已顯著提高[1,2]，但與此同時其徑流與輸沙量關系也發生了很大變化[3,4]。為了探明洞庭湖水沙出入湖量變化和相互關系，選擇合適的模擬方法非常重要。目前投影尋蹤回歸（PPR）[5，6]和支持向量機（SVM）模型[7,8]均已成功運用到多個專業領域，但很少有人將這兩種模型進行比較。本文根據洞庭湖的系列實測水文資料，將洞庭湖徑流與輸沙量關系看作是一種多路水沙交互作用的復雜的小樣本和非線性問題，基于PPR 和SVM 模型對洞庭湖徑流與輸沙量關系進行了模擬與驗證，并對模擬誤差進行了對比。

1 投影尋蹤回歸（PPR）和支持向量機（SVM）原理

1.1 投影尋蹤回歸（PPR）

投影尋蹤是用于分析和處理非正態、非線性數據的一種新方法，其基本思想是：利用計算機技術，把高維數據通過某種組合投影到低維子空間上，并通過極小化某個投影指標，尋找出能反映原數據結構或特征的投影，以達到研究和分析高維數據的目的。投影尋蹤回歸模型如下：

設y=f（X）和X=（x1，x2，…，xp）分別為一維和p維隨機變量，為了客觀反映高維非線性數據結構特征，投影尋蹤回歸采用一系列嶺函數的“和”去逼近回歸函數，即：

式中：Gm（Zm）為第m 個嶺函數；M 為嶺函數的個數；Zm=aTmX 為嶺函數的自變量，它是p 維隨機變量X 在am方向上的投影；am為投影方向。

投影尋蹤回歸模型仍然采用最小二乘法作為極小化判別準則，即以式（1）中的參數amj、Gm和嶺函數個數M 的適當組合，使下式

達到極小。

當前，建立投影尋蹤回歸模型一般均采用Friedman 和Stuetzle 提出的多重平滑回歸技術方法。設非線性系統的數學模型為：

式中：r 為多項式的階數，C 為多項式系數，hm表示正交的契比雪夫多項式，采用遞推形式計算：

根據樣本值估計式（2）中的參數，確定回歸函數f（X）進行回歸預測。對于式（1）中的非線性系統模型，實現投影尋蹤回歸的步驟如下：

step1：確定嶺函數的個數M。

step2：選擇M 個彼此正交的投影方向a1，a2，…，aM，建立初步回歸模型：

step3：分組優化。即將amj（j=1，2，…，p）和Gm[即hmi（i=0，1，…，r）]劃為一組，m=1，2，…，M，共有M組。除去其中一組外，對另外的M-1 組用step2 中得到的值作為初值，對留下的一組參數尋優。求得結果后。把這一組參數的極值點作為初值，另選一組參數尋優，反復多次直到最后選取的一組參數值，使式（1）不再減小為止。

step4：參數處理，并輸出回歸模型：

1.2 支持向量機（SVM）回歸

支持向量機的基本思想是用少數支持向量代表整個樣本集，本質上是通過某一事先選擇好的非線性函數φ（·）將訓練集數據X 映射到一個高維線性特征空間H，在這個維數可能為無窮大的線性空間中按結構風險最小化原理構造最優分類面。并利用原空間的核函數取代了高維特征空間ω 和Φ（x）的點積運算，從而避免了復雜的點積計算。對于給定的樣本數據集{（xi，yi）|i=1，2，…，l} ，其中xi為輸入值，yi為預測值。要求擬合的函數形式為：

根據結構風險化最小原則即要尋求最優回歸超平面使：

式中：C 為調節訓練誤差和模型復雜度之間折中的正則化常數； ε 為不靈敏損失函數。則支持向量機的回歸問題就等價于解決一個二次規劃問題。最優化問題為：

SVM 用來估計回歸函數時，常分為線性和非線性擬合回歸兩類。由上式可求得線性回歸函數為：

對于非線性的情況，引入核函數即可。此時求得的是非線性回歸函數為：

其中K（x，xi）=φ（x）φ（xi）稱為核函數。核函數的選擇必須滿足Mercer 條件，常見的核函數有：

（1）多項式核函數。

此時的SVM 是一個σ 階多項式分類器。

（2）徑向基函數。

此時的SVM 是一種徑向集函數分類器。

（3）Sigmoid 核函數。

此時的SVM 是一個單隱層感知器神經網絡。

目前最常見的支持向量機是Suykens J.A.K 于1999年提出了最小二乘支持向量機，采用二次規劃方法代替傳統的支持向量機來解決函數估計問題。最小二乘支持向量機在利用結構風險原則時，在優化目標中選取了不同的損失函數。核函數參數σ 和最小二乘支持向量機參數的取值對模型的推廣預測能力有很大的影響，若取值不當，均會增大模型誤差，其取值通常是采用試算法或經驗法，本文采用混沌優化算法對峰值識別最小二乘支持向量機模型的參數σ、C 進行優化選取。

2 洞庭湖水沙模擬與比較分析

2.1 研究區概況與數據來源

洞庭湖位于湖南北部、長江荊江南岸，跨越湘鄂兩省。北面有松滋、太平、藕池和調弦口（于1958年封堵），分瀉長江水沙，南有湘、資、沅、澧四水匯入，周邊汩羅江、新墻河等中小河流直接入湖，經洞庭湖調蓄，于城陵磯匯入長江，是長江中下游重要的調蓄型湖泊，對分瀉荊江洪水和保障下游徑流供給起著十分顯著的作用，洞庭湖河網水系結構見圖1。新中國成立以來，長江中游河段經歷了調弦口封堵、下荊江系統裁彎取直、葛洲壩和三峽水庫建成發電等；湖南省湘、資、沅、澧四水流域包括柘溪、五強溪等干流骨干性工程在內的13 000 多座各種水利工程和水土保持工程，但是一些工程并沒有取得預期效果，如下荊江裁彎工程等[9]。

