具有左中心冪等元的完美l-ample半群

·數理科學·

具有左中心冪等元的完美l-ample半群

孫燕,王旭東,任學明

(西安建筑科技大學 理學院, 陜西 西安710055)

摘要：定義完美l-ample半群,并研究具有左中心冪等元的完美l-ample半群的半格分解。利用半格分解,證明了半群S為具有左中心冪等元的完美l-ample半群,當且僅當S為直積Mα×Λα的強半格,其中Mα是右可消冪幺半群,Λα是右零帶。這一結果為具有左中心冪等元的完美l-ample半群結構的建立奠定了基礎。

關鍵詞：完美l-ample半群;左中心冪等元;強半格;[*,～]-格林關系

收稿日期：2014-01-13

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11471255，11326204)； 陜西省教育廳專項科研計劃基金資助項目 (14JK1412)；校青年基金資助項目(QN1134)

作者簡介：孫燕, 女, 山東平度人, 從事半群代數理論研究。

中圖分類號：O152.7

Perfect l-ample semigroups with left central idempotents

SUN Yan, WANY Xu-dong, REN Xue-ming

(School of Science, Xi′an University of Architecture and Technology, Xi′an 710055， China)

Abstract:The concept of perfect l-ample semigroups is introduced and the semilattice decomposition of perfect l-ample semigroups with left central idempotents is studied. By using this semilattice decomposition, it is proved that a semigroup S is a perfect l-ample semigroup with left central idempotents if and only if it is a strong semilattice of a direct product Mα×Λα, where Mα is a right cancellative unipotent monoid and Λα is a right zero band.This result is the basis that the structure theorem of perfect l-ample semigroups with left central idempotents can be established.

Key words: perfect l-ample semigroup;left central idempotent;strong semilattice;[*,～]-Green′s relation

含有單位元的半群稱為幺半群。只含有一個冪等元的幺半群稱為冪幺半群。半群S稱為富足半群,如果S的每一個L*-類和每一個R*-類均含有冪等元[2]。半群S稱為l-ample半群,如果S的每一個L[*,～]-類和每一個R[*,～]-類均含有冪等元。我們易證L?L*?L[*,～],R?R*=R[*,～]。從這一結果不難看出,富足半群一定是l-ample半群,但l-ample半群不一定是富足半群。從而l-ample半群是富足半群在廣義正則半群類中的一個推廣。

在正則半群的研究方面,眾所周知,Clifford半群是群的強半格[3]。而在富足半群的研究方面,Fountain深入研究了具有中心冪等元的適當半群[4]。K.P.Shum和任學明又給出了具有左中心冪等元的富足半群的相關定理[5]。

在這一背景下,自然地,人們會尋求l-ample半群關于富足半群的類似物。為此,本文受Shum的啟發引入了完美l-ample半群的概念,借助[*,～]-格林關系,證明了半群S是一個具有左中心冪等元的完美l-ample半群,當且僅當S是直積Mα×Λα的強半格,其中Mα為右可消冪幺半群,Λα為右零帶。將文獻[3],[4]和[5]的結論推廣到具有左中心冪等元的完美l-ample半群中。從而Clifford,Fountain和Shum的結論都可類似地應用于此。

文中未給出的術語和記號見文獻[1],[2]和[6]。

1若干準備

本文首先給出具有左中心冪等元的完美l-ample半群的基本概念和若干性質。

定義1[6]半群S的冪等元e稱為左中心的,如果關于任意x,y∈S1,且y≠1,有xey=exy。

定義2l-ample半群S稱為完美l-ample半群,如果L[*,～]滿足右同余條件,即L[*,～]是S上的右同余。

命題1 令S為一半群,且a,b∈S。則下列兩款成立:

(i) (a,b)∈L[*,～],當且僅當關于任意e∈E, ae=a?be=b;

(ii) (a,b)∈R[*,～],當且僅當關于任意x,y∈S1, xa=ya?xb=yb。

命題2[2]令S為一半群,且a,b∈S。則下列兩款成立:

