旋轉(zhuǎn)傘－子彈系統(tǒng)動力學(xué)建模與仿真

馬曉冬，郭 銳，劉榮忠，呂勝濤

（南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國防重點實驗室，南京210094）

末敏子彈從母彈拋出，經(jīng)過減速減旋后減速導(dǎo)旋主傘張開，傘－彈系統(tǒng)受到空氣動力及系統(tǒng)阻尼的影響，運動一段時間后勻速下落，并繞著傘軸穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)。進入穩(wěn)態(tài)階段后，傘－彈系統(tǒng)對地面目標(biāo)進行掃描和攻擊。

為了解旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描段的運動特性，常利用高塔投放或空投的自由飛行試驗方法，但系統(tǒng)的運動初始條件與實際工作情況相差較大。若采用炮射試驗，則母彈發(fā)射時的高過載對子彈內(nèi)測試系統(tǒng)提出很高的要求；且末敏子彈在空中運動跨度大，外部測試系統(tǒng)對其進行捕捉亦有難度。所以，理論建模和數(shù)值模擬研究該問題是一種更可行、更經(jīng)濟的手段。降落傘－載物系統(tǒng)是一種復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)，相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者已提出許多動力學(xué)建模方法［1－10］。對于旋轉(zhuǎn)傘－子彈系統(tǒng)，文獻(xiàn)［11］將連接旋轉(zhuǎn)傘與子彈的裝置處理為球鉸，建立傘－彈系統(tǒng)9自由度模型，得到彈道結(jié)果和動力學(xué)行為；文獻(xiàn)［12］考慮末敏彈系統(tǒng)的連接方式、約束和傘繩彈性，建立傘、傘盤、彈3剛體系統(tǒng)運動的數(shù)學(xué)模型，計算結(jié)果與實測運動規(guī)律和掃描特性相符；文獻(xiàn)［13］基于Kane方法，將旋轉(zhuǎn)傘視為柔體，建立10自由度傘－彈系統(tǒng)剛?cè)醿审w動力學(xué)模型，得到某型末敏彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描段的彈道結(jié)果。可見，已有研究中的旋轉(zhuǎn)傘－子彈系統(tǒng)動力學(xué)模型均經(jīng)過了適當(dāng)?shù)暮喕?/p>

為得到更加接近實際運動的動力學(xué)模型，利用第一類Lagrange方程，建立旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的5剛體動力學(xué)模型；針對實際工況下末敏子彈彈道數(shù)據(jù)難以試驗測得的問題，著重利用動力學(xué)仿真對系統(tǒng)動力學(xué)模型求解，通過設(shè)置邊界條件得到旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描段的彈道結(jié)果。

1 旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)

旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)由旋轉(zhuǎn)降落傘、傘盤、摩擦盤、連桿和末敏子彈組成，如圖1所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)示意圖

傘衣上的開口設(shè)計使得其在下落過程中受到沿傘軸方向的空氣動力矩，發(fā)生轉(zhuǎn)動。傘盤和摩擦盤通過柱鉸連接，中心軸線重合，掃描段初期二者相對轉(zhuǎn)動，防止傘繩纏繞。摩擦盤與連桿、連桿與子彈之間各通過一個柱鉸連接，柱鉸的軸線與傘盤表面平行。系統(tǒng)經(jīng)減速減旋后，旋轉(zhuǎn)傘張開充滿，傘盤與摩擦盤之間由于摩擦力作用，相對轉(zhuǎn)動速度越來越小，連桿與傘盤、摩擦盤之間的擺動也逐漸削弱。一段時間后，傘－彈系統(tǒng)勻速下降，并繞鉛垂軸勻速旋轉(zhuǎn)，即進入穩(wěn)態(tài)掃描階段。

本文充分考慮傘－彈系統(tǒng)各部分之間的連接，建立5剛體動力學(xué)模型。引入以下假設(shè)：①重力加速度為常數(shù)，忽略地球的科氏加速度和曲率的影響；②不考慮傘的透氣性，將其視為剛體，將傘繩視為阻尼彈簧；③不考慮傘盤、摩擦盤和連桿的空氣動力，降落傘和子彈的氣動參數(shù)為常數(shù)；④忽略彈體、摩擦盤等尾流對旋轉(zhuǎn)傘的影響；⑤旋轉(zhuǎn)傘的附加質(zhì)量和附加力矩暫不考慮。

2 旋轉(zhuǎn)傘－子彈系統(tǒng)動力學(xué)模型

2.1 坐標(biāo)系

建立慣性坐標(biāo)系Oxyz，O為初始時刻子彈質(zhì)心的地面投影點，Oz軸沿鉛垂方向且向上為正，Ox軸水平且在Oz軸與子彈中心軸組成的平面內(nèi)，Oy軸由右手法則確定。

