某些近于凸調(diào)和函數(shù)的解析性質(zhì)和系數(shù)估計(jì)

黃赟，黃心中（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

?

某些近于凸調(diào)和函數(shù)的解析性質(zhì)和系數(shù)估計(jì)

黃赟，黃心中
（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

摘要：研究單位圓盤D上某些具有穩(wěn)定近于凸的調(diào)和函數(shù)f（z）＝h（z）＋g（z）解析部分h（z）滿足Re｛1＋時的解析表示和系數(shù)估計(jì)表達(dá)式.對其復(fù)伸張w（z）為一次多項(xiàng)式時，給出了f（z）的穩(wěn)定近于凸的判別條件，并且推廣了Bshouty和Nagpal等的結(jié)果.特別地，當(dāng)時，估計(jì)了f＝h＋g珚在單位圓盤上的穩(wěn)定近于凸半徑.

關(guān)鍵詞：調(diào)和函數(shù)；穩(wěn)定近于凸；系數(shù)估計(jì)；單葉半徑

1　預(yù)備知識

Mocanu［2］定義了一個函數(shù)類：對所有z∈D滿足不等式同時，提出如下猜想：M中的函數(shù)是單葉的.Bshouty等［1］利用解析函數(shù)近于凸的兩個引理證明了以上猜想，并在文章中給出更強(qiáng)的結(jié)果：對于M中的調(diào)和函數(shù)不僅是單葉的，而且是近于凸的.

Nagpal等［3］引入具有正實(shí)部的函數(shù)，并用對比系數(shù)對M中的調(diào)和函數(shù)做出精確的系數(shù)估計(jì)：，等號在達(dá)到.

Bshouty等［4］對近于凸單葉調(diào)和函數(shù)的范圍進(jìn)行推廣，利用圓盤的輻角改變量得到更為一般化的定理，并對滿足條件的函數(shù)類的伸張偏差范圍做出估計(jì).他們證明了以下兩個定理.

定理A 若h是單位開圓盤D上的解析凸函數(shù)，則調(diào)和函數(shù)f＝h＋g珚是近于凸的，其中

Bshouty等［5］提出了如下問題：令f＝h＋g珚是D上的調(diào)和函數(shù)如果，滿足調(diào)和函數(shù)f的單葉性如何.

對于具有穩(wěn)定近于凸調(diào)和函數(shù)的研究，今年來有不少進(jìn)展［6－8］.本文利用解析函數(shù)近于凸的兩個引理，將調(diào)和函數(shù)的單葉性證明推廣到更為一般的函數(shù)形式，并對這類函數(shù)的系數(shù)做出估計(jì)，得到一些精確的結(jié)果.

2　主要結(jié)果及證明

令Q（D）＝｛h（z），h（z）為D上的解析函數(shù)，且滿足.證明h（z）具有以下的表示定理.

定理1 h（z）∈Q（D）的充分必要條件是存在正實(shí)部函數(shù)p（z）＝1＋c1z＋c2z2＋…，使得其中：1≤k＜3/2.證明 設(shè)函數(shù)h（z），滿足h（0）＝0，h′（0）＝1，且令則p（z）是正實(shí)部函數(shù)，且p（0）＝1，有兩邊同時積分得令k＝1－c，1≤k＜3/2，兩邊同時積分得反之，設(shè)存在正實(shí)部函數(shù)p（z），使得h（z）寫成如下形式，即其中：1≤k＜3/2.則有

故 Bshouty等［1］已經(jīng)證得：條件為）的單葉性.

為此，引入下面引理1，2.

引理1［9］解析函數(shù)h定義在D上，h是近于凸的充分必要條件為h′（z）≠0，且滿足其中

引理2［10］若調(diào)和函數(shù)滿足

證明 考慮解析函數(shù)F（z）＝h（z）－λg（z），其中，｜λ｜＝1，則

顯然，在單位圓盤D上F′（z）≠0，則

因此，F(xiàn)（z）＝h（z）－λg（z）是近于凸的.由于g′（0）＝αh′（0），根據(jù)引理2，f（z）＝h（z）＋g（z）是穩(wěn)定近于凸調(diào)和函數(shù).

對于這一類函數(shù)，可以通過下面的定理對其系數(shù)進(jìn)行估計(jì).