(i) (a,b)∈R[*,～],當且僅當關于任意x,y∈S1,xa=ya?xb=yb;

(ii) 關于任意冪等元e∈S,(e,a)∈R[*,～],當且僅當ea=a,且關于任意x,y∈S1,xa=ya?xe=ye。

特別地,若a,b為半群S的正則元,則(a,b)∈L[*,～],當且僅當(a,b)∈L,這里L表示通常的格林關系[7]。對偶地,關于R[*,～]的相應結論亦成立。

引理1S的每個L[*,～]-類都含有唯一冪等元。

證 明假設e,f∈E,且(e,f)∈L[*,～],則(e,f)∈L。故結論易證。

引理2 格林關系L[*,～]為S上的同余。

引理3關于任意a,b∈S,恒有(ab)*=a*b*。

證 明事實上,關于任意b∈S,存在唯一冪等元b*∈S∩E使得(b,b*)∈L[*,～]。因為L[*,～]是具有左中心冪等元的完美l-ample半群S上的同余,所以關于任意a∈S,有(ab,ab*)∈L[*,～]。從而據引理1,知(ab)*=(ab*)*。類似可證,(ab*,a*b*)∈L[*,～]。又據引理1,知(ab*)*=(a*b*)*=a*b*。因此,(ab)*=(ab*)*=a*b*。這樣就完成了引理3的證明。

引理4在具有左中心冪等元的完美l-ample半群S上定義關系σ如下:

aσb,當且僅當a*b*=b*和b*a*=a*。

證 明易驗證σ為S上的等價關系。設a,b∈S,且a,b∈σ,則有a*b*=b*和b*a*=a*。據引理3和冪等元b*是左中心的,知關于任意c∈S,有(ac)*(bc)*=a*c*b*c*=a*b*c*=b*c*=(bc)*。類似地,可證(bc)*(ac)*=(ac)*。這驗證了(ac,bc)∈σ。同理,可得(ca,cb)∈σ。因此,σ為S上的同余?，F在,據引理3和冪等元a*是左中心的,知 (ab)*(ba)*=a*b*a*=b*a*a*=(ba)*和(ba)*(ab)*=(ab)*。從而據上述σ的定義,不難知(ab,ba)∈σ。此外,關于任意a∈S,我們顯然有(a,a*)∈σ和(a,a2)∈σ。這樣,σ確實是具有左中心冪等元的完美l-ample半群S上的半格同余。故結論得證。

引理5令S為具有左中心冪等元的完美l-ample半群。則下列兩款成立:

(i) L[*,～]=H[*,～]且σ=R[*,～]=D[*,～];

(ii) H[*,～],R[*,～]和D[*,～]都是S上的同余。

證 明(i) 因為S是l-ample半群。所以,關于任意a∈S,存在e∈E使得(a,e)∈R[*,～]。這說明了ea=a。于是,據引理3,知ea*=a*。另外,因為(a,a*)∈L[*,～]和a*是左中心冪等元,所以a=aa*=aa*a*=a*aa*=a*a,即a*a=a。從而據(a,e)∈R[*,～]和命題2(ii),知a*e=e。由此,再結合前述ea*=a*,知(a*,e)∈R,這導致了(a*,e)∈R[*,～]。因此,(a,a*)∈R[*,～]。又據(a,a*)∈L[*,～],立即有(a,a*)∈H[*,～]。現在,令a,b∈S,且(a,b)∈L[*,～]。則(a,a*)∈H[*,～],(b,b*)∈H[*,～]。據引理1知a*=b*。因此,(a,b)∈H[*,～]。這導致了L[*,～]?H[*,～]。從而不難知道,L[*,～]=H[*,～]。至此,這證明了L[*,～]=H[*,～]?R[*,～]。

