一類調(diào)和映照的系數(shù)估計

闕玉琴，陳行堤（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

?

一類調(diào)和映照的系數(shù)估計

闕玉琴，陳行堤
（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

摘要：在單葉調(diào)和映照的系數(shù)猜想的基礎(chǔ)上，獲得單葉調(diào)和映照在第二復(fù)伸張滿足標準化條件下的系數(shù)估計，結(jié)果漸進于單葉函數(shù)的系數(shù)估計，建立了兩個猜想的聯(lián)系，并獲得此類映照的增長和覆蓋定理.

關(guān)鍵詞：單葉調(diào)和映照；穩(wěn)定調(diào)和映照；系數(shù)估計；增長定理

1　預(yù)備知識

若f（z）為定義在單位圓盤D＝｛｜z｜＜1｝上的調(diào)和映照，則存在D上的兩個解析函數(shù)h（z）和g（z），使得f（z）＝h（z）＋g（z），且稱h（z）和g（z）為f的解析元和反解析元［1－11］.由Lewy［6］定理知，調(diào)和映照f在單位圓上局部單葉當(dāng)且僅當(dāng)

若Jf＞0，則f為單位圓盤上的保向調(diào)和映照，其第2復(fù)伸張為ω（z）＝g′（z）/h′（z），且在單位圓內(nèi)滿足｜ω（z）｜＜1.SH表示單位圓盤上的單葉保向調(diào)和映照且具有展式，即的全體.記S0H＝｛f∈SH∶fz（0）＝0｝.

經(jīng)典的單葉解析函數(shù)類，即

1985年，de Branges［4］證明了Bieberbach猜想，當(dāng)n≥2時，｜an｜≤n.1984年，Clunie等［1］提出了規(guī)范化單葉調(diào)和映照的系數(shù)猜想A.

猜想A 如果f＝h＋g珚∈S0H，且h和g的表達式為（1），那么不等式

對所有的n≥2成立.當(dāng)f（z）為調(diào)和Koebe函數(shù)，即時，等號成立.

這個猜想在S0H一些子類是成立的，如凸、星象、近于凸、典型實和沿一個方向凸的單葉調(diào)和映照類［1，10－11］.記

2014年，Ponnusamy等［8］證明了猜想A在類H0H（S）也是正確的，即定理A.

定理A 設(shè)f＝h＋珚g∈S0H（S），式（1）為h和g的表達式，則對所有的n≥2，式（2）成立.這是S0H（S）類系數(shù)的精確上界，當(dāng)f為調(diào)和Koebe函數(shù)K（z）時，等號成立.

2013年，Hernández等［7］提出了穩(wěn)定性理論.如果調(diào)和映照f＝h＋g珚單葉（凸）且對于所有的θ有fθ＝h＋exp（iθ）g珚單葉，則稱f是穩(wěn)定單葉（凸）；而且還證明了若調(diào)和映照f＝h＋珚g穩(wěn)定單葉當(dāng)且僅當(dāng)解析函數(shù)F＝h＋g穩(wěn)定單葉.不是所有的調(diào)和映照都是穩(wěn)定單葉的，比如調(diào)和Koebe函數(shù)只在θ＝π時成立.2014年，Ponnusamy［8］提出了一個猜想：對于每一個，一定存在一個θ使得h＋exp（iθ）g∈S.

文中繼續(xù)研究S0H（S）類調(diào)和映照，利用第2復(fù)伸張的標準化條件，得到漸進于經(jīng)典的單葉解析函數(shù)類S的系數(shù)估計.

2　主要定理及證明

定理1 假設(shè)單位圓盤上的保向調(diào)和映照f＝h＋珚g∈S0H（S），h和g的表達式滿足式（1），其第2復(fù)伸張為ω（z）滿足ω（0）＝0，ω′（0）＝0，ω″（0）＝0，…，ω（m－1）（0）＝0，ω（m）（0）≠0.

當(dāng)n≤m時，有

當(dāng)n＝m＋k，k＝1，2，3，…時，有特別地，當(dāng)m→∞時，｜an｜≤n；當(dāng)m＝1時，｜an｜≤（n＋1）（2n＋1）/6，｜bn｜≤（n－1）（2n－1）/6.證明 因為f＝h＋g珚∈S0H（S），所以存在一個θ，使得

由de Branges定理，當(dāng)n≥2時，｜φn｜≤n.因為f為保向的調(diào)和映照，所以ω（0）＝0，且對于所有的z∈D，有

而且有所以有

因為ω（z）滿足ω（0）＝0，ω′（0）＝0，ω″（0）＝0，…，ωm－1（0）＝0，ωm（0）≠0，所以有

又由于

所以，可令

因為｜ω（z）｜＜1，由從屬原理根據(jù)Rogosinski定理［9］，對所有的n，有

｜wn－1｜≤1， ｜vn－1｜≤1.

因此有

當(dāng)n＝m＋1時，有

∞

所以

特別地，當(dāng)m→∞時，｜am＋k｜≤m＋k，即｜an｜≤n，｜bn｜＝0，其為解析函數(shù)類的系數(shù)估計；當(dāng)m＝1，｜an｜≤（n＋1）（2n＋1）/6，｜bn｜≤（n－1）（2n－1）/6，其為Ponnusamy的S0H（S）類的系數(shù)估計.

