基于矩陣博弈的兩機攻防對抗空戰仿真

車競，錢煒祺，和爭春

(中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力學研究所，四川 綿陽621000)

0 引言

空戰決策是指在空戰過程中作戰雙方如何根據作戰態勢以及作戰環境選擇戰勝對方和保存自己的攻防策略選擇方法，其中比較有影響力的方法包括:微分對策法、專家系統法、矩陣博弈法、智能微分對策法及神經網絡法等［1］。

矩陣博弈法是空戰對策研究中提出較早、技術最成熟的方法之一，實質是微分對策的離散化。其基本思路是:首先列舉空戰對抗中雙方可采取的典型機動飛行方式，然后把各種機動方式組合成不同的對抗模式，得到對抗模式矩陣(支付矩陣)，最后根據希望達到的戰術目的，對矩陣中每一種對抗模式計算相應的支付函數值進行量化打分。根據計算出的各模式組合的得分總數，選出得分最高者作為飛行軌跡［2］。

空戰對抗中的傳統矩陣博弈方法是尋找鞍點的過程，即紅藍雙方分別利用最小-最大策略選擇支付矩陣中的支付函數值，得到各自的飛行模式。當支付矩陣可分時，鞍點存在，此時雙方的支付函數值相同，且均能獲得最保守的最大利益［3］。但由于該方法不考慮空戰雙方的機動策略，而且鞍點也往往不存在，因此應用上有一定局限性。本文對傳統的矩陣博弈進行了擴展，將飛機的機動分為攻擊和逃避兩大策略，根據策略不同選擇不同的支付函數計算公式;其次是摒棄了鞍點概念，紅藍雙方各自建立自己的支付矩陣，并各自根據最小-最大策略選擇支付矩陣中的支付函數值，得到各自的飛行模式;最后通過示例進行了仿真驗證。

1 矩陣博弈問題描述

矩陣博弈建立在支付矩陣的基礎上，而支付矩陣則是在雙方完成某一特定機動動作后由支付函數計算得到，因此必須為雙方建立合適的機動動作庫。

1.1 支付矩陣

文獻［3］提出較為常用的7種空戰機動方式:(1)定常平飛;(2)最大加速平飛;(3)最大減速平飛;(4)最大負載爬升;(5)最大負載下降;(6)最大載荷右轉;(7)最大載荷左轉。文獻［4-6］分別提出16，25，22種機動動作，例如:(1)直線飛行;(2)定常盤旋;(3)前置跟蹤;(4)俯沖增速;(5)斜拉起;(6)急拉起;(7)純跟蹤;(8)半斤斗;(9)躍升半滾;(10)高過載上滾;(11)高過載下滾;(12)規避轉彎;(13)急規避;(14)增速轉彎;(15)蛇形機動;(16)筒滾;(17)急盤降;(18)大坡度外轉;(19)回轉;(20)急上升轉彎;(21)下降急轉;(22)下滑倒轉;(23)半滾倒轉;(24)高速 Yo-Yo;(25)低速 Yo-Yo等。

本文以7種空戰機動方式為例，空戰雙方會形成49種對抗模式，從而可建立雙方各自立場上的支付矩陣。紅方的支付矩陣如表1所示。

表1 紅方支付矩陣Table 1 Score matrix of red plane

表中，fij(t)表示藍方和紅方分別采用i和j機動策略對抗結局的評分，分值越大，代表紅方優勢越大。傳統矩陣博弈中，紅方總是選擇分數最大的機動方式，而藍方正相反，選擇的結果是達到了博弈論中的平衡點，即“鞍點”。本文則針對紅方和藍方分別建立各自的支付矩陣，并根據最小-最大原則各自選擇分數最大的機動方式。

1.2 支付函數

支付矩陣中，分數值由支付函數計算。支付函數實際上是對完成相應機動動作后雙方態勢、攻擊優勢的估計，通常是相對方位、相對距離、速度和地形等自變量的函數。例如，文獻［7］中給出的一種形式為:

式中:s為總得分數;s1為與相對方位角有關的分數;s2為與相對距離有關的分數;s3為加速度的得分數。

(1)方位貢獻

圖1為紅藍雙方相對位置關系。站在紅方立場，由圖1可知，當紅方(R)進攻時，其方位角貢獻為:

當紅方逃避時，其方位角貢獻為:

藍方(B)的方位角貢獻計算方法與紅方相同。(2)距離貢獻

當紅方攻擊時，希望雙方距離越來越近。此時，距離貢獻為:

當紅方逃避時，希望雙方的距離越來越遠。此時，距離貢獻為:

式中:r為雙方距離;rm為攻擊方導彈射程。藍方的距離貢獻計算方法與紅方相同。

(3)總的貢獻

當優先改變距離因素時，s=s2;當優先改變方向因素時，s=s1;當同時考慮距離改變和方向改變時，s=s1s2。

圖1 紅藍雙方相對位置關系Fig.1 Relative position of red and blue planes

2 機動動作庫設計

考慮7種基本機動動作組成動作庫，分別是:

