動理論在預測非阻塞性顆粒阻尼能量耗散中的應用

方江龍,王小鵬,陳天寧,張凱

(西安交通大學機械強度與振動國家重點實驗室,710049,西安)

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動理論在預測非阻塞性顆粒阻尼能量耗散中的應用

方江龍,王小鵬,陳天寧,張凱

(西安交通大學機械強度與振動國家重點實驗室,710049,西安)

為了準確分析顆粒阻尼(NOPD)的能量耗散機理,拓寬顆粒阻尼在工程中的應用范圍,根據分子動理論基本原理,建立非阻塞性顆粒阻尼能量耗散的定量模型。在振動流化床顆粒系統研究成果的基礎上,認為當阻尼器內部的顆粒充分流化時,顆粒之間的物質輸運和能量耗散由顆粒之間的碰撞主導;將阻尼器內部顆粒的運動與氣體分子的運動進行類比,建立非阻塞性顆粒阻尼的能量守恒方程;通過求解顆粒系統的廣義溫度,得到非阻塞性顆粒阻尼能量耗散功率的定量模型。研究結果表明,顆粒阻尼的能量耗散功率隨著顆粒直徑的增大、顆粒層數的增多、材料密度的增加以及振動強度的提高逐漸提高。與現有模型相比,提出的模型顆粒阻尼的能量耗散功率不依賴顆粒內部速度梯度,因而具有更大的實際應用范圍,也為更精確地描述非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散機理提供了一種新的思路。

非阻塞性顆粒阻尼;動理論;能量耗散功率

非阻塞性顆粒阻尼(NOPD)又稱粉體阻尼,是將金屬或者非金屬顆粒按一定的填充比填充到振動結構的空腔內,通過顆粒與顆粒之間以及顆粒與腔體壁之間的碰撞和摩擦耗能起到減振的作用。這一阻尼技術最早由文獻[1]提出,經過幾十年的發展,顆粒阻尼技術已被成功地應用于汽輪機葉片、捆鈔機、齒輪機組、加筋板等不同結構中,起到了良好的減振效果。與傳統的阻尼技術(如摩擦阻尼、黏彈性阻尼)相比,非阻塞性顆粒阻尼的特性基本不受外界環境的影響,因而在惡劣環境條件下仍具有良好的減振效果[2]。此外,非阻塞性顆粒阻尼具有減振頻帶寬、噪聲小、對原始結構改變較小等優點,因而得到了人們的廣泛關注。

對于NOPD,顆粒與顆粒之間以及顆粒與腔體之間的碰撞和摩擦是產生能量耗散的主要機理[3]。大量實驗結果表明,顆粒阻尼的減振效果由結構的振動強度、顆粒的填充比、顆粒的大小以及顆粒材料密度等因素決定[4-5]。由于顆粒阻尼的能量耗散機理十分復雜,因而目前對顆粒阻尼減振效果的研究仍以實驗分析和簡單模型為主,如何確定顆粒的能量耗散功率與振動強度及顆粒參數的定量關系成為研究非阻塞性阻尼的關鍵和難點問題。

為了得到非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散理論模型,常用的方法主要有離散元法、內蘊時間理論、兩相流動理論以及湍流理論等。其中,文獻[6]首次提出離散元法,經過不斷的發展,目前已被廣泛應用于采礦工程、巖土工程等。離散元法分析顆粒阻尼的減振機理時計算過程簡單,且在顆粒數目較少的情況下有較好的精度,但其計算結果嚴重依賴顆粒的參數如恢復系數、摩擦系數等的選取[7],而且當顆粒數目較大時,計算效率低。文獻[8]提出內蘊時間理論,用于描述耗散材料的黏塑性形變過程。文獻[9]以內蘊時間理論為基礎,結合NOPD的運動特性,首次得出了塑性應變與能量耗散之間的關系式。由于內蘊時間理論用于分析NOPD振動響應時需要做較多的簡化和假設,故導致分析結果與實驗結果存在較大的誤差。文獻[10]基于湍流的耗散統計模型,根據顆粒流類的流體性質,將顆粒的運動形態簡化為充分發展的簡單剪切流,得到了NOPD能量耗散率以及能譜密度的表達式。此外,吳成軍教授首次將兩相流理論用于建立非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散[11],在充分發展的簡單剪切流假設的基礎上,得到了非阻塞性顆粒阻尼的等效阻尼系數,并成功預測了非阻塞阻尼懸臂梁結構的振動響應。湍流模型和兩相流模型都將阻尼器內部顆粒的運動簡化為簡單剪切流,這與實際顆粒的運動狀態有一定的差異。此外,兩個模型所提出的等效阻尼系數和能量耗散率都包含速度梯度項,而顆粒內部的速度梯度一般很難直接獲取,因而極大地限制了兩個模型的實際應用。

