基于RCSA的深孔內圓磨床主軸端點頻響函數預測

基于RCSA的深孔內圓磨床主軸端點頻響函數預測

李孝茹朱堅民張統超王健

上海理工大學，上海，200093

摘要：基于響應耦合子結構分析法預測了深孔內圓磨床主軸端點的頻響函數。首先對磨床主軸進行子結構劃分，計算各子結構自由狀態下的頻響函數矩陣，然后順序剛性耦合各子結構的頻響函數矩陣，對軸承支撐點使用結構修改法修改軸承約束下的已耦合子結構頻響函數矩陣，直至耦合到最后一個子結構，得到主軸端點的頻響函數。以某深孔內圓磨床為研究對象，分別基于該方法和有限元法，對其主軸端點的頻響函數進行預測，并對其進行實驗測試。實驗及分析結果表明：該方法預測精度高于有限元分析方法預測精度、計算速度快，便于深孔內圓磨床主軸系統的結構優化。

關鍵詞：深孔內圓磨床；主軸端點；頻響函數預測；響應耦合子結構分析；結構修改法

中圖分類號：TH113；TG581.2

收稿日期：2015-04-28

基金項目：國家自然科學基金資助項目(50975179)；上海市教委科研創新項目(11ZZ136)；上海市科委科研計劃資助項目(13160502500)；滬江基金資助項目(D14005)

作者簡介：李孝茹，女，1980年生。上海理工大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為精密檢測、機床動力學等。朱堅民(通信作者)，男，1968年生。上海理工大學機械工程學院教授、博士研究生導師。張統超，男，1990年生。上海理工大學機械工程學院碩士研究生。王健，男，1989年生。上海理工大學機械工程學院碩士研究生。

Frequency Response Prediction of Deep Hole Internal Grinder Spindle

Endpoint Based on Receptance Coupling Substructure Analysis

Li XiaoruZhu JianminZhang TongchaoWang Jian

University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai，200093

Abstract：Based on RCSA, this paper predicted the frequency response function of the endpoint of a deep hole internal grinder spindle. At first, the method separated the model of grinder spindle into several subsections to calculate their free-state frequency response function (FRF) matrices, then rigidly coupled the FRF matrices of each substructure sequentially, revised the FRF matrices of the coupled substructure with structural modification method at the support points of bearings, coupled till to the last substructure, then the FRF of the endpoint of grinder spindle was calculated．With a deep hole internal grinder spindle system as the research object, the paper predicted the FRF of the spindle endpoint through proposed method and finite element method, meanwhile a group of FRF data were collected by experiments．Experimental results indicate that this method, with higher prediction precision and faster calculation speed, is better in the structure optimization of the deep hole internal grinder spindle system.

Key words：deep hole internal grinder; spindle endpoint; frequency response characteristic prediction; receptance coupling substructure analysis(RCSA); structural modification method

0引言

深孔內圓磨床主軸系統的動態特性是磨床整機動態性能的重要組成部分，主軸端點的頻響函數是主軸系統動態特性的直接反映，對磨床的磨削穩定性、極限磨削速度、加工精度、可靠性和壽命等有顯著影響[1-2]。深孔內圓磨床主軸由于長徑比大、支撐剛性差等原因，其端點的動態性能往往低于其他類型磨床并容易產生磨削顫振。因此在深孔內圓磨床主軸系統的設計階段，準確、快速地預測其端點的頻響函數，對于主軸結構及其參數的優化設計具有重要意義。

目前，有限元法是預測磨床主軸端點頻響函數的主要方法。文獻[3]運用ANSYS對超高速磨床主軸系統進行了建模和動力學分析，對其固有頻率、振型和臨界轉速進行了預測；文獻[4]考慮軸承剛度參數和螺栓聯結結合面參數，建立了某高速外圓磨床電主軸系統的有限元模型，通過理論模態分析了主軸系統的固有頻率和模態振型，并通過實驗模態測試驗證了有限元分析結果的正確性；文獻[5]在ANSYS中建立了某軋輥數控磨床主軸系統的有限元模型，通過模態分析和諧響應分析得到了主軸系統的頻響函數。以上研究使用有限元法預測磨床主軸系統的頻響函數時，有限元法建模過程復雜、計算效率低，且模型一旦建立則不便在其結構參數的優化中動態修改，故難以用于深孔內圓磨床主軸系統的結構優化。

