一種具有可拓展性解空間的平面桿組機構運動綜合方法

一種具有可拓展性解空間的平面桿組機構運動綜合方法

朱立紅張良趙韓趙萍

合肥工業大學，合肥，230009

摘要：基于克利福德代數中的運動學映射理論，提出了一種新的具有可拓展性解空間的平面桿組機構運動綜合方法。針對無精確解或數學意義上的最優近似解不能滿足實際需求的情況，該方法可以根據需要來擴大擬合誤差容許范圍，進一步拓展解空間，從而獲得更多近似解。之后，從中選取最優的二桿組來組成四桿機構或并聯機構，實現給定的運動位姿。

關鍵詞：機構運動綜合；可拓展誤差空間；平面桿組；運動學映射

中圖分類號：TG156

收稿日期：2014-12-19

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51405128)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(2014HGCH0015)

作者簡介：朱立紅，女，1974年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院講師。主要研究方向為數字化設計技術、人機工程學。發表論文10余篇。張良，男，1973年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院講師。趙韓，男，1957年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院教授、博士研究生導師。趙萍(通信作者)，女，1987年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院副研究員。

A Novel Motion Synthesis Approach with Enlargeable Error Space Allowance for Planar Linkages

Zhu LihongZhang LiangZhao HanZhao Ping

Hefei University of Technology，Hefei，230009

Abstract：Using kinematic mapping theory in Clifford algebra, a new motion synthesis approach with enlargeable error space for planar linkages was proposed herein. This paper mainly focused on the situation when the given task yielded no exact solutions or the practical requirements that could not be realized by the mathematical optimal approximated solutions. By increasing error tolerance, the error space could be enlarged according to the requirements, thus more choices of approximated solutions could be introduced. After that, the optimal dyads may be selected to form a four-bar linkage or planar parallel linkages so as to realize the given task motion.

Key words：mechanism motion synthesis; enlargeable error space; planar linkage; kinematic mapping

0引言

平面桿件機構運動綜合是根據給定位置、軌跡或函數來確定平面桿件機構的類型和尺寸。國內外學者在連桿機構的分析與綜合理論研究方面已經取得了不少成果。Mruthyunjaya[1]對機構型綜合方法進行了總結，給出了二副桿件的空間變換形式和三副桿件的不同幾何構型，提出了用簡單構件替代現有構件來降低機構復雜度的方法。Freudenstein等[2]采用圖論研究平面機構的拓撲綜合問題。Erdman等[3]針對平面四桿機構的閉環向量方程組的求解，給出了系統的方法。Bottema等[4]用運動學映射的方法來解決運動學問題。Su等[5]提出了基于曲線/曲面公式的方法，將機構綜合問題轉化為多項式系統的求解問題，并利用homotopy算法獲取了最優解。黃茂林等[6]將機構分析過程與機構綜合過程有機地結合起來，建立了四邊形和五邊形環路方程，給出了對應的求解方法，解決了平面高級機構函數發生器的綜合問題。藍兆輝等[7]提出了基于軌跡局部特性的機構軌跡精確實現方法，提高了軌跡機構求解精度和設計速度。王知行等[8]提出了基于計算機技術的平面四桿機構綜合的數值比較法，提出了四桿機構的函數綜合、軌跡綜合和引導綜合的轉化方法，據此得到機構綜合的基礎解和優化后的滿意解。周洪等[9]將機架方向結構誤差的概念引入到曲柄搖桿機構的優化綜合模型之中，解決了在生成曲線和理想曲線之間選擇對應比較點的困難。褚金奎等[10]主要利用傅里葉變換的方法對機構進行軌跡與姿態的綜合。黃真等[11]致力于研究基于螺旋理論的末端瞬時運動約束法，利用運動螺旋、約束螺旋、螺旋系統線性相關等概念來研究并聯機構與空間機構的構型與尺度綜合。文獻[12-13]提出了平面曲線擬合的自適應方法，把機構綜合問題轉化為曲線自適應擬合問題，給出了平面近似圓點，建立了平面機構綜合的模型和自適應方法，在理論上闡明了平面四桿機構運動綜合問題存在最優近似解。Gao等[14]利用集合論方法，提出并聯機器人末端特征的GF(generalized function) 集的概念和定義，創立了并聯機器人機構的拓撲設計系統理論體系。戴建生等[15]將矩陣演算應用于變胞機構中描述其機構變化，預測機構的新構態。