本文在使用動理論對振動激勵下的流化床進行研究的基礎上[12],嘗試將動理論的研究成果用于預測顆粒阻尼的能量耗散功率,得到了顆粒阻尼能量耗散功率與阻尼器相關參數如顆粒直徑、顆粒密度、外界激勵強度等的定量關系,并將得到的理論模型與現有的研究成果和實驗現象進行對比驗證,為建立非阻塞性顆粒阻尼能量耗散模型提供了一種新的思路。

1 動理論基本原理

對一個垂直激勵的顆粒系統,隨著顆粒層數的減少和激勵強度的增加,顆粒的輸運和能量的傳遞主要由顆粒之間的碰撞產生[13],文獻[14]將碰撞主導的顆粒流系統與氣體分子之間的碰撞進行類比。動理論表明,氣體分子之間的碰撞可以描述為速度服從麥克斯韋分布的彈性顆粒在近似真空空間的自由運動。因而,如果將非阻塞性顆粒阻尼內部顆粒的運動狀態與氣體分子的運動進行類比,需滿足以下基本條件[15]:顆粒之間的碰撞是顆粒輸運和能量傳遞的主要機理;顆粒單次碰撞產生的能量損失與顆粒的動能相比較小;由摩擦產生的能量耗散與非彈性碰撞產生的能量損失相比較小。文獻[15]表明,對于非阻塞性顆粒阻尼,當振動加速度較大時能量耗散主要由顆粒之間的非彈性碰撞產生。對于材料恢復系數接近1的顆粒,由單次碰撞產生的能量與顆粒動能相比自然較小。從而,將動理論用于預測非阻塞性顆粒阻尼能量耗散時應滿足以下前提條件:顆粒的填充率較小;振動激勵的加速度值較大;顆粒材料的恢復系數接近1。

1.1 顆粒系統的輸運方程

對于一個充分流化振動的顆粒系統,類比氣體分子動理論,定義顆粒的物理量,如顆粒的動量或者動能的統計平均值為[16]

(1)

式中:n為顆粒的粒子數密度,即單位體積內顆粒的個數;v為顆粒速度;f(1)(r,v,t)為顆粒的速度分布函數。對于單位體積dr內顆粒的物理量ψ的平均〈nψdr〉主要受到3個方面的影響:顆粒速度隨時間的變化;顆粒在微元內的流入流出;微元內部顆粒的碰撞。借助流體力學輸運方程的概念,可以建立顆粒系統的輸入方程[16]如下所示

(2)

式中:Ai為外界作用力引起的ψ的變化;Af表示顆粒流入流出微元引起的ψ的變化;Ac表示微元內部顆?；ハ嗯鲎惨鸬摩椎淖兓i、Af、Ac的表達式如下所示[16]

(3)

圖1 顆粒二碰撞示意圖

因而,Ac可以表示為如下形式[15]

Ac=-·θ+χ

(4)

(v12·k)f2(r-dk,v1;r,v2;t)dkdv1dv2

(5)

進而顆粒的輸運方程可以表示為如下形式

(6)

f2(r-dk,v1;v2;t)dkdv1dv2

(7)

1.2 速度分布函數

當顆粒系統內部的顆粒充分流化后,顆粒之間的能量耗散以及質量輸運由顆粒之間的碰撞主導時,認為顆粒的速度分布服從麥克斯韋分布[17],滿足如下形式

(8)

(9)

其中

式中:?p為顆粒的填充率。

對于簡單剪切流,如庫特流以及顆粒在斜坡上向下流動時,顆粒單位體積的能量耗散功率可表示為[17]