定理3 設(shè)f（z）＝h（z）＋g（z）是定義在單位圓盤D上的調(diào)和函數(shù)，f，g可以表示為h（z）＝z＋

其中：z∈D，則有系數(shù)估計(jì)

也可表示為

bn的系數(shù)估計(jì)為

由于h（z）在單位圓盤上局部單葉，函數(shù)p（z）＝1＋c1z＋c2z2＋…是D上具有正實(shí)部的解析函數(shù).因此，｜c(diǎn)n｜≤2對于n＝1，2，…都成立.根據(jù)［p（z）－1］（1－c）h′（z）＝zh″（z），對比zn的系數(shù)得到（n＋

n

1）nan＋1＝（1－c）∑kakcn＋1－k，n＝1，2，….則有

k＝1下面證明上述系數(shù)估計(jì)有另外的表達(dá)形式.當(dāng)n≥3時，有n－2

當(dāng)n＝2時，｜a2｜≤1－c也滿足上式，即可得到系數(shù)估計(jì)的另一種形式

接下來考慮｜bn｜的范圍，根據(jù)g′（z）＝（α＋βz）h′（z），對比zn的系數(shù)關(guān)系，有（n＋1）bn＋1＝α（n＋1）an＋1＋βnan.則有

定理3證畢.

以上估計(jì)是精確的.

Bshouty等［5］提出一系列的問題和猜想.其中，問題3.14提出當(dāng)滿足條件的情況下的最大葉數(shù)為多少.定理4估計(jì)了當(dāng)w（z）＝z2時，f的穩(wěn)定近于凸半徑，部分回答了這一問題.

定理4 設(shè)f（z）＝h（z）＋g（z）是定義在單位圓盤D上的調(diào)和函數(shù)，h′（0）≠0，滿足當(dāng)w（z）＝z2時，調(diào)和函數(shù)f（z）的穩(wěn)定近于凸半徑r≥槡（1＋2c）/（5＋2c）.證明 考慮解析函數(shù)F（z）＝h（z）－λg（z），其中，｜λ｜＝1，那么

顯然，在D上F′（z）≠0，故其中：θ1＜θ2＜θ1＋2π.

參考文獻(xiàn)：

［1］BSHOUTY D，LYZZAIK A.Close－to－convexity criteria for planar harmonic mappings［J］.Complex Analysis and Operator Theory，2011，5（3）：767－774.

［2］MOCANU P T.Injectivity conditions in the complex plane［J］.Complex Anal Oper Theory，2011，5（3）：759－766.

［3］NAGPAL S，RAVICHANDRAN V.On a subclass of close－to－convex harmonic mappings［J］.Complex Variables and Elliptic Equations，2014，59（2）：204－216.

［4］BSHOUTY D，JOSHI S S，JOSHI S B.On close－to－convex harmonic mappings［EB/OL］.［2012－1－11］.http：//dx.doi.org/10.1080/17476933.2011.647002.

［5］BSHOUTY D，LYZZAIK A.Problems and conjectures in planar harmonic mappings［J］.J Analysis，2010，18：69－81.

［7］石擎天，黃心中.調(diào)和映照與其剪切函數(shù)的單葉性［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34（3）：334－338.

［8］王其文，黃心中.在微分算子作用下調(diào)和函數(shù)的單葉半徑估計(jì)［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，35（2）：227－231.

［9］KAPLAN W.Close－to－convex schlicht functions［J］.Mich Math J，1952，1（2）：169－185.

［10］CLUNIE J，SHEIL－SMALL T.Harmonic univalent functions［J］.Ann Acad Sci Fenn Ser A I Math，1984，9：3－25.

（責(zé)任編輯：錢筠 英文審校：黃心中）

On the Analytic Properties and Coefficient Estimate for Close－to－Convex Harmonic Mappings

HUANG Yun，HUANG Xin－zhong
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

Abstract：Research analytic representing formula and coefficient estimates for h（z）with Re0，where his the analytic part of harmonic mappings f（z）＝h（z）＋g（z）that are stable close－to－convex property on unit disk D.If the dilatation function w（z）is a linear function，the stable close－to－convex criterion is proved.The results improve the one made by Shouty and Nagpal.Moreover，we also obtain the stable close－to－convex radius estimate for f＝h＋g珚 withon the unit disk D.

Keywords：harmonic mapping；stable close－to－convex；coefficient estimate；univalent radius

通信作者：黃心中（1957－），男，教授，博士，主要從事函數(shù)論的研究.E－mail：huangxz＠hqu.edu.cn.

中圖分類號：O 174.51

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000－5013（2015）04－0478－06

doi：10.11830/ISSN.1000－5013.2015.04.0478

收稿日期：2015－01－05

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471128）；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014J01013）