建立5個剛體的固連坐標(biāo)系Oixiyizi。Oi為剛體i質(zhì)心，Oizi軸沿剛體i中心軸向上，Oixi軸初始時刻與平面Oxz平行，Oiyi軸由右手法則確定，如圖2所示，其中，D1，D2分別為子彈上、下表面中點，設(shè)a＝｜rO2O3｜，摩擦盤與連桿連接點在O3x3y3z3中的坐標(biāo)為（0，0，－b），在O4x4y4z4中的坐標(biāo)為（0，0，c），連桿與彈體連接點在O5x5y5z5中的坐標(biāo)為（0，n，m）。

圖2 部分坐標(biāo)系示意圖

設(shè)剛體i的歐拉角為ψi，θi，φi，則歐拉角在體坐標(biāo)系Oixiyizi上的投影構(gòu)成的矩陣為

Oixiyizi到Oxyz的轉(zhuǎn)換矩陣為

2.2 動力學(xué)方程

采用第一類Lagrange方程建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。用剛體i的質(zhì)心笛卡爾坐標(biāo)和歐拉角作為廣義坐標(biāo)，ri＝（xiyizi）T，pi＝（ψiθiφi）T，qi＝）T，i＝1，2，…，5。應(yīng)用拉格朗日乘子法，則系統(tǒng)動力學(xué)方程為

式中：T為系統(tǒng)動能為拉格朗日乘子陣，Q為廣義力，Φq＝?Φ／?q。剛體i的動能為

式中：mi為剛體i質(zhì)量矩陣，Ji為剛體i相對質(zhì)心的慣量矩陣。

經(jīng)計算整理，得系統(tǒng)動力學(xué)方程的矩陣形式：

2.3 系統(tǒng)約束方程

旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)共有3個柱鉸，相鄰2個剛體上給定鉸點在運動過程中始終重合，如圖2所示，則約束方程Φ（q，，t）＝0共15個：

Φr均為15×15矩陣，λ＝（λ1…λ15）T。以剛體2為例，求得Φr2和Φp2：

類似地，得到Φri和Φpi，組合得到Φr和Φp。

2.4 廣義力

先求各主動力在其相應(yīng)虛位移上的虛功。

1）傘繩拉力虛功。

傘繩與傘和傘盤的位置關(guān)系如圖3所示。傘繩矢量lj在地面坐標(biāo)系中表示為［12］

式中：Pj，Nj（j＝1，2，3，4）分別為傘和傘盤與傘繩相連接的結(jié)點，在相應(yīng)體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為P1（R1，0，－h(huán)），P2（0，R1，－h(huán)），P3（－R1，0，－h(huán)），P4（0，－R1，－h(huán)），N1（R2，0，0）；N2（0，R2，0），N3（－R2，0，0），N4（0，－R2，0）；R1，R2分別為傘和傘盤的半徑；h為Pj到平面O1x1y1的距離。

圖3 傘繩與傘、傘盤的位置關(guān)系

將傘繩視為只受拉力的彈簧，原長為l0，截面積為S0，彈性模量為E，彈性系數(shù)k＝ES0／l0，阻尼系數(shù)為ν，則傘繩拉力：

傘繩拉力所做的虛功：

2）空氣動力虛功。

旋轉(zhuǎn)傘所受的空氣動力包括阻力FRz和升力FRy；e′1＝A1e1，為傘軸方向單位矢量在慣性坐標(biāo)系的投影，則合力

式中：CD為旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)，C′y為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)，S1為旋轉(zhuǎn)傘特征面積，ρ為空氣密度，α1為旋轉(zhuǎn)傘攻角。

旋轉(zhuǎn)傘受到的空氣動力矩包括導(dǎo)旋力矩Mxw、極阻尼力矩Mxz、赤道阻尼力矩Mzz和穩(wěn)定力矩Mz，則合力矩在固連坐標(biāo)系中的投影：

式中：mxw為旋轉(zhuǎn)傘導(dǎo)旋力矩系數(shù)，m′xz為極阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，m′zz為赤道阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，m′z為穩(wěn)定力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，l1為特征長度，d1為特征直徑。

空氣動力對旋轉(zhuǎn)傘做的虛功為

回來的路上，玉敏忍不住捏了捏自己的嘴。想許沁果然狡猾，自己應(yīng)付不了她。自己明知姑父不可能還現(xiàn)金，許沁又怎么可能還自己現(xiàn)金呢？這種擔(dān)心根本是多余的，隨許沁還什么好了。玉敏暗暗佩服許沁，看來老板不是人人都做得了的。

