關于無平方因子數的分布

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關于無平方因子數的分布

劉華寧，董慧

(西北大學 數學學院，陜西 西安710127)

摘要：一個正整數n，如果不能被除1之外的任何完全平方數整除，就稱為無平方因子數。文中利用平方篩法研究了無平方因子數的分布，并給出一個較強的漸近公式。

關鍵詞：無平方因子數；平方篩法；指數和；漸近公式

收稿日期：2014-12-15

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11201370)；陜西省自然科學基金資助項目(2013JM1017,2014JM1007,2014KJXX-61)；陜西省教育廳專項科研基金資助項目(2013JK0558,2013JK0560)

作者簡介：劉華寧，男，湖南永州人，西北大學教授，博士生導師，從事數論研究。

中圖分類號：O156.4

On the distribution of square-free numbers

LIU Hua-ning, DONG Hui

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

Abstract:A positive integer n is called square-free number if it is not divisible by a perfect square except 1. In this paper the distribution of square-free numbers is studied by using square sieve, deriving an asymptotic formula.

Key words: square-free number; square sieve; exponential sum; asymptotic formula

一個正整數n，如果不能被除1之外的任何完全平方數整除，就稱為無平方因子數。設E(n)為無平方因子數的特征函數，即

由文獻[1]可知

L.Mirsky文獻[2]研究了有限差的無平方因子數對出現的頻率，并證明了下面結論：

D.R.Heath-Brown文獻[3]研究了不超過x的連續的無平方因子數，并得到漸近公式：

本文利用平方篩法與指數和進一步研究無平方因子數的分布，改進了L.Mirsky的結論，并給出一個較強的漸近公式。

其中O是絕對常數。

1定理1的證明——第一步

令E(n)為無平方因子數的特征函數，μ(n)為M?bius函數。不難得到

從而有

(1)

注意到

所以

其中d(n)為除數函數。

由Euler乘積可得

又由除數函數的性質有

因此

O(ylogx)。

(2)

另一方面，不難證明

記J=2a,K=2b，以及

(3)

聯立式(2)～(3)可得

(4)

接下來估計N。不妨假設J≥K，另外一種情形同理可證。不難得到

記

則

(5)

P {p:p是素數，p?u,Q

其中Q滿足(logx)2≤Q≤x。由于P～Q(logQ)-1，易知當|n|≥eP≥x2及n=0時，有w(n)=0。下面利用Heath-Brown的平方篩法。

由引理1可得

(6)

注意到

從而有

(7)

令∈>0。由文獻[5]可知

對于q≤x1-∈以及(a,q)=1都成立。而對于(a,q)>1，不難證明

K-1x(logx)3。

(8)

(9)

聯立式(5)～(9)可得

(10)

接下來將在第2節中證明一些關于指數和的結論，并在第3節中繼續證明定理1。

2指數和的估計

本節研究一些指數和的估計。

定義1設a∈Z,m∈N ，滿足(a,m)=1。令im(a)表示滿足0≤b≤m-1且ab≡1(modm)的整數b。

引理2設p是一個素數，Q/R為Fp上的有理函數，且不恒為常數。令s為多項式R在Fp上的不同根的個數。設ψ是Fp上的非凡加法特征，則有

證 明參見文獻[4]中的引理13。

引理3設p>2是一個素數，α≥1是一個整數。對于整數h,c及d，定義

則有

當α=1時，進一步有

證 明記(h，pα)=pβ。則

假設α=1且p|h。則有

(11)

假設α=1且p?h。那么

不難證明

當p|c且p?d時，有

(12)

如果p?c，p?d，由引理2可得

(13)

因此

(14)

聯立式(11)和式(14)可得

引理4設p>2是一個素數，h,c,d為整數。定義

則有

證 明不難得到

以及

當1≤a≤p-1時，用b+ip(a)2h代換b可得

假設p|h，有

從而

(15)

假設p?h。由引理2，3和4可得

因此

(16)

由式(15)和式(16)可得

3定理1的證明——繼續

不難證明

(17)

由三角恒等式可得

|S(u,pq;γ,δ)|=S1+S2+S3+S4，

(18)

其中

(19)

(20)

這里‖x‖表示從x到最近的整數之間的距離。

(21)

由式(20)～(21)，引理3及引理4可得

(22)

其中u1是所有滿足p2‖u的素因子p2的乘積，ω(u1)表示u1的不同素因子的個數。同理可得

(23)

以及

(24)

(25)

則由式(17)，(18)，(22)～(25)可得

(26)

不難得到

(27)

此外還有

(28)

以及

(29)

聯立式(26)～(29)可得

Q2(logx)6。

(30)

(31)

聯立式(4)和式(31)，可得

取

有

(32)

4定理1的證明——最后一步

由N的定義可得

(33)

聯立式(4)和式(33)，并取定

可得

(34)

此外由文獻[1]的第4部分可知

(35)

由此由式(32)，(34)及式(35)可得

這就完成了定理1的證明。

參考文獻：

[1]PAPPALARDIF.Asurveyonk-powerfreeness,RamanujanMath[J].SocLectNotesSer,2002,5:71-88.

[2]MIRSKYL.Onthefrequencyofpairsofsquare-freenumberswithagivendifference[J].BullAmerMathSoc,1949, 55:936-939.

[3]HEATH-BROWNDR.Thesquaresieveandconsecutivesquare-freenumbers[J].MathAnn, 1984,266:251-259.

[4]RIVATJ,SRK?ZYA.Modularconstructionsofpseudorandombinarysequenceswithcompositemoduli[J].PeriodMathHungar, 2005,51:75-107.

[5]SHIUP.ABrun-Titchmarshtheoremformultiplicativefunctions[J].JReineAngewMath,1980,313:161-170.

(編輯亢小玉)

劉華寧,教授,博士生導師。1979年10月生于湖南省永州市。1997.9—2001.7在西北大學數學系計算數學專業就讀并獲理學學士學位;2001.9—2004.7在西北大學數學系基礎數學專業就讀碩士;2004.9—2007.7在西北大學數學系基礎數學專業就讀博士學位;2007.9—2011.6在山東大學數學學院從事博士后研究;2012.1—2013.1在劍橋大學純粹數學與數理統計系做訪問學者。

2004年7月在西北大學數學系任教并于2013年4月晉升為教授。2014年起擔任數學學院計算數學系主任兼黨支部書記。計算數學系黨支部于2010年、2012年、2014年連續評為西北大學先進黨支部。

目前在國內外有影響的刊物上發表和錄用論文近90篇,其中54篇SCI,13篇核心。出版學術專著兩部。2004、2006年兩次獲得“陜西省青年突擊手”稱號;2005年獲得中國數學會鐘家慶數學獎;2009年獲得全國百篇優秀博士論文提名;2012年獲得霍英東青年教師獎;2013年獲得“陜西省青年科技新星”稱號。

曾獲得省部級科研獎勵兩項。先后主持國家自然科學基金、陜西省自然科學基金、中國博士后科學基金特別資助等多項科研項目。現為美國《數學評論》評論員、德國《數學文摘》評論員、美國數學會會員、中國密碼學會會員。