響應耦合子結構分析(receptance coupling substructure analysis，RCSA)是銑刀刀尖點頻響函數預測的最有效方法，它將銑床主軸系統劃分為若干子結構(各子結構的頻響函數矩陣可通過梁模型簡化理論計算、有限元模型計算或實驗模態測試等方法獲得)，再通過響應耦合各子結構頻響函數矩陣預測出刀尖點的頻響函數[6-8]。由于該方法預測精度高、計算簡單，國內外學者對其進行了大量研究[9-11]。深孔內圓磨床主軸長徑比大，其幾何結構和銑床主軸-刀柄-銑刀系統類似，都可視為多段梁結構耦合而成，因此可基于RCSA預測其端點的頻響函數。本文據此提出了基于RCSA的深孔內圓磨床主軸端點頻響函數預測新方法，以某深孔內圓磨床為研究對象，基于本文方法和有限元法分別對其主軸端點的頻響函數進行預測和實驗測試，得到了預期的結果。

1深孔內圓磨床主軸端點頻響函數預測原理

1.1主軸系統各子結構自由狀態下的響應耦合分析

深孔內圓磨床主軸系統的典型結構如圖1所示，細長的主軸安裝在殼體中，主軸左端、右端分別由一組面對面安裝的角接觸軸承支撐。砂輪安裝在主軸的左端點O1(O1為砂輪安裝點，O2為皮帶輪安裝點)處，主軸在該點的頻響函數反映了整個主軸系統的動態特性，與機床的磨削精度、速度和穩定性直接關聯，本文研究此端點處頻響函數的預測方法。

圖1　深孔內圓磨床主軸系統的典型結構

圖1中，深孔內圓磨床主軸由多段均勻圓柱梁和兩段梯形圓柱梁結構組成，可將其按照圓柱梁的段數劃分為相同數目的子結構，即子結構A～子結構K，如圖2所示。

圖2　深孔內圓磨床主軸系統子結構劃分

圓柱梁子結構的頻響函數矩陣直接由梁模型計算得到。為了計算梯形圓柱梁子結構的頻響函數矩陣，可根據等質量法將其簡化為等直徑圓柱梁。圖2中，假設梯形圓柱梁B兩端圓截面的直徑分別為d1和d2，則其等效的等直徑圓柱梁直徑為

(1)

通過這種簡化后，主軸的每個子結構均為等直徑圓柱梁。下面以圖2中兩圓柱梁A和B為例，說明主軸系統子結構之間的耦合過程。

如圖3所示，子結構A和子結構B響應耦合構成子結構A-B。考慮平動和轉動兩個自由度，子結構A的頻響函數矩陣表示為

(2)

式中，Hij、Lij、Nij和Pij分別為位移/力、位移/力矩、轉角/力以及轉角/力矩的頻響函數，i，j=A1，A2；xi、θi分別為子結構A在i點的位移和轉角響應；fj、mj分別為施加在子結構A在j點的作用力和作用力矩。

圖3　響應耦合子結構分析法原理圖

子結構A的頻響函數矩陣Aij(i=j時為原點頻響函數，i≠j時為跨點頻響函數)可統一表示為

(3)

式(3)中，每個子矩陣Aij包含對應點的頻響函數，例如梁A的A1點頻響函數矩陣為

(4)

同理，子結構B的頻響函數矩陣可表示為

(5)

對于由子結構A和B剛性耦合而成的子結構A-B，設其頻響函數矩陣為

(6)

