基于有向圖的刀軸矢量優化研究

基于有向圖的刀軸矢量優化研究

劉紅軍1曹寧江1趙吉賓2

1.沈陽航空航天大學，沈陽，1101362.中國科學院沈陽自動化研究所，沈陽，110016

摘要：針對球頭銑刀的五軸數控加工，提出了一種基于有向圖的刀軸矢量優化方法。根據刀軸矢量數據量大的特點，提出了建立刀軸矢量有向圖的最小優化模型和算法。該方法能獲得全局刀軸矢量變化量最小的刀軸矢量序列，將可行域邊界上的刀軸矢量加入到有向圖的計算中，提高了算法的計算效率。仿真分析表明，該方法優化了刀軸矢量的連續性和光順性，對于最佳刀具姿態在可行域邊界上的加工具有一定的適用性。

關鍵詞：刀軸矢量；五軸數控加工；有向圖；可行域邊界；空間構造法

中圖分類號：TP391.7

收稿日期：2014-07-28

基金項目：遼寧省自然科學基金資助項目(2013024017)

作者簡介：劉紅軍，男，1971年生。沈陽航空航天大學機電工程學院副教授。主要研究方向為數控技術、數字化制造。發表論文25篇。曹寧江，男，1990年生。沈陽航空航天大學機電工程學院碩士研究生。趙吉賓，男，1970年生。中國科學院沈陽自動化研究所研究員。

Research on Tool Axis Vector Optimization Based on Graph

Liu Hongjun1Cao Ningjiang1Zhao Jibin2

1.Shenyang Aerospace University，Shenyang，110136

2.Shenyang Institute of Automation Chinese Academy of Sciences，Shenyang，110016

Abstract：According to the five axis NC machining of ball end milling, this paper presented a new method to optimize tool axis vector based on graph. Based on the characteristics of the cutter axis vector data, the minimum optimization model and algorithm of the cutter axis vector directed graph were proposed. This method can get global minimum cutter axis vector variation of cutter axis vector sequence and improve the computational efficiency of the algorithm by using the boundary of the feasible region of cutter axis vector joining in the directed graph calculation. Simulation and data analyses show that the proposed method improves the continuity and smoothness of cutter axis vector in a certain extent, and also has certain applicability in its optimal tool posture along the boundary of the feasible region.

Key words：tool axis vector; five-axis CNC machining; digraph; feasible domain boundary; space construction method

0引言

五軸數控加工是復雜零件高效加工的重要手段，使用非球頭刀可以在避免干涉的同時通過調整刀具位置和姿態，使刀具包絡曲面充分逼近理論設計曲面[1]。五軸數控加工中，刀具自由度的增加可以使刀具在一定范圍內任意可控，提高了對于復雜曲面類零件加工成形的適應性。然而刀軸矢量的任意可控也給刀具軌跡規劃帶來了新的課題——刀具位姿規劃。

刀具干涉處理是刀具位姿規劃中需要首先考慮的問題。Lee等[2]應用曲面的凸包性質來解決復雜曲面五軸數控加工中的全局干涉問題；Lee等[3]基于距離計算提出了CA算法，用于解決刀軸矢量與被加工曲面和周圍環境的干涉碰撞問題；Bi等[4]利用圖形顯卡中的遮擋查詢功能快速檢測干涉并且推廣了可視錐法的應用。

刀軸矢量的連續性、光順性是國內外的一個研究熱點和難點。Ho等[5]通過降低加工中的非線性誤差來得到較好的表面質量；Beudaert等[6]在機床坐標系下，通過光順機床關節運動優化刀軸矢量；畢慶貞等[7]提出了一個類似于彈簧力學的整體網格優化模型，對相鄰行刀軸矢量變化進行光順處理。

構造空間法(C-空間法)[8]最初用來表示物體在三維空間中的自由度，就是將三維空間具有確定大小、形狀的活動剛體轉化為空間內的一個點，就等于將三維空間中的剛體運動降維到二維空間中的點移動，在很大程度上降低了研究剛體運動的復雜度。Jun等[9]將構造空間法引入到五軸數控編程的刀軸矢量規劃中。本文基于構造空間法的基本思想，采用建立高斯球面映射的方法，在無干涉空間內直接規劃出滿足相關要求的刀軸矢量序列。