類似地，空氣動力對彈體做的虛功為

3）摩擦力虛功。

設(shè)傘盤與摩擦盤之間的作用力為FN，則摩擦力產(chǎn)生的力矩MN＝2μFNR2／3，摩擦力產(chǎn)生的虛功為

式中：μ為傘盤與摩擦盤的摩擦力系數(shù)。

4）重力虛功。

剛體i的重力Gi＝（0 0mig）T，則系統(tǒng)重力的虛功為

廣義坐標(biāo)方向上的廣義力為

將式（11）、式（15）～式（18）代入式（19），即可得到各廣義坐標(biāo)方向上的廣義力。

彈體掃描角為

為了與5剛體動力學(xué)模型對比，將旋轉(zhuǎn)傘、傘繩和傘盤視為一體，得到4剛體動力學(xué)模型。略去傘繩拉力項，將剛體1和剛體2合并處理，按照上述步驟可得到傘－彈4剛體系統(tǒng)動力學(xué)方程。

3 模型試驗驗證

3.1 系統(tǒng)主要參數(shù)及初始條件

旋轉(zhuǎn)傘模型采用渦環(huán)旋轉(zhuǎn)傘［14］，結(jié)合流體力學(xué)軟件與試驗數(shù)據(jù)確定其氣動力參數(shù)。經(jīng)探索計算得到主要氣動力參數(shù)：CD＝1.1，C′y＝0.03，mxw＝（ωb／vb）d1m′xz＝0.89（ωb和vb分別為系統(tǒng)的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速和穩(wěn)定落速），m′zz＝0.01。系統(tǒng)其他主要參數(shù)：m1＝0.20kg，m2＝0.29kg，m3＝0.15kg，m4＝0.02kg，m5＝12.25kg，l1＝1.2m，d1＝1.4m，k＝4.75×105N／m，ν＝0，μ＝0.3。

采用Gear預(yù)估－校正算法求解系統(tǒng)動力學(xué)方程，分析傘－彈系統(tǒng)自由下落時的彈道特性，故：t＝0時，r5＝（0 0 100）（m），pi＝0＝0，＝0。

3.2 試驗驗證方法

為了驗證此模型模擬傘－彈系統(tǒng)真實運動的有效性，設(shè)計了100m高塔投放試驗，如圖4所示。將傘－彈系統(tǒng)試驗?zāi)Ｐ蛷乃斖断拢ㄟ^姿態(tài)參數(shù)存儲測量儀和高速攝像儀測試并記錄其下降過程中的空中姿態(tài)參數(shù)變化規(guī)律。

圖4 正在下落的傘－彈系統(tǒng)

基于地磁場的近地不變性，設(shè)計一種姿態(tài)參數(shù)存儲測量裝置。采用三軸磁阻傳感器，獲得3路地磁分量并以電壓U的形式輸出，如圖5所示，其中t′為對應(yīng)的時間。試驗結(jié)束回收測量儀，基于MATLAB調(diào)用存儲數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理，可以得到傘－彈系統(tǒng)在下降過程中的轉(zhuǎn)速變化和掃描角變化。通過高速錄像可得到系統(tǒng)通過標(biāo)尺段的時間，進而推算出穩(wěn)態(tài)下落段的平均速度。

圖6 和圖7分別為子彈轉(zhuǎn)速和掃描角γ的仿真和試驗結(jié)果對比。從圖6可以看出：對于5剛體模型，子彈轉(zhuǎn)速下落初始階段大幅度振蕩，6s開始趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定轉(zhuǎn)速為3.6r／s，試驗得到的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速在3.6r／s附近小幅變化；對于4剛體模型，沒有傘繩拉力（仿真中的彈力和阻尼力）作用，子彈轉(zhuǎn)速曲線十分光滑，3s達(dá)到穩(wěn)定值3.6r／s。對比之下，5剛體模型更能體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的真實運動。從圖7看出，掃描角6s開始趨于穩(wěn)定值36°，傘－彈系統(tǒng)進入穩(wěn)定狀態(tài)，試驗得到的掃描角約為38°，誤差為5.6%。此外，仿真得到穩(wěn)定落速為12.29m／s，試驗得到的穩(wěn)定落速為11.02m／s，誤差為10.3%。導(dǎo)致誤差的因素是動力學(xué)模型的簡化、試驗?zāi)Ｐ偷募庸ふ`差、試驗天氣（如風(fēng)）等。

圖6 高塔試驗的彈體轉(zhuǎn)速變化

圖7 高塔試驗的子彈掃描角變化

綜上所述，數(shù)值計算得到的子彈轉(zhuǎn)速、掃描角變化及穩(wěn)定落速與試驗得到的數(shù)據(jù)吻合較好，5剛體模型能較真實地反映旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的運動。