(10)

2 非阻塞性顆粒阻尼的功率耗散模型

對于填充率不高的顆粒阻尼器,當受到的振動激勵加速度較大時,顆粒進入類氣態,能量耗散主要由顆粒之間的碰撞產生。在將分子動理論應用于剪切顆粒流和振動顆粒流研究的基礎上,嘗試使用分子動理論建立非阻塞性顆粒阻尼在進入類氣態后的功率耗散模型。文獻[12]指出,垂直激勵下流化的顆粒速度分布滿足麥克斯韋-玻爾茲曼分布,滿足如下關系式

(11)

依據分子動理論的基本原理,只需要確定廣義溫度Tc,即可確定由顆粒碰撞產生的功率耗散。當碰撞為主要的能量耗散機理時,就可近似認為碰撞產生的能量耗散功率即為非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率。

2.1 非阻塞性顆粒阻尼的能量流

當給非阻塞性顆粒阻尼施加一個振動激勵時,由腔壁施加給內部顆粒的能量等于顆粒之間的耗散以及顆粒與腔壁之間的耗散[12],即滿足如下關系式

Pb=Dpp+Dpw

(12)

式中:Pb為腔壁對顆粒的輸入功率;Dpp為顆粒之間的耗散功率;Dpw為顆粒與腔體之間的耗散功率。

對于二維非阻塞性顆粒阻尼,當顆粒的速度分布滿足式(11),不計顆粒摩擦時由碰撞產生的能量耗散滿足如下關系[13]

Dpp=(π/2)1/2(1-e2)NmgH(Tc/m)1/2

(13)

式中:N為單位長度上顆粒的數目;g為重力加速度;H為顆粒的層數。當顆粒為非光滑顆粒時,考慮到顆粒的旋轉引起的顆粒之間的能量交換,單次碰撞產生的能量耗散滿足以下關系[18]

(14)

(15)

所以考慮顆粒的旋轉動能后,單位長度上顆粒碰撞產生的能量耗散功率可以表示為

(16)

顆粒與腔壁側面碰撞產生的能量損失為

(17)

式中:L為顆粒阻尼器的長度;Ex/E為顆粒在x方向的動能與顆?？倓幽艿谋戎?一般為小于0.2的常數;h、h0分別為顆粒在穩態和靜止狀態下顆粒等效中心的位置。

由以上分析可以得出,當非阻塞性顆粒阻尼的主要能量耗散機理為顆粒之間以及顆粒與腔壁之間的碰撞產生的能量損失時,單位長度上的能量耗散功率可以表示為

(18)

2.2 非阻塞性顆粒阻尼廣義溫度的確定

為確定顆粒阻尼的能量耗散功率,需要對其廣義溫度進行計算。根據2.1節對非阻塞性顆粒阻尼能量流的分析,非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率等于阻尼器腔壁對顆粒阻尼輸入的功率。

定義腔壁底面的振動速度為U,P(U)為表面速度的概率密度函數,則P(U)dU為壁面速度位于U～dU的概率。腔體表面向顆粒傳遞的功率可以表示為[19]

(19)

當腔體的振動為簡諧激勵時,經計算可得

(20)

式中:Umax=Aω為簡諧振動激勵的振動速度幅值。聯立式(16)、式(17)、式(20),可得

(21)

進而得到廣義溫度

(22)

3 非阻塞顆粒阻尼的能量耗散功率及參數分析

得到非阻塞性顆粒阻尼的廣義溫度后,將式(22)代入式(18),可以得出單位長度上非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率的表達式為

(23)

為了研究耗散功率隨顆粒參數的變化,做出以下近似處理:對于非阻塞性顆粒阻尼,當腔體的尺寸確定,以及腔體內顆粒運動充分發展時,可以近似認為L、μ以及Ex/E均為常數,因而可以認為顆粒阻尼的能量耗散功率僅與顆粒材料的恢復系數e、顆粒直徑dp、顆粒的層數H、顆粒的密度ρ,以及腔體的振動速度幅值Aω相關。

(24)