由于解析函數(shù)S類的子類凸函數(shù)的系數(shù)估計為當(dāng)n≥2時系數(shù)的模小于等于1，所以類似定理1的證明得到.

推論1 假設(shè)f＝h＋珚g∈S0H（C），其中，h和g滿足式（1）且第2復(fù)伸張ω（z）滿足式（4），則當(dāng)n≤m時，有

當(dāng)n＝m＋k，k＝1，2，3，…時，有

特別地，當(dāng)m→∞時，｜an｜≤1；當(dāng)m＝1時，｜an｜≤（n＋1）/2.

推論2 假設(shè)f＝h＋珚g∈SH（S），其中h和g滿足式（1），則當(dāng)n＜m時，有

證明 設(shè)f0＝h0＋g珚0∈S0H（S），其中且其第2復(fù)伸張ω0（z）滿足則

由定理1，當(dāng)n＜m時，有

｜a0，n｜≤n， ｜b0，n｜＝0.

當(dāng)n＝m＋k，k＝0，1，2，…時，有

所以，當(dāng)n＜m時，有｛｜an｜＝｜a0，n＋b1b0，n｜≤｜a0，n｜＋｜b0，n｜≤n，｜bn｜＝｜b0，n＋b1a0，n｜≤｜b0，n｜＋｜a0，n｜≤n.，2，…時，有

當(dāng)n＝m＋k，k＝0，1（）（）

3　結(jié)果的運用

SH（S）類有下列的性質(zhì)：若，則函數(shù)為

其中：c∈D，此性質(zhì)稱為仿射不變.類似地，若f∈SH（S），則函數(shù)為

此性質(zhì)稱為線性不變.定理B為SH類調(diào)和函數(shù)的增長和覆蓋定理［3］.

定理B 假設(shè)α是所有函數(shù)f∈SH類第二項系數(shù)｜a2｜的上確界，則對于每個函數(shù)f∈S0H滿足

特別地，每個函數(shù)f∈S0H包含一個1/2α圓.

定理1證明了第2復(fù)伸張滿足式（4）的S0H（S）類的精確系數(shù)估計，作為定理1的運用，可以證明第2復(fù)伸張滿足式（4）的條件下S0H（S）類的精確系數(shù)估計.利用定理B，給出一個S0H（S）類更優(yōu)的增長和覆蓋定理.

定理2 對每一個復(fù)伸張滿足式（4）的f∈S0H（S），當(dāng)m＞1時，滿足下面的不等式，即

特別地，此類映照包含了一個1/4圓.

參考文獻：

［1］CLUNIE J G，SHEIL－SMALL T.Harmonic univalent functions［J］.Ann Acad Sci Fenn Ser A L，1984，9（1）：3－25.

［2］DUREN P.Univalent functions［M］.New York：Springer－Verlag，1983：17－21.

［3］DUREN P.Harmonic mappings in the plane［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2004：86－110

［4］de BRANGES L.A proof of the Bieberbach conjecture［J］.Acta Math，1985，154（1/2）：137－152.

［5］GREINER P.Geometric properties of harmonic shears［J］.Comput Methods Funct Theory，2004，4（1）：77－96.

［6］LEWY H.On the non－vanishing of the Jacobian in certain one－to－one mappings［J］.Bull Amer Math Soc，1936，42 （1）：689－692.

［8］PONNUSAMY S，KALIRAJ A S.On the coefficient conjecture of clunie and sheil－small on univalent harmonic mappings［DB/OL］［2014－03－22］.http：∥arxiv.org/abs/1403.5619.

［9］ROGOSINSKI W.On the coefficients of subordinate functions［J］.Proc London Math Soc，1990，42（1）：237－248.

［10］SHEIL－SMALL T.Constants for planar harmonic mappings［J］.J London Math Soc，1990，42（1）：237－248.

［11］WANG Xiao－tian，LIANG Xiang－qian，ZHANG Yu－qin.Precise coefficient estimates for close－to－convex harmonic univalent mappings［J］.J Math Anal Appl，2001，263（2）：501－509.

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：黃心中）

On the Coefficient Estimates for One Subclass of Harmonic Mappings

QUE Yu－qin，CHEN Xing－di
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

Abstract：We study the coefficient estimates of a subclass of harmonic mappings，which second complex dilatations satisfy some normal condition.The result is asymptotic to the estimates of univalent analytic functions，the relationship of the coefficient conjecture of these two class mappings is established.We also obtain the growth and covering theorem for this class of mappings.

Keywords：harmonic mapping；stable harmonic mapping；coefficient estimate；distortion theorem

通信作者：陳行堤（1976－），男，副教授，博士，主要從事函數(shù)論的研究.E－mail：chxtt＠hqu.edu.cn.

中圖分類號：O 174.55

文獻標志碼：A

文章編號：1000－5013（2015）04－0484－05

doi：10.11830/ISSN.1000－5013.2015.04.0484

收稿日期：2014－10－27

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（11471128）；福建省自然科學(xué)基金計劃資助項目（2014J01013）；華僑大學(xué)中青年教師科研提升資助計劃（ZQN－YX110）