4 算例分析

實際工作中，旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)經(jīng)歷減速減旋后，具有一定的速度和轉(zhuǎn)速。根據(jù)某末敏子彈的彈道數(shù)據(jù)設(shè)置初始條件：t＝0時，ri＝（0 0 300）（m），pi＝（0 50 0）（°）＝（36.76 120.25 －41.63）（m／s），＝（0 0 14.24）（r／s）。

計算得到的系統(tǒng)運動規(guī)律如圖8～圖11所示。

圖8 實際工況的彈體轉(zhuǎn)速變化

圖9 實際工況的子彈高度及速度變化

圖10 實際工況的掃描角變化

通過計算結(jié)果可以看出：該型末敏彈在t＝8s時速度穩(wěn)定在12.29m／s，轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在3.6s，掃描角穩(wěn)定在36°，高度為204m；在地面上形成的掃描軌跡開始近似阿基米德螺旋線，滿足末敏子彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描的需要。

圖11 0～20s地面掃描軌跡

5 結(jié)論

①模型計算結(jié)果與傘塔試驗數(shù)據(jù)相符合，說明5剛體動力學(xué)模型模擬旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的運動是可行的；

②5剛體動力學(xué)模型更符合旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)實際結(jié)構(gòu)情況，與4剛體模型相比能更加真實地反映末敏子彈的彈道特性；

③對穩(wěn)態(tài)掃描段的傘－彈系統(tǒng)運動進行動力學(xué)仿真計算，可得到大量的彈道結(jié)果，這是試驗難以做到的，為旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的運動分析、末敏彈的總體設(shè)計以及掃描裝置的設(shè)計提供了幫助。

［1］ERICKSEN R E，GUITERAS J J，LARRIVEE J A，et al.A parachute recovery system dynamic analysis［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，1967，4（3）：321－326.

［2］WHITE F M，WOLF D F.A theory of three－dimensional parachute dynamic stability［J］.Journal of Aircraft，1968，5（1）：86－92.

［3］WOLF D F.Dynamic stability of a nonrigid parachute and payload system［J］.Journal of Aircraft，1971，8（8）：603－609.

［4］TORY C，AYRES R.Computer model of a fully－deployed parachute［J］.Journal of Aircraft，1977，14（7）：675－679.

［5］PILLASCH D W，SHEN Y C.Parachute／submunition system coupled dynamics.AIAA－84－0875［R］.1984.

［6］DOBROKHODOV V，YAKIMENKO O，JUNGE C.Six－degree－of－freedom model of a controlled circular parachute.AIAA－2002－4613［R］.2002.

［7］DOBROKHODOV V，YAKIMENKO O，JUNGE C.Simulink implementation of the 6DOF model of controlled circular parachute.AIAA－2002－4970［R］.2002.

［8］GUGLIERI G，QUAGLIOTTI F.Validation of a simulation model for a planetary entry capsule［J］.Journal of Aircraft，2003，40（1）：127－136.

［9］鄭曉龍，唐碩.內(nèi)裝式空中發(fā)射箭傘系統(tǒng)多體動力學(xué)分析［J］.彈道學(xué)報，2010，22（3）：46－50.ZHENG Xiao－long，TANG Shuo.Multi－body dynamic analysis of internally carried air－launched vehicle－parachute system［J］.Journal of Ballistics，2010，22（3）：46－50.（in Chinese）

［10］周彤，馮順山，張曉東，等.剛性傘穩(wěn)定式子彈藥的氣動特性分析［J］.彈道學(xué)報，2013，25（4）：1－5.ZHOU Tong，F(xiàn)ENG Shun－shan，ZHANG Xiao－dong，et al.A－nalysis on aerodynamic characteristics of rigid－parachute stabilized submunition［J］.Journal of Ballistics，2013，25（4）：1－5.（in Chinese）

［11］KARL F D，HARTMUT S.Nine－degree－of－freedom simulation of rotating parachute systems［J］.Journal of Aircraft，1992，29（5）：774－781.

［12］舒敬榮，王寶貴，韓子鵬，等.傘－彈系統(tǒng)三體運動分析［J］.航空學(xué)報，2001，22（6）：481－485.SHU Jing－rong，WANG Bao－gui，HAN Zi－peng，et al.Analysis on three body motion of parachute－projectile systems［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2001，22（6）：481－485.（in Chinese）

［13］郭銳，劉榮忠.末敏彈剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型及仿真［J］.兵工學(xué)報，2007，28（1）：10－14.GUO Rui，LIU Rong－zhong.Dynamics model and simulation of rigid and flexible coupling system for terminal－sensitive submunition［J］.Acta Armamentarii，2007，28（1）：10－ 14.（in Chinese）

［14］王利榮.降落傘理論與應(yīng)用［M］.北京：中國宇航出版社，1997.WANG Li－rong.The theory and application of parachute［M］.Beijing： China Astronautic Publishing House， 1997.（in Chinese）