得到顆粒阻尼的能量耗散規律如圖2～圖5所示,其中圖2參數e=0.92,ρ=7 800 kg/m3,A=0.002 m,ω=2π·100 rad/s;圖3參數e=0.92,ρ=7 800 kg/m3,A=0.002 m,ω=2π·100 rad/s;圖4參數e=0.92,H=15,A=0.002 m,ω=2π·100 rad/s;圖5參數e=0.92,H=15,A=0.002 m,ρ=7 800 kg/m3。

圖2 不同顆粒層數時能量耗散功率隨顆粒直徑的變化

圖3顯示,隨著顆粒層數的增加,非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率逐漸增大。當非阻塞性顆粒阻尼器的空腔一定時,隨著顆粒層數的增加,顆粒的填充率增大。因而,由以上模型可以得出,在一定范圍內隨著顆粒填充率的增加,非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率逐漸增大,與文獻[10]中的結論一致。

圖3 不同顆粒直徑時能量耗散功率隨顆粒層數的變化

圖4顯示,由于耗散功率與ρ3/4成正比,因而隨著顆粒密度的增加,非阻塞性顆粒阻尼的能量耗散功率逐漸增大。這一結論解釋了使用非阻塞性顆粒阻尼時選取密度較大的材料具有更好的減振效果這一實驗現象。

圖4 不同顆粒直徑時能量耗散功率隨顆粒密度的變化

圖5表明,隨著振動速度的增加,顆粒阻尼的能量耗散功率逐漸增大。這是由于隨著振動速度的增加,顆粒的廣義溫度升高,顆粒的運動更加劇烈,進而導致顆粒之間的碰撞次數和單次碰撞產生的能量損失增加。這一結論與結構振動強度較大時,非阻塞性顆粒阻尼有更好的減振效果這一實驗現象一致。

圖5 不同顆粒直徑時顆粒耗散功率隨振動速度的變化

4 結 論

本文使用動理論來描述非阻塞性顆粒阻尼內部顆粒的運動狀態,建立了非阻塞顆粒阻尼能量耗散功率的定量模型,得到了顆粒阻尼的能量耗散功率與顆粒參數以及振動強度的定量關系。分析結果表明,非阻塞顆粒阻尼的能量耗散功率隨著顆粒直徑的增大、顆粒層數的增加、顆粒密度的提高以及外界振動強度的增強而逐漸提高。這一結論與前人的實驗和仿真結果有良好的一致性。

與現有模型相比,本文所提出的基于動理論的顆粒阻尼的能量耗散模型,能量耗散功率的大小取決于外界振動的強度而不是顆粒的速度梯度,從而具有更大的實用性。此外,由于本文所建立的模型能夠確定外界振動強度及顆粒阻尼參數與能量耗散功率的定量關系,因而使得優化顆粒阻尼參數以實現在最少的顆粒下取得最好的減振效果成為可能。本文的研究結果對進一步研究顆粒阻尼的能量耗散機理以及顆粒阻尼的實際應用有一定的指導意義。

[1]PANOSSIAN H.Non-obstructive impact damping applications for cryogenic environments [C]∥Proceedings of Damping’89.West Palm Beach, Florida, USA:NTIS, 1989:1-9.

[2]BAI X M, SHAH B, KEER L M, et al.Particle dynamics simulations of a piston-based particle damper [J].Powder Technology, 2009, 189(1):115-125.

[3]BAI X M, KEER L M, WANG Q J, et al.Investigation of particle damping mechanism via particle dynamics simulations [J].Granular Matter, 2009, 11(6):417-429.

[4]PANOSSIAN H V.Structural damping enhancement via non-obstructive particle damping technique [J].Journal of Vibration and Acoustics, 1992, 114(1):101-105.

[5]PANOSSIAN H V, EHRGOTT R.Non-obstructive particle damping (NOPD) treatment optimization for composite honeycomb panels [C]∥Proceedings of the 48th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference.New York, USA:ASME, 2007:2047-2057.

[6]CUNDALL P A.A computer model for simulating progressive large scale movements in blocky rock systems [C]∥Proc Symp Rock Fracture (ISRM).Wroclaw, Poland:ISRM, 2013:1-8.