則子結構A-B的頻響函數矩陣與子結構A、B的頻響函數矩陣之間的關系為[12]

C11=A11-A12(A22+B11)-1A21

(7)

C12=A12(A22+B11)-1B12

(8)

C21=B21(A22+B11)-1A21

(9)

C22=B22-B21(A22+B11)-1B12

(10)

由式(7)～式(10)可知，耦合后子結構的頻響函數矩陣可通過各子結構頻響函數矩陣的數學運算得到。將圖2中的子結構A～子結構K按順序剛性耦合，即子結構A與子結構B耦合構成的結構AB，再與子結構C耦合，構成ABC，…，直至耦合到子結構K，可得到主軸在自由狀態下其端點的頻響函數。

1.2主軸系統各子結構頻響函數計算

子結構A～子結構K在自由狀態下各自的頻響函數矩陣可通過EB梁模型或Timoshenko梁模型計算得到[13-14]。EB梁模型計算簡單、可靠，適用于細長梁的頻響函數計算，但文獻[15-16]的研究表明：EB梁模型假設梁只產生彎曲變形，忽略了轉動慣量和剪切變形，當梁的長徑比較小時，EB梁的計算頻響函數誤差較大。Timoshenko梁模型考慮橫向剪切變形的影響，對于長徑比較小的梁，Timoshenko梁的計算頻響函數具有較高的計算精度。盡管深孔內圓磨床主軸的整體結構長徑比較大，但劃分子結構后各子結構長徑比較小，因此本文基于Timoshenko梁模型計算主軸各子結構的頻響函數[17]。兩端自由的Timoshenko梁的特征方程為

(11)

D11=(α-λ)(cosα-coshβ)

(12)

(13)

(14)

D22=λα(coshβ-coshα)

(15)

(16)

(17)

(18)

式中，ρ、E、G分別為梁材料的密度、彈性模量和剪切模量；A、I、L分別為梁的截面積、截面慣性矩和長度；k′為梁的剪切系數，k′=6(1+υ)/(7+6υ)；υ為梁材料的泊松比。

根據特征方程(式(11))，可以獲得梁的r階彈性模態以及相應模態的量綱一頻率參數αr、βr，并由此確定梁的平動振型函數：

(19)

同理可得梁的轉動振型函數:

(20)

(21)

(22)

根據振型函數的正交性可得

(23)

令r=s=1, 2, …,n，可求出常數Ar。

(24)

(25)

以圓柱梁的左截面中心為坐標原點，梁軸線方向為x軸，建立圖4所示的坐標系。

圖4　兩端自由的Timoshenko梁坐標定義

圖4中，兩端自由的Timoshenko梁模型的頻響函數為

(26)

(27)

(28)

(29)

j,k=1,2

將式(19)、式(24)和式(25)代入式(26)～式(29)，j=k=1，可得圖4中端點1的原點頻響函數：

(30)

(31)

(32)

(33)

同理，當j=1，k=2時，可得端點1的跨點頻響函數；當j=k=2時，可得端點2的原點頻響函數；當j=2，k=1時可得端點2的跨點頻響函數。

1.3主軸在軸承支撐下各子結構頻響函數矩陣的耦合

以上通過RCSA得到深孔內圓磨床主軸自由狀態下其端點的頻響函數。實際的磨床主軸由前后4個軸承支撐(如圖1所示)，并且軸承的支撐剛度對主軸端點的頻響函數有較大的影響，因此必須考慮軸承的支撐約束，建立軸承支撐下的主軸端點的頻響函數。

本文考慮軸承的剛度和阻尼對主軸系統動態特性的影響，使用結構修改法[18]建立軸承支撐下的主軸端點頻響函數預測模型。將軸承對主軸的支撐簡化為若干個平動和轉動彈簧-阻尼單元，根據結構修改法對主軸階梯梁重新進行子結構劃分，如圖5所示，圖中，U為轉動彈簧-阻尼單元，V為平動彈簧-阻尼單元。

