基于Kane方法的火箭拋繩系統飛行動力學模型

顧文彬，陸 鳴，2，劉建青，董勤星，陳江海，王振雄

（1.解放軍理工大學 野戰工程學院，南京210007；2.武漢軍械士官學校，武漢430075）

近年來，受全球極端氣候變化和地震活動的影響，世界各國重大自然災害頻發。然而，大量救援工作卻因自然災害導致的道路、橋梁被破壞以及深塹峽谷和江河的阻斷，貽誤了72h最佳救援時機，造成災區民眾生命和財產的重大損失。因此，研究一種能快速形成空中索道，克服深塹峽谷等障礙，渡送救援物資和人員的技術與裝備是國家減災防災領域亟待解決的問題。

制導火箭拋繩技術能夠在復雜地理與氣象條件下和極短時間內，將工作索快速而精確地送達彼岸，形成大跨度救援空中通道，滿足應急救援人員和物資的渡送要求。因此，制導火箭拋繩技術與裝備研制對提高災害救援的效率，提升當前國家整體應急救援保障能力具有十分重要的意義。而火箭拋繩系統的飛行動力學理論是該問題研究的難點和關鍵。

制導火箭拋繩的工作過程是：火箭通過鋼絲繩與高強度工作繩一端連接，繩索被整齊地碼在儲繩箱內；發動機點火后，在火藥氣體推力作用下，火箭沿滑軌向空中飛出，牽引儲繩箱里工作繩飛向瞄準點。參與飛行的繩索為變質量柔性系統，它具有無限自由度，動力學特性非常復雜。目前，國內外對于火箭拖帶軟繩索飛行的復雜動力學問題的研究較少［1－3］。

本文基于 Kane方法［4］，采用“有限段思想”［5－6］對繩索進行建模，建立了拋繩火箭飛行動力學模型，并對其進行動力學特性分析。通過該項研究，提出較為精確的拋繩火箭飛行的動力學模型，為研究繩子對拋繩火箭飛行的擾動以及拋繩火箭制導控制提供理論模型。

1 火箭拋繩系統動力學飛行建模

1.1 基本假設

假設火箭和繩子在同一平面內運動；火箭簡化為一個質量點；參與飛行的繩索均勻離散為n個繩段，從火箭拉起端到剛離開地面端標號依次為1，2，…，n。前n－1段每段長度為li，第n段為變長度變質量繩段；不考慮繩段的軸向伸長和彎曲，每個繩段質量集中在遠離火箭的一端，大小等于該段的質量；段與段之間通過鉸鏈連接。在繩索不斷被拉出的過程中，當最后一段的長度達到設定條件時，長度不再變化，并拉起一個新的繩段n＋1。

1.2 火箭拋繩系統運動學分析

建立圖1所示慣性坐標系，以火箭發射點位置為坐標原點，火箭射向的水平方向為x軸，豎直向上方向為y軸，火箭拋繩系統在Oxy平面內運動。

1.2.1 位置分析

設某時刻火箭的位置為（xR（t）yR（t））T，第i個繩段與y軸的夾角為θi（t），i＝1，2，…，n。選取火箭位置（xR（t），yR（t）），以及每個繩段與y軸的夾角θi（t）為廣義坐標，則共有n＋2個廣義坐標。每個繩段集中質量點處的位置坐標為

圖1 簡化模型圖

1.2.2 速度分析

對火箭和每段繩段的位置進行求導則得到它們的速度。令（t）＝ωi（t），則火箭速度為（xR（t）yR（t））T，每個繩段集中質量點處的速度為

1.2.3 偏速度分析

根據Kane方法推導得各集中質量點相對于各廣義速度的偏速度uij表達式：

對偏速度求導，得到各偏速度的導數的表達式：

1.2.4 加速度分析

對火箭和每段繩段的速度進行求導可得到它們的加速度，則火箭及每個繩段集中質量點處的加速度為

1.3 動力學分析

1.3.1 廣義主動力

廣義主動力是指作用在火箭拖繩系統上的主動力，由重力Fg、空氣動力Fd、推力Fp和末段繩子受力Ft等組成，用FL表示。

1）重力。

火箭的質量為mR，火箭所受重力為

繩子的線密度為ρl，每段繩段的質量為mi＝ρlli，每段繩段所受重力為

2）空氣動力。

火箭在空氣中飛行要受到空氣動力的作用。實驗分析表明：作用在火箭上的空氣動力與來流的動壓以及火箭的特征面積成正比［7］。假設火箭彈軸與速度矢量重合，則作用于火箭的空氣動力沿彈軸向后，空氣阻力為

式中：CR為火箭的阻力系數，SR為火箭的特征面積，動壓為火箭所處高度的空氣密度，vRx、vRy分別為火箭在x軸和y軸方向上的速度。

由于柔軟織物具有透氣性，所以準確計算繩索所受氣動力是非常困難的［8］。考慮到工程需求，采用與火箭所受空氣阻力相似的方法，得每段繩段所受空氣阻力：

式中：Ci為第i個繩段的阻力系數，Si為第i個繩段的特征面積，qix、qiy為第i個繩段x軸和y軸方向上的動壓。

3）推力。

火箭點火后，發動機開始工作，火藥氣體燃燒，燃燒產物從噴管噴出，從而推動火箭向前飛行。這是推動火箭飛行的動力，該力一直作用在火箭上直到發動機工作結束，稱為推力。假設推力沿著火箭彈軸方向，大小為Fp，則：

