Novikov方程的對稱群分析

·數理科學·

Novikov方程的對稱群分析

黃晴1, 王麗真1, 劉俊榮1，高雯2

(1.西北大學 數學學院, 陜西 西安710127； 2.西北農林科技大學 理學院, 陜西 楊陵712100)

摘要：研究了Novikov方程的對稱群分析問題,構造了方程所容許的李對稱的優化系統,進行了對稱約化,并得到了方程的大量的精確解。

關鍵詞：Novikov方程； 李對稱； 優化系統； 精確解

收稿日期：2014-04-02

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11201371)；陜西省教育廳專項科研基金資助項目(11JK0482)；陜西省自然科學基金資助項目(2012JQ1013)

作者簡介：黃晴,女,陜西子長人,西北大學副教授,從事偏微分方程研究。

中圖分類號：O175.2

Group analysis of the Novikov equation

HUANG Qing1, WANG Li-zhen1, LIU Jun-rong1, GAO Wen2

(1.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China;

2.College of Science, Northwest A&F University, Yanglin 712100， China)

Abstract:In this paper, group analysis of the Novikov equation is performed. The one dimension optimal system of the Lie symmetries admitted by the equation in consideration is constructed. In addition, all exact solutions or the reduced equations corresponding to the optimal system are presented.

Key words: Novikov equation; Lie symmetry; optimal system; exact solution

本文研究Novikov方程[1]

ut-utxx+4u2ux-3uuxuxx-u2uxxx=0,

(1)

的對稱約化和精確解構造問題,其中F為光滑的實值函數,u=u(t,x),ut=?u/?t,ux=?u/?x,uxx=?2u/?x2,uxxx=?3u/?x3,utxx=?3u/?t?x2。Novikov方程是Camassa-Holm方程

ut-utxx+3uux-2uxuxx-uuxxx=0

的推廣。自從它被提出以來,就得到了廣泛的關注和研究,眾多學者從各種角度研究了其解的存在性和適定性[2-3]。另外，文獻[4]運用經典的李對稱群分析方法,得到了Novikov方程的李點對稱及五個點對稱相應的群不變解。但是，沒有構造方程(1)所有可能的群不變解。

這里我們首先應用優化系統理論,由Novikov方程所容許的李點對稱構造其相應的十五維優化系統,并證明其最優性;再對方程進行對稱約化,推導相應于優化系統中各個對稱的約化常微分方程,并構造群不變解。

1優化系統

由微分方程對稱群理論,方程(1)容許李對稱

X=τ(t,x,u)?t+ξ(t,x,u)?x+

η(t,x,u)?u

當且僅當

X(3)[ut-utxx+4u2ux-3uuxuxx-

u2uxxx]|ut-utxx+4u2ux-3uuxuxx-u2uxxx=0 =0。

其中X(3)為X的三階延拓[5-7]。文獻[4]中得到了方程(1)所容許的五維李代數。

定理1[4]Novikov方程容許五維李代數,其無窮小生成子為

X1=?t, X2=?x, X3=2t?t-u?u,

X4=e2x?x+ue2x?u, X5=-e-2x?x+ue-2x?u。

(2)

其中離散變換(t,x,u)→(t,-x,u)將李對稱X4變換為X5。

由于無窮小生成子的任意線性組合也是無窮小生成子,容許非平凡李對稱的微分方程將會容許無窮多個不同的對稱子群。因此為了完全理解方程的不變解,一個重要且必須的任務就是尋找那些能夠對應本質不同的解的子群。對稱群中任意變換都能夠把一個解映射為另一個解,所以我們只需尋找那些與變換無關的解,即互相不等價的解。這樣優化系統的概念應運而生[5-7]。構造子群的優化系統等價于構造子代數的優化系統。對一維子代數而言,這種分類等價于伴隨表示的軌道的分類,其基本方法就是取李代數的最一般的表達形式,并用各種不同的伴隨變換作用于其上,使其形式得以最大程度的簡化。這種使用伴隨表示來分類群不變解的思想源于Ovsiannikov[7]。