1點集可行域的建立

三維空間中，每一個刀觸點處刀具位置的改變都可以看成是刀軸矢量的變化。為了降低優化的復雜度，根據構造空間的基本思想，將三維空間中的刀軸矢量轉化成二維空間中的點。刀軸始終垂直于被加工曲面，因此可用被加工曲面上的點(α，β)表示工件坐標系下的刀軸矢量(i，j，k)。同時滿足加工工藝約束和幾何約束的點所形成的區域就是點集可行域。點集可行域中位于邊界處的點就形成了可行域邊界，如圖1所示[5]。圖1中，與黑色節點鄰近的白色節點組成了刀軸矢量可行域的邊界?？尚杏蜻吔绾瓦吔鐑人锌尚悬c構成了刀軸矢量可行域。

圖1　刀軸矢量點集可行域

傳統的可行域構造方法基于計算視覺中的邊緣檢測技術，通過這種檢測技術獲得滿足加工工藝約束和幾何約束的約束條件的刀軸矢量。這些刀軸矢量所構造的可行域空間和可行域邊界就是圖1中的白色區域。為了加快可行域邊界的確定，通常將刀軸矢量的構造空間進行網格細分，每一個網格節點對應一個刀軸矢量數據。這樣我們只需要對節點進行搜索，即可獲得可行域邊界。對于復雜曲面型腔類零件的五軸數控加工而言，最佳刀具姿態點通常位于可行域邊界處。這是因為可行域的邊界是由加工工藝約束和幾何約束共同確定的，而可行域邊界上的點是使刀具盡可能地貼合被加工曲面而不違反約束的極限位置。對于開闊曲面的加工而言，局部最佳刀具姿態通常是可行域邊界上刀具傾角最小的點。

考慮刀軸矢量序列的光順性和運動學性能時，局部最佳刀具姿態點就不一定是在可行域邊界上了。為了獲得整體最優的刀軸矢量序列，我們在選取最佳刀具姿態點時將考慮可行域內任意的可行點。刀具的矢量域范圍為-90°～90°，本文將刀軸矢量域以每3°為網格的單位距離進行網格劃分，以下簡稱3×3網格。取網格中每一節點的矢量構造刀具實體，通過干涉檢測，并依據檢測結果對所有刀軸矢量進行可行域和非可行域的歸類處理。

2刀軸矢量變化量全局最小優化模型

工件坐標系下，刀觸點軌跡上第i點的刀軸矢量為υi，因為|υi|=1，所以把矢量υi的起點平行地移到原點O后，υi的終點就是以O點為球心的單位球面上的點，我們把這種映射稱為刀軸矢量的高斯球面映射。

如圖2所示，設第i個刀觸點處的刀軸矢量為υi，第i+1個刀觸點處的刀軸矢量為υi+1，那么兩個相鄰刀觸點之間的刀軸矢量變化量可以用刀軸矢量間的夾角表示：

θ(υi，υi+1)=arccos(υi·υi+1)

(1)

刀觸點序列上整體刀軸矢量變化量之和可表示為

(2)

式中，n為刀觸點總數。

圖2　刀軸矢量的高斯球面映射

因此，整體刀軸矢量的光順性優化模型就可以轉化為，以沿刀具進給方向刀軸矢量變化量最小為目標的優化模型：

(3)

其中，C為可行域中節點的集合。θmax為相鄰刀軸矢量變化的閾值(根據進給速度和走刀步長共同計算獲得)，反映在高斯球面上就是球面上兩點的弧長，閾值越小，弧長越短，高斯球面上的離散點的分布就越密集。

3全局最小優化模型求解

對于點集可行域而言，每一個刀觸點處都有一個刀軸矢量。相鄰刀軸矢量可行域內，任意兩個刀軸矢量都可以認為是相關的，都是可以存在于一個刀軸矢量序列內的。對刀軸矢量變化量全局最小優化模型(式(3))的求解可以簡化為求從初始刀軸矢量到刀觸點末端點處所有刀軸矢量的最短路徑，該條路徑上的這組刀軸矢量即為所求的最優的刀軸矢量。因此可以采用迪杰斯特拉算法進行求解。