根據經典Burmester理論，對于平面桿件機構運動綜合，當給定連桿運動平面的2～5個位置時，可以精確求解；當給定連桿運動平面5個以上的位置，或要求連桿機構的運動符合某種連續平面運動函數，或要求運動平面中的點按某運動軌跡運動時，只能得到近似解。在當前的各種運動綜合數學理論方法體系里，建立數學模型后，一般均可以得到數學意義上的最優解或精確解。但是很多情況下，這個數學意義上的最優解(具有最小的數學誤差)不能滿足實際要求，如鉸鏈的位置不合適、某些桿件過長或過短等。針對上述問題，設計者需要拓展實際機構允許的誤差空間，在更大誤差的范圍內尋找合適的拓展解來近似實現給定的運動。本文運用運動學映射的方法來解決這一機構綜合難題。

1數學模型的建立

在基于運動學映射的平面剛體運動分析法中[4，16]，平面的剛體運動可以看成由剛體上的一個點(d1，d2)的平動和繞該點作旋轉角度為φ的轉動兩部分組成。用M表示剛體上的某一點的運動姿態所確定運動坐標系Mxy，F表示剛體所在的固定坐標系OXY，如圖1所示。則動坐標系與固定坐標系之間的關系為

[XY1]T=H[xy1]T

(1)

圖1　平面剛體運動的坐標系

用Z=(Z1,Z2,Z3,Z4)來定義一個在四維空間中的點坐標，該四維空間被稱為平面運動的映射空間。令

(2)

該映射將運動平面中的位姿轉換為四維空間中的點。相應的，映射空間中的曲線可以表示單自由度運動，而曲面可以表示二自由度運動[17]。

2映射空間中的曲面擬合

我們在前期工作中發現，一個平面位姿如果可以由RR二桿組、PR二桿組或RP二桿組實現[17-18]，則該位姿轉換成的映射空間點Z必然滿足下列二次方程：

p3(Z2Z3+Z1Z4)+p4(Z1Z3+Z2Z4)+

p5(Z2Z3-Z1Z4)+p6Z3Z4+

(3)

該方程的參數pi(i=1，2，…，8)必須滿足以下2個附加條件：

(4)

因此針對二桿組的運動綜合問題可以轉化為二次曲面的代數擬合問題，可以由一個過約束的線性方程組Ap=0來表示，即

(5)

(6)

該線性擬合問題包含2個二次約束條件，求解分為2個步驟：

步驟1：在最小二乘法意義上，針對N個線性方程擬合問題求取最優一般解空間，得到p，然后從一般解空間中尋找滿足2個二次附加約束條件(式(4))的最優特定解。利用奇異值分解算法可以容易解決線性方程組的最小二乘法最優擬合問題。線性方程組Ap=0等價于pATAp=0，其過約束問題等價于求矩陣ATA的特征向量V。求出的8個特征向量對應的特征值可以反映各特征向量對應的最小二乘法擬合誤差。設矩陣ATA相應排列的特征向量為v1，v2，…，也就是構成一般解空間的基向量。設α、β、γ、δ等為若干待定實系數，則一般解空間為

p=αv1+βv2+γv3+δv4+…

(7)

將8個特征值按照從小到大順序排列，從小到大取出i(i=1,2,…,8)個特征值對應的i個特征向量，從而構成i維度的最優一般解空間。

步驟2：在最優解空間p中尋找能夠滿足式(4)的特定最優解。若要使齊次方程(式(4))有解，則p至少要包含3個待定系數，故所組成的最優一般解空間的維度至少為3，即

p=αv1+βv2+γv3

(8)

為了從該三維最優一般解空間中找到能滿足式(4)的最優特定解，將p代入式(4)，得到關于(α，β，γ)的2個齊次方程：

(9)

其中，Kij由特征值分解算法得到的3個特征向量中的元素決定。這2個齊次三元二次方程可以整理為1個一元四次方程，繼而直接根據求根公式求得解析解。因為該一元四次方程可能存在4個實根、2個實根或沒有實根的情況，則系數向量p對應的可能有4個解、2個解或沒有最優特定解。

此外，通過觀察最優特定解p的情況，可以確定二桿組的運動副類型：①如果p1=p2=…=p5=0，系數向量p就代表PP型二桿組；②如果p1=p2=p3=0，系數向量p代表PR型二桿組；③如果p1=p4=p5=0，系數向量p代表RP型二桿組；④否則，系數向量p代表RR型二桿組。