(1)定直對稱平飛:在水平面內勻速飛行，傾側角γv=0°，保持高度穩定，推力由阻力平衡確定。

(2)最大加速平飛:水平面內最大加速飛行，γv=0°，保持高度穩定，推力開到“加力”狀態。

(3)最大減速平飛:水平面內最大減速飛行，γv=0°，保持高度穩定，推力開到“怠速”狀態。

(4)最大過載爬升:分為三個階段，首先以最大法向過載拉起，γv=0°，推力開到“加力”狀態，直到傾角達到指定傾角;然后保持該傾角加速爬升，直到爬升高度達到指定高度;最后改出成水平定直飛行狀態(1)。

(5)最大過載俯沖:分為三個階段，首先以最大過載下壓，飛機翻轉γv=180°，推力開到“加力”狀態，直到傾角達到指定傾角;然后飛機翻轉γv=0°，維持當前傾角俯沖，直至俯沖高度達到設定值;最后改出成水平定直飛行狀態(1)。

(6)最大過載右轉:分為兩個階段，首先在保持高度的情況下以最大法向過載、最大傾側角右轉，推力開到“加力”狀態，直至達到指定速度偏角;然后γv=0°，改出成水平定直對稱飛行狀態(1)。

(7)最大過載左轉:分為兩個階段，首先在保持高度的情況下以最大法向過載、最大傾側角左轉，推力開到“加力”狀態，直至達到指定速度偏角;然后γv=0°，改出成水平定直對稱飛行狀態(1)。

3 仿真示例

以兩架F-16戰斗機掛載空空導彈為例進行空戰仿真驗證。設置藍方在重量、推力以及機動性方面稍弱于紅方。假設:當一方進入對方的雷達掃描范圍和距離時便被發現;當一方同時也進入對方導彈的發射角范圍和射程時，定義為被鎖定，此時仿真結束。

3.1 兩機對抗仿真示例1

設置紅方初始位置坐標為(0，11，0)km，初始速度為 235.8 m/s，初始航跡傾角和偏角為(0°，0°)，質量為7 000 kg，發動機加力系數為1.62。藍方初始位置坐標為(20，13，3)km，初始速度為235.8 m/s，初 始航跡傾角和偏角為(0°，－15°)，質量為9 000 kg，發動機加力系數為1.42。

設置雙方機動原則為:未被對方發現時采取“攻擊”原則，被對方發現時采取“逃避”原則;當雙方互相發現時，由于紅方參數占優，故紅方依然“攻擊”，藍方“逃避”。

紅方支付函數采取同時考慮方向和距離改變的方式，藍方“逃避”時采取“優先改變方向”模式。設置仿真時長為500 s，每個機動動作為20 s，仿真積分步長0.2 s。

雙方飛行過程中的機動動作如表2所示，空戰航跡如圖2和圖3所示。

表2 紅藍雙方追逃仿真示例1的機動動作與狀態Table 2 Tactical actions and stations in the first simulation for red and blue planes

圖2 仿真示例1的x-z航跡Fig.2 x-z flight path of the first simulation

圖3 仿真示例1的t-y航跡Fig.3 t-y flight path of the first simulation

由仿真過程可以看出:在初始條件下，紅方處于有利地位首先發現并攻擊藍方，但藍方通過快速改變方向迅速擺脫了紅方，并且逐漸地取得有利地位，期間雙方數次發現并攻擊對方。由于藍方“逃避”時采用“優先改變方向”的策略，因此最終取得制勝位置，鎖定了紅方。

3.2 兩機對抗仿真示例2

將紅方“逃避”時的策略設置為“優先改變方向”，其余設置與示例1相同。雙方空戰航跡如圖4和圖5所示，飛行過程中的機動動作如表3所示。

圖4 仿真示例2的x-z航跡Fig.4 x-z flight path of the second simulation

圖5 仿真示例2的t-y航跡Fig.5 t-y flight path of the second simulation

表3 紅藍雙方追逃仿真示例2的機動動作與狀態Table 3 Tactical actions and stations in the second simulation for red and blue planes

從仿真過程可以看出:由于紅方在“逃避”時采取“優先改變方向”策略，因此在仿真181.8 s被藍方發現時紅方采用第一種機動動作而不是示例1中的第二種機動動作，從而在飛行323.2 s時提前鎖定藍方，獲得制勝位置。

4 結束語

本文建立了基于7種機動動作庫的矩陣博弈空戰仿真模型。在該模型中，改變了傳統矩陣博弈雙方基于同一支付矩陣求鞍點的模式，分別建立對策雙方各自的支付矩陣，根據各自“攻擊”還是“逃避”策略選擇支付函數的形式，并采用最小-最大原則選擇機動動作，完成了兩例戰機的空戰數值仿真驗證。仿真結果表明，當戰機處于劣勢時，大機動改變兩機相對方位角關系是盡快獲得有利位置的重要手段。

［1］ 于梅祥，李一波.無人戰斗機空戰對策研究綜述［J］.沈陽航空工業學院學報，2009，26(1):23-25.

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［3］ Fred Austin，Giro Carbone，Michael Falco，et al.Automated maneuvering for air-to-air combat［R］.AIAA-87-2393，1987.

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［6］ 梁學政.雙機空戰的仿真與分析［J］.火力與指揮控制，1994，19(4):8-15.

［7］ 吳云潔，宋立國，姜玉憲.飛行綜合控制系統空戰決策方法［J］.北京航空航天大學學報，1999，25(3):272-274.