設a,b∈S,且(a,b)∈R[*,～]。則據L[*,～]?R[*,～],知(a*,b*)∈R[*,～]。從而有a*b*=b*和b*a*=a*。因此,據關系σ的定義,可知(a,b)∈σ。這證明了R[*,～]?σ。另一方面,設a,b∈S,且(a,b)∈σ,則有a*b*=b*和b*a*=a*。由R關系[6]的定義,知(a*,b*)∈R。這導致了(a*,b*)∈R[*,～]。而且據(a,a*)∈L[*,～]和L[*,～]?R[*,～],知(a,a*)∈R[*,～]。類似地,(b,b*)∈R[*,～]。從而(a,b)∈R[*,～]。這證明了σ?R[*,～]。因此,可得σ=R[*,～]。容易驗證D[*,～]=L[*,～]∨R[*,～]=H[*,～]∨R[*,～]=R[*,～]。這樣,可以斷定σ=R[*,～]=D[*,～]。

(ii) 據引理2和引理4,易知H[*,～],R[*,～]和D[*,～]都是S上的同余。這樣就完成了引理5的證明。

2主要結論

現在,我們將給出具有左中心冪等元的完美l-ample半群的重要定理。

定理1令S為一半群。則下列各款等價:

(i) S為具有左中心冪等元的完美l-ample半群;

(ii) S為直積Mα×Λα的半格,其中Mα是右可消冪幺半群,Λα是右零帶。而且半群S的冪等元集E形成右正規帶;

(iii) S為直積Mα×Λα的強半格,其中Mα是右可消冪幺半群,Λα是右零帶。

證 明(i)?(ii)顯然,S=∪α∈YSα, 其中Sα為半群S關于半格Y的一個σ-類。因為S是U-富足半群且σ=R[*,～],所以Sα∩E≠?。由此,關于某個固定eα∈Sα∩E,令Mα=Sαeα。顯然，Mα為含有恒等元eα的幺半群, 記eα=1α。 接著，證明Mα為右可消的。關于a,b,c∈Mα,令ab=cb。則由(eα,b)∈R[*,～]和命題1(ii),有aeα=ceα。據eα為Mα的恒等元,知a=c。因此,Mα為右可消的幺半群。事實上,Mα=L[*,～]=H[*,～]。于是,Mα中只含有一個冪等元。因此,Mα為右可消冪幺半群?，F在,令Λα為Sα的冪等元集,即Λα=Sα∩E。則關于任意e,f∈Λα,顯然有(e,f)∈R[*,～]。這意味著Λα是右零帶。關于任意(x,f)∈Mα×Λα,我們定義映射φ:Mα×Λα→Sα,且滿足φ(x,f)=xf，則關于任意(x,f),(y,g)∈Mα×Λα,有

φ(x,f)φ(y,g)=xfyg=

xyfg=xyg=φ[(x,f)(y,g)]。

于是,φ為一同態。

另外,若φ(x,f)=φ(y,g),則xf=yg，從而xfeα=ygeα。又因為Λα是右零帶且eα為Mα的恒等元,所以x=y。與此同時,可得xf=xg。從而由引理3,有x*f=x*g。再據Λα是右零帶,知f=g。這證明了φ也是一個單同態。

下面證明映射φ是滿射。關于任意a∈Sα,存在唯一冪等元a*使得(a,a*)∈L[*,～]。據引理5,知L[*,～]?R[*,～]且σ=R[*,～]。從而(a,a*)∈σ。這導致了a*∈Sα。因此,a*∈Λα=Sα∩E。另外,由Sα∩E≠?,知關于某個固定eα∈Sα∩E,有aeα∈Mα。在這種情形下,因為Λα為右零帶且(a,a*)∈L[*,～]。所以，總有

(aeα,a*)φ=aeαa*=aa*=a。

這證明了映射φ是滿射。

綜上,Sα?Mα×Λα。

最后,因為任意e∈E是左中心冪等元,所以關于任意e,f,g∈E,都有efg=feg。這證明了E是右正規帶。

(ii)?(iii)為證S是直積Mα×Λα的強半格,我們選擇任意α,β∈Y,且α≥β。首先,令a∈Sα,eβ∈Sβ∩E。則eβa∈Sβ?；谶@一事實,關于任意a∈Sα和某個固定eβ∈Sβ∩E，建立映射θα,β:Sα→Sβ,且滿足aθα,β=eβa,其中α≥β。令eβa=(u,i)∈Sβ,eβ=(1β,j)∈Sβ∩E,g=(1β,i)∈Sβ∩E,其中1β是Mβ中的恒等元。則

eβag=(u,i)(1β,i)=(u,i)=eβa,

(1)

g=(1β,i)=(1β,j)(1β,i)=eβg。

(2)