[7]張超, 陳天寧, 王小鵬, 等.顆粒阻尼線性離散元模型參數的選取方法 [J].西安交通大學學報, 2014, 48(3):96-101.ZHANG Chao, CHEN Tianning, WANG Xiaopeng, et al.Parameter selection method for linear discrete element modal of particle damper [J].Journal of Xi’an Jiaotong University, 2014, 48(3):96-101.

[8]VALANIS K C, FAN J.A numerical algorithm for endochronic plasticity and comparison with experiment [J].Computers & Structures, 1984, 19 (5):717-724.

[9]王煒, 黃協清, 陳天寧.基于內蘊時間理論極值特性的 NOPD 結構的響應仿真 [J].系統仿真學報, 2003, 15(6):849-851.WANG Wei, HUANG Xieqing, CHEN Tianning.Response simulation of non-obstructive particle damping structure based on extremal properties of endochronic theory [J].Journal of System Simulation, 2003, 15(6):849-851.

[10]崔致遠, 吳九匯, 陳花玲, 等.基于統計方法的 NOPD 耗能機理定量分析 [J].振動與沖擊, 2012, 31(9):135-139.CUI Zhiyuan, WU Jiuhui, CHEN Hualing, et al.Quantitative analysis on energy dissipation mechanism of non-obstructive particle damping technology [J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(9):135-139.

[11]WU C J, LIAO W H, WANG M Y.Modeling of granular particle damping using multiphase flow theory of gas-particle [J].Journal of Vibration and Acoustics, 2004, 126(2):196-201.

[12]MCNAMARA S, LUDING S.Energy flows in vibrated granular media [J].Physical Review:E, 1998, 58(1):813-823.

[13]KUNAMARA V.Kinetic theory for a vibro-fluidized bed [J].Journal of Fluid Mechanics, 1998, 364:163-185.

[14]CULICK F E C.Boltzmann equation applied to a problem of two-phase flow [J].Physics of Fluids (1958-1988), 1964, 7(12):1898-1904.

[15]CHEPURNIY N.Kinetic theories for granular flow:inelastic particles in Couette flow and slightly inelastic particles in a general flow field [J].Journal of Fluid Mechanics, 1984, 140(222/223):223-256.

[16]SAVAGE S B, SAYED M.Stresses developed by dry cohesionless granular materials sheared in an annular shear cell [J].Journal of Fluid Mechanics, 1984, 142:391-430.

[17]JENKINS J T, SAVAGE S B.A theory for the rapid flow of identical, smooth, nearly elastic, spherical particles [J].Journal of Fluid Mechanics, 1983, 130:187-202.

[18]MCNAMARA S, LUDING S.Energy nonequipartition in systems of inelastic, rough spheres [J].Physical Review:E, 1998, 58(2):2247-2251.

[19]MCNAMARA S, BARRAT J L.Energy flux into a fluidized granular medium at a vibrating wall [J].Physical Review:E, 1997, 55(6):7767-7771.

(編輯 杜秀杰)

Application of Kinetic Theory to Quantitative Analysis Model of Non-Obstructive Particle Damping

FANG Jianglong,WANG Xiaopeng,CHEN Tianning,ZHANG Kai

(State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To investigate energy dissipation mechanism of non-obstructive particle damping (NOPD) accurately, the kinetic theory is employed to establish a quantitative analysis model.When the particles of NOPD are uniformly fluidized, the mass transport and energy exchange are dominated by the collisions among the particles.Solving the energy conservation equation of the NOPD, the temperature and the energy dissipation power of NOPD are obtained.The theoretical results show that NOPD energy dissipation power rises with the increasing particle diameter, layer number, material density and vibration amplitude.Compared with the previous analysis models of NOPD, the proposed model does not depend on the velocity gradient of particles, which widens the practical applications, and provides a new way to revealing energy dissipation mechanism of NOPD.

non-obstructive particle damping; kinetic theory; energy dissipation power

2014-08-18。 作者簡介:方江龍(1990—),男,碩士生;王小鵬(通信作者),男,副教授。 基金項目:長江學者和創新團隊發展計劃資助項目(IRT1172)。

時間:2014-10-31

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141031.1642.014.html

10.7652/xjtuxb201504003

TH703.62

A

0253-987X(2015)04-0012-06