圖5　具有軸承支撐的主軸系統子結構劃分

圖6所示為圖5中子結構A～D耦合成子結構R后，再引入軸承約束U、V，通過修改子結構R的頻響函數矩陣確定新的子結構R′頻響函數矩陣的原理。

圖6　結構修改法耦合原理

圖6中，假設子結構R的質量矩陣、剛度矩陣及阻尼矩陣分別為M、K和C，在簡諧力F的作用下子結構R的位移和轉角響應為

x=(K-ω2M+iωC)-1F

(34)

子結構R的頻響函數矩陣可以表示為

α=(K-ω2M+iωC)-1

(35)

假設子結構R′的頻響函數矩陣為

ξ=[(K+ΔK)-ω2(M+ΔM)+iω(C+ΔC)]-1

(36)

式中，ΔM、ΔK、ΔC分別為子結構R的質量、剛度和阻尼的變化量。

式(35)、式(36)兩邊求逆得

ξ-1=α-1+D

(37)

D=ΔK-ω2ΔM+iωΔC

(38)

式中，D為動態結構修改矩陣。

式(37)的兩邊左乘α、右乘ξ可得

α=ξ+αDξ

(39)

由式(39)解得修改后的頻響函數矩陣：

ξ=(I+αD)-1α

(40)

(41)

(42)

式中，ky、kθ、cy、cθ分別為軸承的徑向剛度、轉動剛度、徑向阻尼和轉動阻尼的動態結構修改參數。

根據式(7)～式(10)，依次將子結構A～D偶合成子結構R，將子結構R的頻響函數矩陣記為

(43)

修改頻響函數矩陣P中的元素排列順序為[18]

(44)

則子結構R′的頻響函數矩陣為

αP′=(I+αPD)-1αP

(45)

式中，I為單位矩陣。

對圖5所示的磨床主軸系統，首先對主軸進行子結構劃分，按照式(26)～式(29)確定各子結構的頻響函數矩陣；根據式(7)～式(10)將各子結構順序剛性耦合，耦合過程中，遇到軸承支撐時，把對應軸承參數Ky和Kθ代入式(41)，將式(41)、子結構R頻響函數矩陣元素重排后的新矩陣(式(44))及單位矩陣I代入式(45)，可得到軸承約束下的耦合子結構頻響函數矩陣，然后按照同樣方法，繼續根據式(7)～式(10)與其余各子結構順序剛性耦合，最后得到整個主軸端點的頻響函數矩陣，確定主軸砂輪安裝點的位移/力頻響函數H11。

2主軸端點頻響函數預測實例

2.1本文方法預測

圖7　磨床主軸測試實物圖

以圖7所示的某深孔內圓磨床為研究對象，應用本文方法對其主軸端點的頻響函數進行預測。

首先對該磨床主軸進行子結構劃分，根據主軸系統的結構特征劃分成子結構A～子結構L，如圖5所示。子結構B和子結構K是梯形圓柱梁，其梯度比較小，分別為0.1°和0.144°，可以根據式(1)將其簡化為等直徑圓柱梁，簡化后各子結構的幾何尺寸如表1所示。

表1　主軸各子結構的幾何尺寸

主軸的材料為鋼，其密度ρ=7800kg/m3，彈性模量E=200GPa，泊松比υ=0.3，阻尼因子γ=0.003。主軸固定端支撐軸承的徑向剛度為880MN/m，浮動端支撐軸承的徑向剛度為520MN/m，角接觸軸承具有自動調節功能，其轉動剛度和阻尼均為0。

根據本文方法得到磨床主軸砂輪安裝點的頻響函數矩陣，其中位移/力頻響函數的實部和虛部如圖8所示。

(a)實頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖8　本文方法預測的主軸端點頻響函數曲線

2.2有限元法預測

2.2.1主軸系統有限元模型的建立

為了與本文方法預測結果進行對比，使用有限元法對磨床主軸左端點處的頻響函數進行預測。在SolidWorks軟件中建立主軸系統的實體模型，導入HyperMesh軟件中建立主軸系統的有限元模型。

