基于非負矩陣分解的高光譜解混算法研究現狀和未來的發展方向

高 鈦

（江西科技師范大學通信與電子學院，江西 南昌330000）

0 引言

高光譜遙感數據是一個光譜圖像立方體，它包括傳統的二維圖像空間和一維的光譜信息。由于受到遙感儀器的分辨率的限制，混合像元在高光譜圖像中普遍存在。如何從混合像元普遍存在的高光譜圖像中準確的提取出端元和端元所對應的豐度，即高光譜解混，已經成為了高光譜圖像研究的一個熱點。

總體來說，高光譜解混模型主要有以下兩種，線性解混模型和非線性解混模型。線性解混模型假定像元光譜是各個端元光譜的線性組合，而非線性解混模型則認為像元光譜是各個端元光譜按照非線性的關系綜合而成。由于線性解混模型建模簡單，物理意義明確，求解效果令人滿意，是當前研究的主流。

基于線性解混模型的算法可以分為：基于幾何學的方法和基于統計學的方法。作于統計學方法的一種，非負矩陣分解（NMF）[1]以其能夠保證非負性和無需指定迭代步長的優點，讓其在高光譜解混領域備受關注。

1 線性混合模型

線性混合模型可表示為：

其中X∈RL×N表示高光譜圖像；A∈RL×P表示端元光譜矩陣；S∈RP×N表示豐度矩陣；ε∈RL×N為誤差矩陣。L,N,P分別表示光譜的波段數，圖像的像素的個數和端元的個數。在線性混合模型，對于每一個像素點，端元矩陣和豐度矩陣都要滿足非負性（ANC），豐度矩陣還要滿足和為一的約束(SNC):

2 非負矩陣分解算法

非負矩陣分解是一種將一個非負的矩陣分解為兩個低秩非負矩陣的乘積的矩陣分解的方法。它是由Lee和Sueng于1999年正式提出的。

因此我們可以把求解NMF的問題看做是一個優化問題。Lee和Sueng提出基于歐式距離和基于K-L散度的求解方法。下面我們將介紹基于歐氏距離的求解方法。

其目標函數如下：

對于目標函數（4）的求解方法都是通過迭代的方法來求解。其基本步驟如下：首先對目標函數（4）求梯度

那么可以得到梯度下降算法的迭代公式為：

3 基于非負矩陣分解的高光譜解混算法研究現狀

我們知道在上面提及的基本的非負矩陣分解的目標函數具有非凸性，這讓我們求解出來的結果易陷入局部最優的陷阱。為了解決這個問題，提高高光譜解混的穩定性和精度，許多學者通過深入研究高光譜遙感圖像的性質后，提出了許多有約束的非負矩陣分解的方法應用于高光譜解混，并取得了很好的效果。

2007年，Miao和Qi提出了一種基于最小體積約束的非負矩陣分解算法[2],該方法通過最小化單形體體積的方式來求解混合光譜數據。2009年,Jia和Qian提出了基于分段平滑和稀疏約束的非負矩陣分解[3]，該方法想非負矩陣分解中分別對端元矩陣和豐度矩陣分別加入了分段平滑性和稀疏性的約束條件。之后他們在2011年提出了基于L1/2稀疏約束的非負矩陣分解[4]，對豐度矩陣加入了L1/2范數的約束。2011年劉雪松提出了豐度分離性和平滑性約束的非負矩陣分解的方法,它考慮了端元之間的關系和每個端元的空間信息，從頻域和空間域分別對非負矩陣分解的結果進行約束。受蔡登教授基于圖正則化的非負矩陣分解方法的影響，許多學者把圖正則化的非負矩陣分解的方法引入到了高光譜混合像元的分解中。2013年Lu在GNMF的基礎上加入了L1/2范數的約束提出了圖正則化的L1/2非負矩陣分解算法[5]。

4 基于非負矩陣分解的高光譜解混未來研究方向

我們對于基于非負矩陣分解的高光譜解混的研究雖然取得了一定的效果，但是還有許多問題需要我們去解決。我認為基于非負矩陣分解的高光譜解混的未來研究可以從以下幾個方向進行展開：

1）現階段基于非負矩陣分解的高光譜解混的算法已經從簡單的單約束轉移到了雙約束，從單純的豐度稀疏約束改進到了基于空間結構化稀疏。因此深入挖掘高光譜數據的結構將是未來的一個研究方向。

2）將非負矩陣分解算法進行并行優化。隨著高光譜儀器中傳感器的在光譜和空間分辨率的提高，這將會導致大量的計算量，現在機器的處理速度將跟不上數據的計算量的增加。由于非負矩陣分解算法的特點很適合進行并行優化來提高計算的速度，因此我們可以利用并行計算對算法進行并行優化設計，來提高算法的效率。這將是未來研究的一個熱點。

3）現階段的研究大部分是基于線性光譜解混模型而進行，對于在非線性混合模型下的基于非負矩陣分解的高光譜解混算法目前研究不多，但是實際上高光譜圖像中的光譜是非線性混合的，因此建立一個準確，易于求解的非線性混合模型可能是未來一個潛在的研究熱點。

［1］D.D.Lee and H.S.Seung.Algorithms for nonnegative matrix factorization[J].Adv.Neural Inf.Process.Syst.,1999,10,13:556-562,2001.

［2］L.D.Miao and H.R.Qi.Endmember extraction from highly mixed data using minimumvolume constrained nonnegative matrix factorization[J].IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2007,3,45(3):765-777.

［3］S.Jia,Y.Qian.Constrained nonnegative matrix factorization for hyperspectral unmixing[J].IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2009,47(1):161-173.

［4］Y.Qian,S.Jia,J.Zhou,and A.Robles-Kelly.Hyperspectral unmixing via L1/2sparsity-constrained nonnegative matrix factorization[J].IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2011,11,49(11):4282-4297.

［5］X.Q.Lu,H.Wu and Y.Yuan.Manifold Regularized Sparse NMF for Hyperspectral Unmixing[J].IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2013,5,51(5):2815-2826.