本研究的水文泥沙數據來源于洞庭湖區水文年鑒和主要水文站監測資料。

圖1 洞庭湖區河網水系結構

2.2 模型整體結構

洞庭湖水沙系統具有十分明顯的非線性特征，因此在建模的具體手段上分別選用投影尋蹤回歸和支持向量機兩種方法。用1956～2004年洞庭湖區水沙序列進行模型擬合，以2005～2008年洞庭湖區水沙序列進行模型檢驗。洞庭湖出口城陵磯站的徑流量和輸沙量可簡單地表述為以下非線性結構，即：

式中：Qd為城陵磯出口斷面的徑流量；Sd為城陵磯出口斷面的泥沙；Qu為四水入流量；Su為四水來沙量；Qλ為三口分流量；Sλ三口分沙量，q 為區間產水量；V 為洞庭湖調蓄量；X地形為洞庭湖區地形特性；φ（·）為水量交換作用函數，Ψ（·）為水沙交互作用函數。

由于洞庭湖區域水下地形變化較大，加之城陵磯以上區域尚有3.96×104km2無水文站網控制，區間產水產沙量尚存在很大的不確定性。因此在建模時不宜直接涉及區間產流產沙和調蓄變化的計算。綜合考慮洞庭湖河網結構的特點和水文資料獲取的可能性，水沙交互模型的具體輸入輸出處理如下：

（1）以荊江三口新江口、沙道觀、彌砣寺、管家鋪、康家崗5 個水文站和湘、資、沅、澧四水的湘潭、桃江、桃源、石門4 個控制站的徑流作為系統輸入，以城陵磯站徑流作為系統輸出，建立洞庭湖水量交換模型；

（2）以荊江三口新江口、沙道觀、彌砣寺、管家鋪、康家崗5 個水文站和湘、資、沅、澧四水的湘潭、桃江、桃源、石門4 個控制站的徑流和泥沙，以及洞庭湖水量交換模型的輸出作為系統輸入，以城陵磯站泥沙作為系統輸出，建立洞庭湖水沙交互模型。

2.3 模擬與預測誤差

按照建模序列和檢驗序列，分別統計兩種模型的最大誤差和絕對平均誤差。因檢驗序列過短不宜獨立計算誤差標準差，故按建模序列和檢驗序列合并計算。主要誤差指標計算公式如下：

式中：ei為第i 個樣本的擬合（預報）誤差；yi為第i 個樣本實測值；yi為第i 個樣本擬合或預測值；emax為最大擬合或預報誤差；max（·）為取大運算符；ABS（·）為絕對值運算符；emean為平均絕對誤差；Se為誤差標準差；n 為樣本總數。

對上述建立的二種模型分別進行回顧檢驗和外推預報，以式（17）計算相對誤差，誤差分布情況見圖2。對于所建立的二種模型，用城陵磯站年徑流和年輸沙量按式（17）～（20）統計誤差，計算結果見圖3。

2.4 結果比較分析

圖2 洞庭湖徑流與輸沙量關系模型擬合與檢驗誤差分布

圖3 洞庭湖徑流與輸沙量關系擬合與檢驗誤差統計

從圖2 和圖3 可以看出，所建立的兩種模型均具備一定的復雜系統仿真能力。而就模型的類別而言，以SVM 模型的精度較高，PPR 略低；就模型的輸出物理量而言，兩種模型的徑流量模擬輸出精度均高于輸沙量，說明江湖水沙演化中輸沙量的影響因素更為廣泛，演化機制更為復雜，非線性特征更為顯著；就模型的推廣和泛化能力而言，PPR 檢驗序列精度對建模序列精度有所下降，SVM 檢驗序列精度基本與建模序列相匹配，沒有表現出明顯的下降趨勢?？梢奡VM 的有效性和可信性較好，其系統數據與模型數據之間具有較好的一致性，因而其對復雜水網水沙交互作用的擬合和推廣能力較強。因此，運用SVM 模型模擬計算的洞庭湖水沙出入湖量和區域泥沙淤積情況，可供江湖治理決策參考。

3 結 語

本文利用洞庭湖近50年來的水文觀測資料，基于投影尋蹤回歸和支持向量機分別建立了洞庭湖徑流與輸沙量兩種非線性仿真模型，得到以下結論：

（1）通過兩種模型的誤差比較，SVM 模型的精度較高，說明SVM 模擬和預測的結果與實測值吻合度高，試用、可操作性強，為復雜水網區的水沙分析提供了一種新方法。

（2）支持向量機的推廣性能與模型的參數選擇有很大關系。因此，如何根據訓練樣本選擇合適的模型參數，以保證建立好的模型有很好的推廣性能，成為設計支持向量機關鍵一步。

（3）通過模擬可以看出，兩種模型中洞庭湖的徑流量輸出精度均高于輸沙量，說明洞庭湖輸沙量變化涉及因素更多，而不僅僅與徑流量有關。影響輸沙量因素，有待進一步研究。

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