例談高中生立體幾何解題能力的培養(yǎng)

王其文

高中立體幾何的難度和復(fù)雜性較中學(xué)平面幾何相比有較大提高，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力和空間想象力提出較高的要求。在新課改背景下，教師必須結(jié)合高中立體幾何的教學(xué)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生從多角度看待例題幾何問(wèn)題，幫助學(xué)生找到解題突破口。教師必須不斷完善自身的教學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)空間點(diǎn)線面、三視圖以及空間位置關(guān)系的判定的理解。

一、幾何概念教學(xué)

概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)踐應(yīng)用的前提。立體幾何涉及大量的幾何概念知識(shí)、性質(zhì)、定理等。概念教學(xué)切忌死記硬背，教師必須從理解的角度出發(fā)，結(jié)合圖形、文字、符號(hào)進(jìn)行真題訓(xùn)練教學(xué)。尤其是在空間關(guān)系、空間角、空間幾何體的概念教學(xué)中，通過(guò)采用幾何真題進(jìn)行概念訓(xùn)練可以有效強(qiáng)化學(xué)生對(duì)幾何概念的理解。

【例1】設(shè)直線m與平面a相交但不垂直，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.在平面a內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直

B.過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面a垂直

C.與直線m垂直的直線不可能與平面a平行

D.與直線m平行的平面不可能與平面a垂直

【分析】本題考查的是學(xué)生對(duì)立體幾何中空間直線與平面的位置關(guān)系問(wèn)題。對(duì)于A，過(guò)直線與平面的交點(diǎn)，我們必然可以找到一條直線與直線m垂直。于是，平面a中任一平行于該直線的線都與直線m垂直，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤。對(duì)于B，在直線m上取一點(diǎn)作平面a的垂線，這兩條直線確定的平面即與平面a垂直，則B正確。由A選項(xiàng)中的推論可知，必然存在直線與平面a空間平行，則C錯(cuò)誤。對(duì)于D，我們?nèi)羰菍中構(gòu)建的平面進(jìn)行前后平移，構(gòu)造出與直線m平行的平面，且該平面必然與a垂直，則D錯(cuò)誤。

從長(zhǎng)期的實(shí)踐教學(xué)出發(fā)，我認(rèn)為通過(guò)綜合性概念題的訓(xùn)練，可以有效地幫助學(xué)生理解立體幾何的概念，這也是進(jìn)行立體幾何證明與推斷的敲門(mén)磚。

二、灌輸解題方法

古語(yǔ)云，授之以魚(yú)不如授之以漁。只有學(xué)生掌握了立體幾何的解題方法，他們?cè)谝院罂臻g的證明與判斷上才會(huì)更加得心應(yīng)手。我認(rèn)為，向量與立體幾何有著密不可分的聯(lián)系，向量是解決立體幾何問(wèn)題的有效手段之一。

【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)。

（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB。

【分析】拿到本題后，學(xué)生們首先嘗試運(yùn)用立體幾何的線位關(guān)系進(jìn)行證明，幾經(jīng)嘗試后無(wú)果。此時(shí)，我們必須利用向量的知識(shí)，將幾何證明轉(zhuǎn)換成向量計(jì)算，這是高中幾何常見(jiàn)的求解方法之一。首先，我們以線段DA、DC、DP所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)AD=a。于是我們可以得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、G（0，a，0）、E（a， ，0）、F（ ， ，

）。然后，要證明EF⊥CD，即相當(dāng)于證明 =0。于是，利用向量乘法原理，我們可得（- ，0， ）·（0，a，0）=0，即可證得EF⊥CD。對(duì)于第二問(wèn)，我們不妨設(shè)出點(diǎn)G（x，0，z）。于是可得 =（x- ，- ，z- ）。由題中所給條件可知，要使直線GF⊥平面PCB，只需要有 =0 、 =0。即是（x- ，- ，z- ）·（a，0，0）=a（x- ）=0，解得x= 。再由（x- ，- ，z- ）·（0，-a，a）= +a（z- ）=0，解得z=0。綜上，我們可以得到G點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，0，0），G點(diǎn)就是AD中點(diǎn)。

三、非常規(guī)思維教學(xué)

在高考中，立體幾何題常常會(huì)作為試卷壓軸題出現(xiàn)。對(duì)此，我們有必要針對(duì)立體幾何解題中的非常規(guī)思維展開(kāi)教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)闊思維、勇于創(chuàng)新，為高考解題節(jié)省寶貴的時(shí)間。尤其是在立體幾何角度、距離、面積的計(jì)算中非常規(guī)思維常常會(huì)對(duì)解題起到意想不到的效果。

【例3】在四面體ABCD中，設(shè)AB=1，CD= ，直線CD與AB的距離為2，夾角為 ，則四面體ABCD的體積為多少？

【分析】對(duì)于本題，若是直接求解四面體的體積固然難以實(shí)現(xiàn)，因此，我們需要利用非常規(guī)思維進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

作線段BE與CD平行且相等，再連接DE、AE。此時(shí)，我們將四面體轉(zhuǎn)換成四棱錐A-BCDE，也可以看成兩個(gè)三棱錐A-BCD和A-BDE。由于底面BCDE 為平行四邊形，則三棱錐A-BCD和A-BDE的底面積與高相等，則他們對(duì)應(yīng)的體積也必然相等。于是我們可以得到：VA-BCD=VA-BDE=VD-ABE= S△BDE·h = AB·BE·sinABE·h= 。在本題中，我們采用的補(bǔ)全法，將四面體轉(zhuǎn)換成四棱錐。在高中立體幾何解題中，教師必須注意對(duì)這些特殊思維方法的教學(xué)，從而不斷提高學(xué)生的發(fā)散性思維能力。

總之，概念、方法、思維是解決立體幾何的三大利器。從長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐角度看，我們既要加強(qiáng)概念的教學(xué)，更要強(qiáng)化學(xué)生開(kāi)放性思維的教學(xué)，只有實(shí)現(xiàn)了教、學(xué)、練的有機(jī)結(jié)合，高中立體幾何教學(xué)才會(huì)不斷取得進(jìn)步。

（作者單位：江蘇省射陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）endprint