(1)實體模型簡化。為了使有限元網格劃分生成的單元形狀合理，提高計算分析的精度和效率，在建立有限元模型前，對實體模型作以下簡化：對模型中的倒角、倒圓均作直線化處理；忽略主軸兩端的聯結螺紋，以等直徑圓柱梁代替；忽略有限元計算結果影響小的殼體、套筒、端蓋等零件。

(2)網格化分。整個模型的單元類型均選擇ANSYS中的Solid95實體單元(20節點六面體單元，具有較高的計算精度)。在HyperMesh軟件中通過體分割進行網格劃分，共劃分約35.5萬個Solid95單元。

(3)軸承結合部建模。軸承結合部的剛度是影響主軸系統有限元計算結果正確性的關鍵因素。采用ANSYS軟件提供的自定義MATRIX27剛度單元，忽略軸承阻尼對固有頻率的微小影響，根據軸承剛度模擬結合部的接觸特性。將軸承內圈固定在主軸上，使用MPC184單元將軸承內外圈分別剛性耦合到2個獨立的節點上，再使用2個剛度單元將2個節點在軸向、徑向分別聯結，建立的軸承結合部模型如圖9所示，主軸系統軸承的固定端徑向剛度為880MN/m，浮動端徑向剛度為520MN/m。

圖9　軸承結合部的建模

(4)邊界條件。根據主軸系統的實際約束情況，對所有軸承外圈表面的節點施加了全約束。

2.2.2主軸系統理論模態分析

考慮材料阻尼因子，在ANSYS中使用QRDamped法進行模態求解，獲得主軸系統前6階模態振型和固有頻率，分別如圖10和表2所示。

(a)第1階模態振型

(b)第2階模態振型

(c)第3階模態振型

(d)第4階模態振型

(e)第5階模態振型

(f)第6階模態振型 圖10　主軸系統前6階模態振型

本文方法(Hz)有限元法(Hz)實測(Hz)本文方法誤差(%)有限元法誤差(%)1115108.3113.11.74.22206181.2197.64.38.33299-293.71.8-4347325342.61.35.15--561.9--66416456341.11.77-947.9926-2.4

由圖10可知，主軸系統第1階模態振型為1階彎曲振動，第2階模態振型為扭轉振動，第3階模態振型為2階彎曲振動，第4階模態振型為3階彎曲振動，第5階模態振型為主軸右端彎曲振動，第6階模態振型為4階彎曲振動。

2.2.3主軸系統諧響應分析

為了獲得主軸端點的頻響函數，對主軸系統進行諧響應分析。在主軸端點沿Z向(豎直向下)施加作用力Fz=1N，在ANSYS中使用Modalsuperposition法進行諧響應分析，并提取主軸端點Z方向的位移Dz，經過計算得到主軸端點的頻響函數曲線，如圖11所示。

(a)實頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖11　有限元法預測的主軸端點頻響函數曲線

3實驗研究

3.1實驗模態測試

為了驗證本文方法和有限元法預測結果的正確性，使用錘擊法對磨床主軸砂輪安裝點進行模態測試，獲得其實測頻響函數。實驗中使用Kistler9724A型激振力錘對主軸砂輪安裝點施加激勵力，使用BK4525B型三向加速度傳感器拾取主軸端點振動信號，通過搭載NI-9234動態信號采集模塊的NIcDAQ-9172數據采集系統對激勵力以及主軸端點的加速度信號進行同步采集，使用ModalVIEW模態分析軟件進行模態分析，模態測試原理如圖12所示。

