基于攝動理論的彈道修正榴彈落點偏差預測

王 毅，宋衛東，宋謝恩，張曉強

（1.軍械工程學院 火炮工程系，石家莊050003；2.空軍指揮學院，北京100097）

固定鴨舵式二維彈道引信是近年來提出的新概念［1］，通過替換原有引信即可實現彈藥的信息化改造，是榴彈智能化、信息化的重要手段，是當前研究的重點和熱點。

基于落點預測的修正控制策略是彈道修正的手段之一，該策略通過預測彈丸落點偏差計算控制信號并控制作動器動作，進而實現彈道修正。落點預測的方法主要分為彈道積分外推和多項式擬合2種。彈道積分外推是指根據某一點的狀態變量初值和彈丸總體參數利用彈道模型進行彈道的數值積分直至彈丸落地，即可獲得落點坐標。Fresconi、Cooper和Costello等深入探討了不同彈道模型下的彈道外推所預測的落點精度，指出輸入參數越多，彈道模型越復雜，預測落點的精度越高［2－4］。多項式擬合的方法是指利用狀態變量和落點的關系擬合出相應的多項式來預測彈丸落點，該方法包括回歸法和神經網絡法。張成采用回歸方法建立了表征彈道參數與射程之間的多項式關系的射程預測方程［5］。該方法具有輸入參量少、計算速度快的優點，但解算精度有待提高。Ghosh等和曹營軍提出了基于離線訓練神經網絡的落點預測算法［6－7］。該算法對固定條件下的彈道具有較高的預測精度，但應用范圍較窄。Kramer等提出了通過在線訓練彈道模型的神經網絡算法對彈箭落點進行預測［8］。該方法對無控彈箭具有較高的預測精度，但對有控彈箭適用性不強。

二維彈道修正引信要求制導控制系統具有很高的集成度，且有成本限制，制約了彈上機的內存和實時計算速度。由于計算量太大，彈道積分外推法不適合在修正引信上使用，而多項式擬合法的精度和適用范圍限制了其應用。

依據彈道導彈關機點參數預測落點偏差的理論［9］，李超旺等針對脈沖修正火箭彈提出了基于攝動原理的火箭彈落點實時預測算法，采用二階偏導數預測火箭彈的落點偏差［10］。該方法計算量小，具有較高精度，但文獻未給出該方法的數學原理及具體的使用方法。

本文以安裝二維彈道修正的某型榴彈為研究對象，介紹了攝動落點偏差預測的數學原理，給出了其數值解法，并通過仿真的手段闡述了其應用過程和預測精度。

1 攝動落點偏差預測原理

假定X0（x0，y0，z0）和XT（xT，yT，zT）分別為發射系中發射點和目標點坐標。若彈丸初速一定，則在不加入任何彈道修正的情況下命中目標點的彈道曲線是唯一的（火炮射角均在一定范圍內選取），稱該彈道為基準彈道。然而，彈丸飛行過程中，由于總體參數偏差、氣動參數偏差、風等干擾因素的存在，彈道將偏離基準彈道造成彈丸落點的偏差，則稱該彈道為擾動彈道。

剛體彈道模型和修正質點彈道模型都通過計算彈軸與合速度的夾角（總攻角）來計算彈丸受力，從而求解彈丸的速度和位置。剛體彈道模型中繞質心轉動的方程和修正質點彈道模型中動力平衡角求解的方程均可作為質心運動的附屬方程，可用來計算總攻角。因而，可將vx，vy，vz，x，y，z作為描述彈丸運動的狀態變量。

定義XT＝Φ（x，y，z，vx，vy，vz）為基準彈道的函數表達式，函數以x為自變量，以vx，vy，vz，y，z為狀態變量，且函數在任意一點連續可微。令Xlm（xlm，ylm，zlm）為擾動彈道的落點。若落點Xlm與目標點XT距離較近，可在基準彈道任一點X（x，y，z）處采用泰勒展開的方法計算擾動彈道的落點坐標（僅給出二階泰勒展開），即

式中：Φx，Φz分別為射程和橫偏的函數；Xp＝（ΔvxΔvyΔvzΔyΔz）T，其中，Δvx，Δvy，Δvz，Δy，Δz為射程x處的狀態變量的偏差量；V＝（vxvyvz）；Rx（X，V），Rz（X，V）分別為落點縱向坐標x1m、橫向坐標z1m泰勒展開的拉格朗日余項。則式（1）整理可得：

