幾類特殊和式極限求法的歸納

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幾類特殊和式極限求法的歸納

牛海軍

鐵嶺師范高等專科學校師范學院 (鐵嶺 112000)

摘 要對和式極限的求法進行了歸納，介紹了利用夾逼定理、利用定積分定義、利用冪級數展開式、利用數項級數收斂性等幾種常用的求和式極限的方法。

關鍵詞和式 極限 歸納

求極限是高等數學的重要內容，求和式極限又是其中的一個難點，本文將常用的求和式極限的方法歸納一下。

1利用初等數學中的公式或技巧先求部分和再求極限

這種方法即利用數列中的一些已知的部分和公式或技巧(如裂項、乘系數等)來求和式極限。

例1：求極限

2　利用夾逼定理(即(“兩邊夾”法則)求和式極限

這種方法是將要求的和式適當放大或縮小，再利用極限的夾逼定理來求極限。例2：求極限：

由夾逼定理，可得

2。

3　利用定積分定義求和式極限

這種方法是根據定積分的概念將某些和式極限化為定積分定義中的積分和，再計算定積分求和式極限。例3 ：

解：

4　利用冪級數展開式求和式極限

這種方法是利用在函數的冪級數(特別是麥克勞林)展開式中選取適當的x值來求和式極限。例4：求極限

5　利用傅里葉級數展開式求和式極限

這種方法是利用在函數的傅里葉(特別是正、余弦)展開式，在其收斂域內選取適當的x值，即能轉化為通過對數項級數收斂的討論求和式極限。例5：求極限

f x= x展開成余

弦級數;

且該余弦級數在區間[?π , ]π上滿足狄利克雷充分條件，所以

6　利用(Stolz)定理求和式極限

Stolz定理：若數列{xn}和{yn}滿足以下條件：

(1)?自然數N0，當n> N0時，yn+1> yn；

7　利用等價無窮小替換求和式極限

定理：p, q為兩個常數，且q >1?，則

解：由推論 原式

參考文獻

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