Novikov方程的李代數(2)的非零交換關系為

[X1,X3]=2X1, [X2,X4]=2X4,

[X2,X5]=-2X5, [X4,X5]=4X2。

伴隨表示由李級數

給出,其中[Xi,Xj]為李對稱Xi,Xj的換位子,ε為參數。表1給出李代數(2)的伴隨表示,其中第i行第j列的元素表示Ad(exp(εXi))Xj。

表1　李代數(2)的伴隨表示

其中

4β2(a4+2a2α-4a5α2)。

綜合以上構造過程,得到下述定理。

定理2Novikov方程(1)所容許的李代數(2)的一維優化系統為

V1=X1, V2=X2, V3=X3,

V4=X4,V5=X2+X1,

V6=X2-X1, V7=X4+X3,

V8=X4-X3, V9=X4+X1,

(3)

V10=X4-X1, V11=X4-X5,

V12=X2+γX3, V13=X4-X5+X1,

V14=X4-X5-X1, V15=X4-X5+γX3。

其中γ∈R且γ≠0。

前面已經證明了式(2)的任意一維子空間等價于V1,V2,…,V15所張成的子空間,下面通過引入伴隨不變量證明式(3)中的任意兩個一維子代數相互不等價。

證 明易從表1觀察知A=a3為李代數(2)的不變量。直接計算代數(2)的基靈型(killingform)可得

引理2定義函數

則C,D,E為不變量。

同理可證,D,E為不變量。

現在計算式(3)中所有Vi(i=1,2,…,15)的不變量A,B,C,D,E,結果列于表2。

表2　代數(3)的不變量

顯然由表2可知,對于不同的i,或者相應于不同參數γ的相同的i,Vi(i=1,2,…,15)相互不等價,則定理2中優化系統(3)的優化性得以證明。

2精確解

前面我們構造了Novikov方程所容許的李對稱群(2)的一維優化系統(3),這里利用統(3)來對Novikov方程作對稱約化,得到用相似變量表示的約化常微分方程, 構造Novikov方程的精確解。需要指出的是，文獻[3]中已經用V1,V2,V3,V4構造了Novikov方程相應的約化方程和不變解,這里我們僅考慮Vi(i=5,6,…,15)。

1)V5,V6=±?t+?x,其相似變量為z=x±t 和 u,對應精確解為

u=f(z)。

其中f(z)滿足方程

(1?f2)f ??3ff ′f ″+(±4f2-1)f ′=0。

這兩個約化方程無法找到通解,但均有形如c1ez+c2e-z的特解,這里以及下文中c1,c2均指任意實常數。

其中f(z)滿足約化方程

(2f2-e-z)f ?+(6ff ′+6f2-e-z)f ″+

其中f(z)滿足

(2f2+ez)f ?+(6ff ′-6f2-ez)f ″-

4)V9,V10=±?t+e2x?x+e2xu?u,其相似變量為z=e-2x±2t 和ue-x,相應精確解為u=exf(z),其中f(z)滿足方程

(f2?1)f ?+3ff ′f ″=0。

該約化方程有特解f(z)=z,即Novikov方程有解u=e-x±2tex。

4γ2(1-2γf2)f ?+2γ2(1-12γff ′)f ″+

(f2?1)f ?+3ff ′f ″+(4f2?1)f ′=0。

這兩個約化方程均有特解f(z)=c1sinz+c2cosz,則Novikov方程有解

c2cos(2t?arctane2x)]。

其中f(z)滿足常微分方程

4γ2(1-2γe-zf2)f ?+4γ2(-6γe-zff ′+

6γe-zf2-1)f ″+6γe-zff ′2+

(γ2-24γ3e-zf2-32γe-zf2+4)f ′+

4γ(γ2+4)e-zf3=0。

參考文獻：

[1]NOVIKOV V. Generalizations of the Camassa-Holm equation [J]. J Phys A, 2009, 42: 342002.

[2]LAI S Y. Global weak solutions to the Novikov equation [J].J Funct Anal，2013, 265: 520-544.

[3]ZIMMERMAN W. Propagating fronts near a Lifshitz point [J]. Phys Rev Lett, 1991, 66:1546.

[4]BOZHKOV Y, FREIRE I L, IBRAGIMOV N H. Group analysis of the Novikov equation[J].Comp Appl Math，2013, DOI 10.1007/s40314-013-0055-1.

[5]IBRAGIMOV N H. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics [M]. Dordrecht: Reidel, 1985: 96-159.

[6]OLVER P J. Applications of Lie Groups to Differential Equations [M]. New York: Springer, 1986: 66-96.

[7]OVSIANNIKOV L V. Group Analysis of Differential Equations [M]. New York: Academic, 1982: 162-219.

(編輯亢小玉)