式中：Fpx、Fpy分別為推力沿x軸和y軸的分量。

4）末段繩段所受力。

繩子被不斷拉出的過程中，末段繩段的受力相當復雜，根據Wolf的直線拉出模型［9］，假設末段繩段所受力為Ft，則：

式中：Ftx、Fty分別為末段繩段所受力沿x軸和y軸的分量。

5）主動力合力。

主動力合力用Fz表示，它的表達式為

其矩陣形式可表達為

6）廣義主動力。

根據Kane法，第j個廣義坐標的廣義主動力為

整個系統的廣義主動力為

1.3.2 廣義慣性力

廣義慣性力用F＊L表示。根據Kane法，第j個廣義坐標的廣義慣性力為

式中：j＝1，2，…，n＋2。

整個系統的廣義慣性力為

式中：u、、分 別 為uij、、的 矩 陣 形 式，M＝diag｛m0，m1，…，mn｝。

1.4 動力學方程

根據Kane方程：

將式（17）代入式（18），得：

移項得：

式（20）可寫為

式中：A＝uTMu，B＝FL－uT

式（21）包含n＋2個方程，共有n＋2個變量，故可解算得火箭及各繩段的運動學參數。

2 仿真計算與討論

2.1 物理模型

按照所建模型，以某火箭為例進行計算，模型參數：火箭長1m，直徑為122mm，質量20kg，火藥質量為2.33kg，火箭總沖為4 770N·s，工作時間0.43s，繩索線密度為0.43kg／m，繩索每段取為1m，發射角度分別為25°、35°、45°、55°和65°。

2.2 運動規律

①射角分別為25°、35°、45°、55°和65°時，火箭運動軌跡的變化規律如圖2所示。從圖2中可以看到：彈道不對稱性顯著，降弧比升弧陡，頂點距離遠大于半射程；隨著射角增大，彈道頂點的高度不斷增加，而射程先是相應增大，當射角達到某一值后又逐漸減小；在相同條件下，存在一個使拋繩火箭最大射程的射角。

圖2 不同射角的彈道軌跡

②火箭速度vR隨不同射角的變化規律如圖3所示。從圖3中可以看到：速度在很短的時間內由0達到最大值，而后開始減小，減小到極小值后又開始增大。主要是在主動段內，火箭發動機工作，火箭發動機推力遠比空氣阻力、火箭和拉起繩子的重力以及末段繩子所受力大，所以火箭速度快速增加直到達到最大值。主動段結束后，發動機工作結束，此時火箭在慣性作用下仍繼續上升，但受到空氣阻力、重力以及繩子拉力的作用，速度開始不斷減小，直到火箭到達彈道頂點。過頂點后，火箭運動方向改為向下運動，重力加速了這種運動趨勢，速度很快降到極小值后又開始增加直到火箭落地；隨著射角增大，火箭在空中飛行的時間也增加，火箭的落點速度也相應增加。

圖3 不同射角下火箭速度曲線圖

③火箭彈道傾角αR隨不同射角的變化規律如圖4所示。從圖4中可以看到：在初期彈道傾角變化較平緩，隨著火箭的飛行，彈道傾角快速減小并由正值變為負值，過零點后繼續減小直至落點。主要是在初期，火箭發動機推力起主導作用，彈道傾角變化較緩，發動機工作結束后，重力起主導作用，迫使火箭低頭，彈道傾角為0時對應彈道頂點；當射角從25°到65°變化時，火箭落地時的角度都比較大，火箭的降弧比較陡。

圖4 不同射角下火箭彈道傾角曲線圖

④射角為45°時，拋繩火箭飛行到1.6s、3.7s、5.8s、7.9s時繩子在空中飛行的狀態如圖5所示。

圖5 不同時刻繩索的飛行狀態圖

可以看到：一開始繩子比較平直，到了飛行后期，繩子中間部分出現向上凸的形狀。主要是因為飛行初期，火箭發動機推力很大，火箭速度很快，基本在一直線上運動，繩子被快速拉出，因此，繩子較平直；到了飛行后期，火箭速度減小，繩索后端運動滯后于前端，同時由于空氣阻力的作用，繩索形成中間部分向上凸的現象，符合實際情況。

⑤射角為45°時，火箭的加速度aR－時間t曲線如圖6所示。可以看到：在初始時刻加速度為正值，且值較大，隨后開始減小，到0.43s時突變為負值，并繼續減小，減小到最小值后開始增大，并越過零點又變為正值，然后曲線變化較平坦。加速度一開始很大是因為此時發動機推力起主要作用。隨著速度的增加以及參與飛行的繩子增多，火箭受到空氣阻力以及繩子拉力也相應增加，因此，火箭加速度開始減小。加速度發生突變是因為發動機工作結束沒有了推力，而空氣阻力以及繩子拉力與火箭的運動方向相反。加速度由最小值增大過零點的時刻對應火箭速度最小值的時刻。

圖6 火箭加速度曲線圖

3 結束語

對拋繩火箭進行了運動學分析，考慮了作用在火箭和被拉起繩子上的作用力，并將其等效為廣義主動力和慣性力，建立了拋繩火箭飛行的動力學模型。

對拋繩火箭進行了數值計算。計算結果表明，該動力學模型能夠有效地實現拋繩火箭的數值仿真，揭示運動規律，是一種切實可行的理論模型。

該動力學模型的建立對下一步研究拋繩火箭飛行的擾動以及拋繩火箭的制導、飛行控制具有理論指導意義。

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