類似地,令b=(v,l)∈Sα,h=(1α,l)∈Sα∩E。則

hb=b。

(3)

而且由E為右正則帶,有

geβh=eβgh。

(4)

據式(1),(2),(3)和(4),知

eβaeβb=eβageβhb=

eβaeβghb=eβaghb=eβab，

從而aθα,βbθα,β=(ab)θα,β。這證明了θα,β為一同態。

另一方面,關于任意α∈Y,不難看出θα,α=1Sα。

現在,令a=(w,k)∈Sα,p=(1α,k)∈Sα∩E,其中α∈Y。則有pa=a。若α≥β≥γ,則關于某個固定eβ∈Sβ∩E和某個固定eγ∈Sγ∩E,據E為右正則帶,知eγeβp=eβeγp=eβeγ·eγp=eγp。從而

aθα,βθβ,γ=eγ(eβa)=

eγeβpa=eγpa=eγa=aθα,γ。

因此,θα,γ=θα,βθβ,γ。

最后,關于任意α,β∈Y,令a∈Sα,b∈Sβ，則關于某個固定eαβ∈Sαβ∩E,有ab=eαβ(ab)。因為eαβa∈Sαβ,利用式(1),知存在f2=f∈Sαβ使得eαβaf=eαβa。而且關于b∈Sβ,利用式(3),知存在e2=e∈Sβ使得eb=b。再根據E的右正規性,有

eαβaeαβb=eαβafeαβeb=eαβaeαβfeb=

eαβa(eαβf)eb=eαβafeb=eαβab=ab。

這證明了ab=aθα,αβ·bθβ,αβ。因此,S為直積Mα×Λα的強半格。記為S=[Y;Sα,θα,β],其中Sα=Mα×Λα。

xey=(m,t)θα,δ·(1γ,q)θγ,δ·(v,l)θβ,δ=

(mθα,δ·vθβ,δ,lθβ,δ)。

類似地,exy=(mθα,δ·vθβ,δ,lθβ,δ)。從而xey=exy。這樣,證明了關于任意e∈E,都有冪等元e是左中心的。換句話說,半群S是具有左中心冪等元的半群。

進一步,證明半群S的每個L[*,～]-類中含有冪等元。關于任意α∈Y,令a=(u,i)∈Sα,f=(1α,i)=Sα∩E。為證明(a,f)∈L[*,～],關于任意e∈E,假設ae=a,則存在某個γ∈Y使得e∈Sγ∩E。而且因為S是Sα的半格,所以關于α,γ∈Y,有γ≥α。并且令e=(1γ,k)∈Sγ∩E。據ae=a,有

(u,i)(1γ,k)=(u,i)θα,α·(1γ,k)θγ,α=

(u,kθγ,α)=(u,i)。

這意味著kθγ,α=i。因此,

fe=(1α,i)(1γ,k)=

(1α,i)θα,α·(1γ,k)θγ,α=

(1α,kθγ,α)=(1α,i)=f。

同理,關于任意e∈E,若fe=f,則ae=a。從而據命題1(i),知(a,f)∈L[*,～]。這樣,半群的每個L[*,～]-類中含有冪等元。

另一方面,證明半群S的每個R[*,～]-類中含有冪等元。令b=(w,h)∈Sα,g=(1α,h)∈Sα∩E。則gb=b。為了證明(b,g)∈R[*,～]。關于任意x,y∈S1,假設xb=yb,則存在某個β,γ∈Y使得x∈Sβ,y∈Sγ,而且知αβ=αγ。又令x=(m,t)∈Sβ,y=(v,l)∈Sγ，則由半群S是半群Sα的強半格,知