式中：DL，DH分別為縱向、橫向的落點偏差。

若泰勒展開滿足一定的精度，即余項的絕對值小于某一特定值，則可采用式（2）預測彈丸的落點偏差。然而，基準彈道的表達式往往是隱式的，即采用微分方程組來表達，很難直接通過解析的方法討論預測精度。本文通過數值方法解決該問題。

2 攝動落點預測的數值解法

攝動落點預測通過偏導數和狀態變量的偏差量來計算彈丸的落點偏差。為達到彈上實時預測的目的，需要實時獲得偏導數和偏差量的值。應用中，基準彈道和偏導數可射前裝定，而偏差量為實時獲取的彈丸的速度位置信息與基準彈道狀態變量的差。彈丸的速度位置信息既可通過GPS接收機獲取，也可通過慣性測量器件獲取。本文討論的二維彈道修正引信通過GPS接收機獲取彈丸的速度位置信息，故僅討論該方式下的落點偏差預測方法。

2.1 偏導數的計算

由有限差分法可得函數一階、二階偏導數的數值計算方法，即

式中：f（a），f（a，b）分別為一元、二元連續函數；Δa，Δb為計算步長。

假定Δvx和Δy為基準彈道上任意一點X速度分量vx和位移分量y的計算步長，則有：

式中：xvx，xy為分別加入 Δvx，Δy后的射程；xvx＿2為加入2倍Δvx后的射程；xvx＿y為同時加入Δvx和Δy后的射程。

計算步長的選擇影響偏導數計算的精度，是影響預測精度的關鍵因素。由式（2）可知，計算步長選擇必須滿足泰勒展開的精度要求，即要求擾動彈道的落點在目標點附近，且余項滿足一定的計算精度。

通常情況下，泰勒展開的階數越高其精度越高。然而，階數越高則用于預測的偏導數越多（二階泰勒展開需要30個偏導數，三階泰勒展開需要70個偏導數），增加了彈上機的計算負荷。當然，可忽略其中的次要部分［10］，但由于截斷誤差的存在，該型榴彈二階與三階的預測精度不一定會得到較大的提高。

2.2 裝定參數的確定

射前裝定參數包括偏導數和基準彈道。由于內存的限制，彈上機不可能裝定大量數據，但裝定的數據量（數據行數）與預測精度直接相關。裝定的基準彈道為離散點，應用中往往通過插值獲得兩點之間的數據。插值所得數據將與彈道曲線存在一定的偏差，造成預測結果的誤差。同理，偏導數也存在相應的誤差。為減小誤差，需要確定裝定數據行數與預測精度之間的關系，在減少裝定數據的同時滿足預測精度。

2.3 濾波方法

式中：，分別為變量當前時刻和上一時刻的估計值；DL＊ 為當前測量值，分別為當前

n時刻和上一時刻變量導數的估計值；ts為采樣時間間隔；βDL為增益因子；GDL，HDL分別為增益系數。

橫向預測落點偏差的濾波算法與縱向相同，僅增益因子的取值不同，不再贅述。

3 仿真分析

本文以安裝固定鴨舵式二維彈道修正引信的某型榴彈為研究對象，針對其攝動落點偏差預測進行研究。彈丸以897m／s的初速、45°射角進行發射，氣象條件采用標準氣象。為檢驗預測落點偏差精度，可將彈丸射角調整在45°的某一鄰域，此時仿真落點偏差為一恒定值。

3.1 偏導數計算的仿真

3.1.1 計算步長的選擇

基準彈道的函數表達式中，狀態變量包括彈丸的速度和位置2種信息，因而設置了速度步長和位移步長。為優選計算步長，設置速度步長分別為1m／s，2m／s，3m／s；位移步長為5m，10m；進行仿真，仿真結果如圖1所示。

試驗竹林為集約經營的連片毛竹林，在同一類型林分內選取立地條件、經營水平相近，坡度20°～35°的坡面設置20 m × 20 m的樣方18個作為調查樣地。樣地四周用繩索進行標識，四角用木柱標志并標樣地號，并對標準地的立柱和繩索進行保護，避免損壞。