針對最常見的RR、PR、RP平面二桿組，通過以上步驟確定了運動副類型之后，可以利用系數向量解p的8個元素(p1～p8)的具體數據來進一步確定二桿組的具體參數：

2.1RR型二桿組

RR型二桿組(圖2a)表示的運動學約束為動坐標系中一個特定點(x，y)始終落在固定坐標系中的一個圓上，該圓的方程為

a0(X2+Y2)+2a1X+2a2Y+a3=0

(10)

利用所求得的系數向量p來確定該圓的方程，該圓的方程的系數關系可以表示為

a0∶a1∶a2∶a3=

(11)

動坐標系上這個特定點(x，y)也可以通過p求得：

(12)

2.2PR型二桿組

PR型二桿組(圖2b)代表的約束是動坐標系中特定點(x，y)始終落在固定坐標系中一條直線上。由于直線與圓的耦合性，當p1=p2=p3=0即a0=0時，RR型二桿組的圓方程將降階為直線方程：

2a1X+2a2Y+a3=0

(13)

因此PR型二桿組實際上是RR型二桿組的一種特殊形式。

2.3RP型二桿組

RP型二桿組(圖2c)代表的約束為動坐標系中一條特定直線l1x+l2y+l3=0始終與固定坐標系中一個特定圓相切(等價于始終穿過固定坐標系中的一個特定點)，(l1，l2，l3)為動坐標系M上直線的齊次線坐標，該直線總是通過固定坐標系F上的特定點(-a1，-a2，a3)。

(a)RR二桿組　　　(b)PR二桿組(c)RP二桿組 圖2　平面二桿組的類型

同樣地，利用系數向量p來確定該動直線方程的系數(l1，l2，l3)與其穿過的點坐標(-a1，-a2，a3) 的系數之間的比值關系：

(14)

3平面桿組機構解空間的拓展

根據經典Burmester理論，求解通過某5個位姿的二桿組，理論上可以找到最多4個二桿組符合條件，即求出的二桿組都可以精確地通過該5個位姿，這些二桿組為精確解；當位姿數目超過5時，一般不存在精確解，只存在近似解。設計者可以通過數值方法找到若干個最優二桿組，使給定的位姿獲得近似實現，這也是大多數現有的桿組機構運動綜合理論的求解思路。但是這種求解思路可能存在許多問題：①在很多情況下，即使給定的位姿數目為5時也無法求出精確解，即不存在任何能夠精確實現給定的5個位姿的二桿組；②在給定數學誤差范圍內(例如要求擬合誤差小于0.005)，很多情況下設計者無法得到任何實數解；③在很多實際機構綜合應用實例中，利用數學方法求得的具有“最小數學誤差”的解其實并不能滿足實際要求，如鉸鏈的位置不合適、某些桿件過長或過短等。

以上這些機構運動綜合過程中存在的問題都可能要求設計者在數學意義上“退而求其次”，降低對誤差的數學要求，在更大誤差的范圍內尋找合適的“拓展解”，從而使得給定的位姿得到較好的實現。

為了實現對解空間的拓展，本文對線性方程組Ap=0的擬合問題進行了研究。由于矩陣ATA的8個特征向量對應的特征值可以反映各特征向量對應的擬合誤差大小，所以若我們將特征值從大到小排列，并取最小的3個特征值對應的3個特征向量來構建“最優一般解空間”。之后，若將該特征向量代入式(4)無法求出實數解或所求的最優特定解不能滿足實際要求時，設計者可以擴大誤差容許范圍，將第4個最小的特征值對應的特征向量也引入一般解空間，構建四維最優一般解空間，進一步求取能夠滿足條件的拓展解。

取方程的最小的4個特征值對應的4個特征向量vα、vβ、vγ和vδ構成解空間的基向量。設α、β、γ、δ為4個實參數，則解空間中任意向量可以表示為

p=αvα+βvβ+γvγ+δvδ

(15)

由于p必須滿足2個附加條件(式(4))，將p代入式(4)，得到關于(α，β，γ，δ)的2個齊次二次方程：

(16)

其中，Kij由Zi(i=1，2，…，N)得到。因此，齊次參數(α，β，γ，δ)有無窮多個解可供選取。此時可以根據需要增加另外一個約束，例如給定RR型二桿組的固定鉸鏈中心的位置或中心圓圓心(動鉸鏈中心)的位置等[18]，來進一步確定有限數目的解。