前文將刀軸矢量域進行3×3的網格劃分，某一刀觸點處的刀軸矢量可行域最多可包含1800個矢量，而一個零件的刀具軌跡上往往需要幾萬甚至十幾萬個刀觸點。由于頂點數極為巨大，因此，我們不但需要對頂點進行集域的劃分，而且需要在求解的過程中對原有數據算法進行改進。加工時，走刀路徑是沒有重復的，這種情況下刀軸矢量就可以按照加工時刀觸點的順序建立刀軸矢量的有向圖：假設每個可行刀軸矢量都是有向圖中的一個頂點，且頂點i都唯一屬于集合C(pi)。兩個相鄰集合內的頂點可以任意相關聯，連接兩頂點的連線稱為弧。初始刀軸矢量或前一刀觸點處的刀軸矢量稱為弧頭，后一刀觸點處的刀軸矢量稱為弧尾。將相鄰刀軸矢量的變化量θ(υi，υi+1)設置為與弧相關的權。θ(υi，υi+1)超過相鄰刀觸點處刀軸矢量的最大變化閾值θmax時，將這條弧設置為無效并從有向圖中剔除，從而建立帶權有向圖。建立有向圖后，將初始刀軸矢量與刀觸點軌跡末端點的每一刀軸矢量進行連通性檢測。從初始點沿刀觸點軌跡的進給方向向前逐一進行搜索，求出每一頂點到初始點的最小權值并記錄；計算初始點到第二刀觸點處所有可行刀軸矢量的權值，并記錄；計算第三刀觸點處每一刀軸矢量到初始點的最小權值，記錄該權值和所對應的頂點路徑；依次向前搜索直至軌跡末端。最后，比較末端每一路徑的權值，找出對應的最短路徑，以提高算法運行的效率。

圖3　點集域的刀軸矢量有向圖(υ i為刀軸矢量)

4算例分析

算例1通過ACIS造型引擎建立工件幾何模型，根據已知刀觸點序列，構造直徑為10mm的球頭刀具模型；在每一刀觸點處取該點刀具傾角α(0°≤α≤90°)、刀具擺角β(-90°≤β≤90°)的刀軸矢量變化區域，并以3×3進行網格劃分。根據檢測結果對網格節點上的刀軸矢量進行可行域劃分，進而建立點集刀軸矢量可行域。最后通過第3節所提算法進行全局刀軸矢量計算。計算結果如圖4所示，通過對機床各旋轉軸的角度變化進行分析可以發現，我們所求的刀具加工路線的刀軸矢量變化最小，但刀軸矢量變化不均勻，刀軸矢量序列不平滑。

(a)3D仿真效果

(b)旋轉軸角度變化曲線 圖4　3×3網格最短路徑刀軸矢量優化

(a)3D仿真效果

(b)旋轉軸角度值 圖5　網格最短路徑刀軸矢量優化

算例2將算例1中3×3網格變為1×1網格，再進行計算。計算結果如圖5所示，對比圖4我們可以發現，各旋轉軸角度變化明顯均勻，但網格尺寸的減小極大地增加了刀軸矢量計算的時間。3×3網格劃分進行計算所需要的計算時間為3294.21s。將3×3網格變為1×1網格再度進行計算，所需要的計算時間大大增加，為276 581.67s。

算例3從算例2中我們可以發現，可行域內存在大量對最終優化結果無實際影響的刀軸矢量，占用了大量的計算資源，因此算例3沿用算例2的網格劃分尺寸，只提取出可行域邊界上的刀軸矢量加入有向圖，通過計算比較每一路徑末端的權值來確定高斯球面上對應的最短路徑，從而確定出光順性最佳的路徑。如圖6所示，我們可以發現各旋轉軸角度更為均勻，刀具路徑更為光順。另外，本次計算總耗時為546s，相對算例1和算例2的計算時間大為縮短。

(a)3D仿真效果

(b)旋轉軸角度值 圖6　可行域邊界點集的最短路徑刀軸矢量優化

5結語

基于空間構造法對刀具加工軌跡進行優化，在一定程度上解決了刀軸矢量不連續、不光順的問題，同時得到了滿足機床運動要求的刀具軌跡。對于最佳刀軸矢量位于可行域邊界上的實例，本文算法可快速計算出刀軸矢量序列。

本方法仍存在一定的不足：刀軸矢量優化方法雖然能獲得全局刀軸矢量變化量最小的刀軸矢量序列，但精度受網格尺寸的影響較大，網格劃分越細，精度越高。

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(編輯張洋)