xb=(m,t)θβ,αβ·(w,h)θα,αβ=(mθβ,αβ·wθα,αβ,hθα,αβ),

yb=(v,l)θγ,αγ·(w,h)θα,αγ=(vθγ,αγ·wθα,αγ,hθα,αγ)=(vθγ,αβ·wθα,αβ,hθα,αβ)。

據xb=yb,知mθβ,αβ·wθα,αβ=vθγ,αβ·wθα,αβ。又因為Mαβ是右可消幺半群。所以,mθβ,αβ=vθγ,αβ。從而

xg=(m,t)θβ,αβ·(1α,h)θα,αβ=(mθβ,αβ,hθα,αβ)=(vθγ,αβ,hθα,αβ)=(vθγ,αγ,hθα,αγ)=yg。

再據命題2(ii),知(b,g)∈R[*,～]。因此,半群S的每個R[*,～]也含有冪等元。至此,證明了半群S確實是l-ample半群。

最后,我們來證明L[*,～]是半群S上的右同余。關于a,b∈S,若(a,b)∈L[*,～], 則元素a,b在同一個Sα里,其中α∈Y。因為如果a,b∈L[*,～],但a∈Sα,b∈Sβ的話,則據S為l-ample半群,知存在f2=f∈Sα∩E和g2=g∈Sβ∩E，使得(a,f)∈L[*,～]和(b,g)∈L[*,～]。這意味著(f,g)∈L[*,～]，從而fg=f,gf=g,其中fg,gf∈Sαβ,f∈Sα和g∈Sβ。因此,α=β。基于此事實，假設(a,b)∈L[*,～],則存在某個α∈Y使得a,b∈Sα。又令a=(u,i)∈Sα,b=(w,h)∈Sα。則為了證明關于任意c∈S,都有(ac,bc)∈L[*,～]成立。于是,關于任意e∈E，假設ace=ac,則存在某個β,γ∈Y使得c∈Sβ,e∈Sγ∩E。而且由S是半群Sα的強半格,知α,β≤γ。令c=(n,j)∈Sβ,e=(1γ,k)∈Sγ∩E，則由假設ace=ac,知

(u,i)(n,j)(1γ,k)=

(u,i)θα,αβ·(n,j)θβ,αβ·(1γ,k)θγ,αβ=

(uθα,αβ·nθβ,αβ,kθγ,αβ)=

(uθα,αβ·nθβ,αβ,jθβ,αβ)。

這導致了kθγ,αβ=jθβ,αβ。因此,

bce=(w,h)θα,αβ·(n,j)θβ,αβ·(1γ,k)θγ,αβ=

(wθα,αβ·nθβ,αβ,kθγ,αβ)=

(wθα,αβ·nθβ,αβ,jθβ,αβ)=bc。

類似可得,關于任意e∈E,若bce=bc,則ace=ac。從而據命題1(i),知(ac,bc)∈L[*,～]。這樣,L[*,～]是S上的右同余。因此,半群S為完美l-ample半群。

綜上所述,半群S為具有左中心冪等元的完美l-ample半群。這樣就完成了定理1的證明。

注1上述定理推廣了K.P.Shum和任學明的相關結論(見文獻[5], 定理3.1)。

下面主要結果的證明類似于定理1的證明方法。

推論1令S為一半群。則下列各款等價:

(i) S為具有左中心冪等元的正則半群;

(ii) S為右群的強半格;

(iii) S為右Clifford半群,且E形成右正規帶。

證 明首先注意到在正則半群上L[*,～]=L,R[*,～]=R。因此,類似于定理1的證明,有(i)?(ii)。詳細證明略。關于(ii)?(iii)和(iii)?(i)直接由文獻[8]中定理4.1可知。故結論可得。

注上述定理推廣了著名的Clifford 定理(見文獻[6],定理2.1)。

參考文獻：

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(編輯亢小玉)