圖12　實驗模態測試原理圖

在ModalVIEW軟件中通過最小二乘復頻率法對實測加速度頻響函數進行曲線擬合和模態參數識別。為了便于與前述預測頻響函數進行對比，根據HD(ω)=-HA(ωw)/ω2將實驗模態測試得到的加速度頻響函數轉換為位移頻響函數，其中，HA(ω)、HD(ω)分別為磨床主軸砂輪安裝點處的加速度頻響函數、位移頻響函數。最終得到的主軸端點實測位移頻響函數曲線，如圖13所示。

(a)實頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖13　實測的主軸端點頻響函數曲線

3.2結果分析

將本文方法得到的預測頻響函數曲線、有限元法得到的預測頻響函數曲線與實測的頻響函數曲線放在同一個圖中進行對比，如圖14所示。

(a)實頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖14　主軸端點的預測、實測頻響函數對比

從圖14a可以看出，本文方法、有限元法和實測得到的實頻特性曲線整體上一致。在第1階固有頻率處，本文方法獲得的頻響函數比有限元法獲得的頻響函數更加接近實測結果。在其余幾階固有頻率處，有限元法得到的頻響函數比本文方法得到的頻響函數更接近實測頻響函數。實際磨削加工過程中，主軸系統的第1階固有頻率對加工性能的影響最大，而其余幾階固有頻率對加工性能的影響相對較小。從圖14b可以看出，本文方法和有限元法得到的虛頻特性曲線也比較接近，但是均與實測虛頻特性曲線有一定的差異，引起這種差異的主要原因是本文實測得到的是加速度頻響曲線，為了與有限元法和本文方法預測的位移頻響曲線進行對比，需要對加速度頻響函數進行兩次積分，正是兩次積分中的積分誤差導致了實測結果與預測結果的偏差。

為了進一步分析本文方法預測的頻響函數的準確性，比較本文方法、有限元法和實測頻響函數的前7階固有頻率。從表2可知，本文方法和有限元法得到的頻響函數均存在模態丟失，如本文方法得到的固有頻率丟失了第五、第七階模態。由于實際磨削加工往往重點關注前三階固有頻率，故可忽略本文方法中的模態丟失。有限元法得到的頻響函數丟失了第三、第五階模態。本文方法確定的固有頻率和實測固有頻率最大相對誤差為4.3%，有限元法和實測得到的固有頻率最大相對誤差為8.3%。

綜上所述，可認為本文方法確定的預測頻響函數比有限元法更接近實測頻響函數。

此外，本文使用ANSYS13.0對磨床主軸左端點處的頻響函數(0～1000Hz，頻率間隔0.5Hz)進行計算，計算工作站使用Intel(R)Xeon(R)CPU，2個處理器(每個處理器具有6核)的主頻都是2.93GHz，內存48GB，計算所用時間大約為4min。在相同的計算條件下，運用本文方法計算磨床主軸左端點處的頻響函數耗時不到30s。可以看出，本文方法的計算效率較高。

另外，有限元法采用的是數值計算方法，為非解析方法，只能利用數值計算得到預測結果。本文方法推導了頻響函數的解析解，可在任意結構參數下直接利用相關公式計算頻響函數，且計算簡單，結構參數易于修改，便于深孔內圓磨床主軸的改進設計和動態性能優化。

4軸承剛度對主軸端點動態特性的影響

軸承支撐作為主軸的重要邊界條件，其徑向剛度是影響磨床主軸端點動態特性的關鍵因素之一。基于本文方法建立的深孔內圓磨床主軸端點頻響函數預測模型可以方便地分析出軸承剛度對主軸端點頻響函數的影響。由于軸承阻尼很小且不影響固有頻率，故本文只研究軸承剛度的變化對主軸端點動態特性的影響。

4.1固定端軸承徑向剛度的影響

根據上文可知，深孔內圓磨床主軸系統主要由固定端和浮動端兩處軸承支撐，首先研究固定端軸承徑向剛度對主軸端點動態特性的影響。保持浮動端軸承的徑向剛度kyr=5.2×108N/m不變，固定端軸承徑向剛度分別在原剛度kyf=1.76×109N/m基礎上增加50%和減小50%，即取2.64×109N/m和8.8×108N/m，軸承徑向剛度變化前后預測的頻響函數曲線如圖15所示。