4應用實例

為了進一步闡述本文提出的基于運動學映射的可拓展性運動綜合方法，本節將通過應用實例來詳細說明進行運動綜合的過程與步驟。擬設計一個康復輔助機構，用于幫助人體完成由坐姿到立姿的動作，欲實現的運動姿態為正常人從坐姿到立姿過程中腰部運動軌跡的5個采樣姿態，如圖3所示，A、B為人體腰部的2個標記點。此 5個位姿在照片中測量的具體數據見表1，縮放比例為1∶5。這些數據來自于我們對不同體型正常人從坐姿到站立過程的多次重復采樣建立的數據庫。從數據庫中選取與該病人體型最為接近的1組數據中的5個位姿，其中，(X，Y)為動坐標系原點位置，θ為動坐標系x軸與固定坐標系之間夾角。

圖3　坐姿到站立過程中腰部運動 5個采樣姿態(比例1∶5)

位姿1位姿2位姿3位姿4位姿5X(cm)-6.41-2.85-0.410.9Y(cm)-9.8-9.5-6.36.38.6θ(°)-30-5000

根據第3節所述流程，首先根據式(6)構建矩陣A，之后對矩陣進行奇異值分解變換。由前期工作[17-18]可知，對矩陣進行奇異值分解變換的過程即為對Ap=0進行最小二乘法擬合求解的過程。矩陣ATA有8個特征值，按照從大到小排序后，其中最小的3個特征值為0，如表2所示。

表2　矩陣A TA的8個特征值

由于至少需要3個特征向量才能保證式(3)有解，而特征值可以反映最小二乘法擬合誤差，故理論上應取3個0特征值對應的特征向量來求解齊次三元二次方程組(式(9))，此時該齊次三元二次方程組有精確解，即所求得的機構可以精確實現要求的5個位姿，這與經典的Burmester理論相吻合。但二元二次方程組在一些情況下將會無實數解，即在一些情況下不存在任何能夠精確實現給定5個位姿的二桿組。例如在上述康復輔助機構的實例中，利用包括Burmester理論在內的現有傳統機構綜合理論均無法找到精確通過5個采樣位姿(表1)的二桿組。在此，我們利用本文提出的可拓展性運動綜合理論，適度擴大誤差空間，將最小的非零特征值0.0107所對應的特征向量也包含進來，在四維特征向量空間中求解能夠實現給定位姿的二桿組。

4個特征向量對應特征值不全為0(最大的特征值為0.0107)，這說明在無法精確實現給定位姿的前提下，我們將擬合誤差范圍擴大至0.0107，在拓展后的誤差空間內求取近似解。將此4個特征向量代入式(4)，得到1個三元二次方程組，該方程組存在無窮多解，利用文獻[18]的方法，根據實際工作情況(康復機構所處的工作空間)添加一個額外約束條件：令固定鉸鏈的位置在X=-6豎直線上，該豎直線為工作空間現有的固定機架。如此將求得3個二桿組解，見表3。綜合考慮實際情況，我們選取第二組和第三組解，組成一個鉸鏈曲柄搖桿機構，該機構的實際產生位姿軌跡與給定的5個位姿見圖4，可以看出，即使在擴大擬合誤差范圍后，本方法求得的近似解依然可以較好地實現給定運動位姿。

表3擴展誤差空間加入額外約束后的近似解

cm

5結語

本文提出了一種新的平面桿組機構運動綜合方法，該方法可以根據實際需要對運動綜合的最優一般解空間進行拓展。針對精確解不存在或數學意義上的有限最優解不能滿足實際需求的情況，該方法通過引入更多特征向量，擴大擬合誤差容許范圍的方法來進一步拓展最優一般解空間，從而獲得更多近似解。可以根據實際需要從中選取最優的二桿組來組成四桿機構或并聯機構，使給定的運動位姿得到實現。最后借助一個五位姿運動綜合的實例，闡述了當無法利用Burmester理論得到誤差為0的精確解時，將數學誤差范圍擴大到0.0107，從而拓展了解空間，在0.0107的誤差范圍內求取到較為合適的二桿組解。本文所提方法可使機構運動綜合理論在實際設計過程中得到更好的應用。

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(編輯張洋)