圖1 不同步長的預測結果

圖2 不同階數偏導數的預測結果

圖1 中曲線為射角45.5°，偏導數選取20行，基準彈道選取75行條件下的縱向落點偏差預測結果（濾波前）。當位移步長為5m時，不同速度步長的預測結果偏差很小，約0.5m；若位移步長取10m，速度步長為2m／s，預測結果在22km后存在較大偏差。造成上述結果的原因是，位移步長較大，擾動彈道落點距目標點太遠，不滿足泰勒展開的精度要求。因而，選取速度步長2m／s，位移步長5m。

3.1.2 偏導數階數的選擇

圖2為不同階數偏導數的預測結果。

圖2中曲線為射角45.5°，速度步長和位移步長分別為2m／s和5m，偏導數選取20行，基準彈道選取75行條件下的縱向落點偏差預測結果（濾波前）。由圖可知，若偏導數取二階，預測落點偏差將收斂較慢，且存在較大幅度的振蕩，預測結果較差，故選取一階偏導數。

3.2 裝定參數的仿真

3.2.1 偏導數行數的選擇

表1為某一基準彈道的20行偏導數，表中每列數值在小范圍內大致呈線性變化，仿真結果表明，繼續增加偏導數行數并不會提高預測落點偏差精度，故選用20行偏導數。

表1 偏導數

3.2.2 基準彈道行數的選擇

圖3是彈丸飛行彈道為基準彈道時的預測落點偏差。圖中，縱向預測結果呈半正弦變化，其變化周期為基準彈道的采樣時間間隔，即每個基準彈道的離散點處預測偏差為0。基準彈道采樣時間間隔越大，預測結果的偏差越大。當基準彈道為60行時，在不濾波的情況下預測結果的偏差約為1m，；基準彈道為75行時，預測結果最好，不濾波情況下約為0.75m。若繼續增加基準彈道行數，預測結果精度不會再有明顯提升，同時，增加了彈上機內存的占用，故基準彈道選用75行。

圖3 落點偏差預測結果

3.3 濾波方法的仿真

圖4 為添加GPS測量誤差后落點偏差預測結果及濾波前后的比較。由圖4可知，添加GPS測量誤差后落點偏差預測結果出現了很大的毛刺，經濾波后毛刺得到了很大程度上的消除，取得了很好的濾波效果。

圖4 添加GPS誤差前后落點偏差預測結果

3.4 仿真精度及應用

3.4.1 落點偏差的預測精度

圖5為采用不同的射角時縱向落點偏差預測結果的比較。由圖5可知，若從10s起計算落點偏差，至約20s處預測結果收斂，即可滿足一定的預測精度。如圖5（a）所示，45°射角時添加GPS誤差前，預測結果與落點偏差一致，誤差僅約為1m；添加GPS誤差后，預測結果出現了較大的隨機誤差，但總體趨勢均值仍與添加GPS誤差前的預測結果一致；對添加GPS誤差后的結果進行濾波，濾波后預測結果的隨機誤差大大減小。如圖5（b）所示，47°射角時，添加GPS誤差前，預測結果與落點偏差有一定的誤差，約為10m；添加GPS誤差并濾波后，GPS誤差造成的預測誤差被大大消除，且其預測結果的均值為添加GPS誤差前的預測結果。雖然47°射角時預測結果存在一定的誤差，但其反映了落點偏差的實際狀態，隨著彈丸飛行過程中彈道修正的不斷進行，彈道將不斷接近基準彈道，預測精度也將不斷得到提高。

圖5 不同射角的縱向落點偏差預測結果

3.4.2 攝動落點預測的應用

圖6為47°射角時的有控彈道預測結果。有控彈道落點與目標點偏差為：縱向－4.8m，橫向－15.5m；預測結果為：縱向－4.68m，橫向－14.85m。預測結果與仿真落點縱向偏差為－0.12m，橫向偏差為－0.65m，實現了應用中的實時落點偏差預測，驗證了攝動落點偏差預測的有效性，檢驗了預測精度。

圖6 47°射角時有控彈道預測結果

4 結論

本文以多元函數的泰勒展開為數學基礎，提出了適用于彈道修正榴彈的攝動落點偏差預測方法，并給出了數值解法。針對采用GPS接收機作為彈道測量工具的某型二維彈道修正榴彈，詳細介紹了偏導數計算、裝定參數確定等過程，采用二階漸消記憶濾波器減小了GPS誤差對預測結果的影響。仿真結果表明，該方法可有效應用于該型榴彈的修正控制，并可推廣應用于其他彈道修正彈箭。

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