(a)實頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖15　固定端軸承徑向剛度對主軸端點頻響影響

由圖15可知，在軸承徑向剛度增大50%時，系統前三階固有頻率分別增加了0、0.5%和0.7%。隨著模態階次的增加，軸承徑向剛度對固有頻率的影響逐漸增大；前三階固有頻率處的實部幅值分別減小10%、增加7%、增加7%，且隨著模態階次的增加，其實部幅值先減小后增大。第1階固有頻率處的實部幅值隨軸承徑向剛度的增加而明顯減小，因此提高固定端軸承的徑向剛度有利于提高機床的磨削穩定性。當軸承徑向剛度減小到原軸承徑向剛度的50%時，固有頻率及其實部幅值與剛度增大時的變化趨勢相反。

4.2浮動端軸承徑向剛度的影響

保持固定端軸承徑向剛度kyf=1.76×109N/m不變，浮動端軸承徑向剛度在原剛度kyr=5.2×108N/m基礎上分別增加50%和減小50%，即取7.8×108N/m和2.6×108N/m，軸承徑向剛度變化前后預測的頻響函數對比如圖16所示。

(a)實頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖16　浮動端軸承徑向剛度對主軸端點頻響影響

由圖16可知，隨著主軸浮動端軸承徑向剛度的增大，系統前三階固有頻率分別減小3%、3.5%和3%。相對固定端軸承，浮動端軸承剛度對固有頻率的影響較大。第一階固有頻率處實部幅值減小5%，第二、第三階固有頻率處幅值基本沒有變化。因此，浮動端軸承徑向剛度的增加會減小系統第一階固有頻率，不利于機床磨削穩定性的提高。

5結論

(1)提出了一種基于RCSA的深孔內圓磨床主軸端點頻響函數的預測新方法。該方法首先根據磨床主軸的結構進行子結構劃分，并基于Timoshenko梁模型計算各子結構的頻響函數矩陣；然后使用結構修改法引入軸承的剛度；最后將各子結構進行剛性耦合，得出主軸端點的頻響函數。

(2)以某深孔內圓磨床為研究對象，基于本文方法、有限元法分別對主軸端點的頻響函數進行了預測，并與實測結果進行對比分析。結果表明：本文方法得到的預測頻響函數曲線與實測頻響函數曲線總體趨勢一致，與有限元法相比，本文方法更加接近實測頻響函數曲線，且可在任意結構參數下直接利用公式得到頻響函數，計算更加簡單快速。

(3)基于本文方法預測模型分析了軸承徑向剛度對主軸端點頻響特性的影響，分析結果表明：固定端軸承徑向剛度對主軸端點的固有頻率影響較小，對頻響函數的幅值影響較大；浮動端軸承徑向剛度對主軸端點的固有頻率影響較大，對頻響函數的幅值影響較小。

參考文獻：

[1]胡如夫，孫慶鴻，陳南，等．高精度內圓磨床結構動態優化設計研究[J]．中國機械工程，2002，13(18)：1542-1544.

HuRufu，SunQinghong，ChenNan，etal．ResearchonStructureDynamicOptimizationDesignofHigh-precisionofInternalGrinder[J].ChinaMechanicalEngineering，2002，13(18)：1542-1544.

[2]周曉玲，汪中厚，陳琪華，等．基于Pro/MECHANICA的深孔內圓磨床內圓磨具的精確建模及模態分析[J]. 制造業信息化，2006(1)：42-44.

ZhouXiaoling，WangZhonghou，ChenQihua，etal．AccurateModelingandModalAnalysisofDeepHoleGrindingToolsBasedonPro/MECHANICA[J]．JournalofManufacturingAutomation,2006(1)：42-44.

[3]于天彪，王學智，關鵬，等．超高速磨削機床主軸系統模態分析[J]．機械工程學報，2012，48(17)：183-188.

YuTianbiao，WangXuezhi，GuanPeng，etal．ModalAnalysisofUltra-high-speedGrindingSpindle[J]．JournalofMechanicalEngineering，2012，48(17)：183-188.

[4]劉杰，李蓓智，楊建國，等．高速外圓磨床電主軸系統的有限元建模和動態性能分析[J]．東華大學學報，2012，38(5)：542-545.

LiuJie，LiBeizhi，YangJianguo，etal．FEMModelingandDynamicPerformanceAnalysisofElectricSpindleSystemofHighSpeedCylinderGrindingMachine[J]．JournalofDonghuaUniversity，2012，38(5)：542-545.

[5]中國機械工程學會設備與維修工程分會．設備狀態監測與故障診斷技術及其工程應用[M]．北京：機械工業出版社，2010．

[6]FilizS，ChengCH，PowellKB，etal．AnImprovedToolHolderModelforRCSATool-pointFrequencyResponsePrediction[J]．PrecisionEngineering，2009，33(1)：26-36.

[7]MovahhedyMR，GeramiJM．PredictionofSpindleDynamicsinMillingbySub-structureCoupling[J].InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2006，46(3/4)：243-251.

[8]SchmitzTL，DuncanGScot．Three-componentReceptanceCouplingSubstructureAnalysisforToolPointDynamicsPrediction[J].JournalofManufacturingScienceandEngineering，2005，127(4)：781-790.

[9]柴銀剛，孟德浩，龍新華，等．高速主軸-夾具-刀具系統動態特性分析[J]．噪聲與振動控制，2013，33(6)：25-30．

CaiYingang，MengDehao，LongXinhua，etal．AnalysisofDynamicCharacteristicsofHighSpeedSpindle-holder-toolSystem[J].NoiseandVibrationControl，2013，33(6)：25-30.

[10]WangEr-hua，WuBo，HuYou-min，etal．DynamicParameterIdentificationofTool-spindleInterfaceBasedonRCSAandParticleSwarmOptimization[J]．ShockandVibration，2013，20(1)：69-78.

[11]NamaziM，AltintasY，AbeT，etal．ModelingandIdentificationofToolHolder-spindleInterfaceDynamics[J]．InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2007，47(9)：1333-1341.

[12]ErtürkA，BudakE，?zgüvenHN．AnalyticalModelingofSpindle-toolDynamicsonMachineToolsUsingTimoshenkoBeamModelandReceptanceCouplingforthePredictionofToolPointFRF[J]．InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2006，46(15)：1901-1912.

[13]LeeJ，SchultzWW．EigenvalueAnalysisofTimoshenkoBeamsandAxisymmetricMindlinPlatesbythePseudospectralMethod[J]．JournalofSoundandVibration，2004，269 (3/5)：609-621.

[14]GeistB，McLaughlinJR．AsymptoticFormulasfortheEigenvaluesoftheTimoshenkoBeam[J]．JournalofMathematicalAnalysisandApplications，2001，253(2)：341-380.

[15]KivancEB，BudakE．StructuralModelingofEndMillsforFormErrorandStabilityAnalysis[J]．InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2004，44(11)：1151-1161.

[16]SchmitzTL，DaviesMA，KennedyMD．ToolPointFrequencyResponsePredictionforHigh-speedMachiningbyRCSA[J].JournalofManufacturingScienceandEngineering，2001，123 (4)：700-707.

[17]Aristizabal-OchoaJD．TimoshenkoBeam-columnwithGeneralizedEndConditionsandNonclassicalModesofVibrationofShearBeams[J].JournalofEngineeringMechanics，2004，130 (10)：1151-1159.

[18]?zgüvenHN．StructuralModificationsUsingFrequencyResponseFunctions[J]．MechanicalSystemsandSignalProcessing，1990，4 (1)：53-63.

(編輯張洋)