一種計(jì)算復(fù)合材料濕擴(kuò)散系數(shù)的等參化FVDAM模型

李海斌，陽(yáng)建紅，張 暉，劉承武

（1.第二炮兵工程學(xué)院，陜西 西安 710025；2.中國(guó)人民解放軍96215部隊(duì)，廣西 柳州 545616）

0 引言

聚合基復(fù)合材料普遍具吸濕特性。濕擴(kuò)散系數(shù)是衡量濕擴(kuò)散速度的重要參數(shù)，一般可由實(shí)驗(yàn)獲得，但實(shí)驗(yàn)周期較長(zhǎng)。復(fù)合材料的性能與各相材料的性能密切相關(guān)，采用細(xì)觀力學(xué)方法，可由各相材料性能獲得復(fù)合材料的整體性能，如熱－機(jī)械性能、濕－熱－彈性能和濕擴(kuò)散性能等。針對(duì)濕擴(kuò)散，文獻(xiàn)［1－2］采用類比熱傳導(dǎo)、電流傳導(dǎo)的方法，對(duì)橫向濕擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)。其中，SHEN，SPRINGER主要針對(duì)纖維不吸濕性質(zhì)，且認(rèn)為纖維對(duì)水分?jǐn)U散有阻礙作用，水分沿直線擴(kuò)散，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果小于實(shí)驗(yàn)值；HASHIN獲得半經(jīng)驗(yàn)公式，計(jì)算結(jié)果依賴于擬合參數(shù)；PIGGOTT考慮纖維與基體間存在界面相并認(rèn)為界面相的擴(kuò)散系數(shù)大于基體，顯然在確定界面層厚度及界面層擴(kuò)散系數(shù)時(shí)存在隨意性。另外，上述模型的共同不足是只能考慮特定截面形狀的微結(jié)構(gòu)。采用數(shù)值方法可對(duì)不同微結(jié)構(gòu)形狀的復(fù)合材料進(jìn)行計(jì)算。文獻(xiàn)［3－4］用有限元方法分析了編織復(fù)合材料的濕擴(kuò)散行為；文獻(xiàn)［5］則考慮纖維的隨機(jī)分布，對(duì)復(fù)合材料擴(kuò)散過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬。但這些研究仍針對(duì)纖維不吸濕情形。對(duì)吸濕的情形（如芳綸），復(fù)合材料橫向擴(kuò)散系數(shù)的求解需考慮纖維自身的吸濕。

文獻(xiàn)［6－7］提出的單胞模型已成功用于復(fù)合材料宏觀性能的計(jì)算及細(xì)觀應(yīng)力／應(yīng)變場(chǎng)的求解，模型位移模式已從一階擴(kuò)展至二階，具有較高精度；文獻(xiàn)［8］在模型中引入有限體積的求解；文獻(xiàn)［9－10］則采用網(wǎng)格映射方法，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格劃分從矩形向任意四邊形的轉(zhuǎn)變，建立了等參化FVDAM。本文將該模型推廣至復(fù)合材料濕擴(kuò)散系數(shù)的求解，使其適于纖維自身吸濕情形，并將其用于分析芳綸復(fù)合材料吸濕行為。

1 濕擴(kuò)散的等參化FVDAM模型

在等參化FVDAM計(jì)算機(jī)械性能中，對(duì)微結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分后，假設(shè)單元內(nèi)的位移模式，用等參變換、網(wǎng)格映射方法，以及界面位移、應(yīng)力的連續(xù)條件和單胞內(nèi)的平衡方程求解。在穩(wěn)態(tài)濕擴(kuò)散時(shí)，同樣可假設(shè)單元內(nèi)的濃度場(chǎng)函數(shù)，用界面相對(duì)濕濃度連續(xù)、濕流通量連續(xù)，以及擴(kuò)散的質(zhì)量守恒方程求解。濕擴(kuò)散的單胞模型如圖1所示。模型被劃分為Nβ×Nγ個(gè)子胞單元，每個(gè)單元用（β，γ）標(biāo)記。圖中：F1～F4為各面序號(hào)。

圖1 濕擴(kuò)散的單胞模型Fig.1 Method of cells for water diffusion

在映射坐標(biāo)系（η，ξ）內(nèi)，設(shè)

a）單胞中的相對(duì)濃度場(chǎng)

b）擴(kuò)散方程

式中：qi為濕流通量；Di為濕擴(kuò)散系數(shù)；i＝2，3。

c）穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的質(zhì)量守恒方程

φ（β，γ）對(duì)坐標(biāo)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)在坐標(biāo)系（y2，y3），（η，ξ）中存在轉(zhuǎn)換關(guān)系（為簡(jiǎn)化表達(dá)，以下公式均省略上標(biāo)）

式中：J為雅克比轉(zhuǎn)換陣；為J在單胞內(nèi)的體積平均。

定義界面平均濕濃度

式中：上標(biāo)表示面序號(hào)，按逆時(shí)針?lè)较蜻x取，由式（5）、（6）可將一階和二階微變量用界面平均濕濃度及零階微變量表示為

零階位移微變量可由滿足能量守恒方程式（3）求得，用擴(kuò)散方程式（2）得

用濕濃度對(duì)坐標(biāo)二階偏導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式（5）表示一階微變量用界面平均濕濃度，進(jìn)而通過(guò)式（7）將一階和二階微變量同樣用界面平均濕濃度表示為

定義界面平均濕濃度梯度

界面平均濕流通量

用擴(kuò)散方程式（2），濕流通量用濕濃度梯度可表示為

式中：n2，n3為法向量。對(duì)各面分別有

由式（9）、（14），可表示為相對(duì)濕濃度的關(guān)系式

式中：K為連接濕流通量與的轉(zhuǎn)換矩陣，包含了各單元的幾何結(jié)構(gòu)信息，且與各單元的法向量及濕擴(kuò)散系數(shù)有關(guān)。

在相鄰子胞上，界面上相度濕濃度和濕流通量連續(xù)可表示為

a）當(dāng)β＝Nβ時(shí)，β＋1→1，

濕濃度的邊界條件為

式中：β＝1，…，Nβ－1。

由式（15）～（19），可對(duì)水平方向宏觀擴(kuò)散系數(shù)Dc3進(jìn)行求解，有

式中：符號(hào)“〈〉“表示在單胞內(nèi)求體積平均；Cc∞為復(fù)合材料的吸濕平衡濃度，且Cc∞＝Cf∞Vf＋Cm∞（1－Vf）。此處：Cf∞，Cm∞分別為纖維和基體的平衡吸濕擴(kuò)散含量；Vf為纖維體積分?jǐn)?shù)。

在穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)中，因熱傳導(dǎo)同樣在界面存在溫度連續(xù)、熱流密度連續(xù)條件，同時(shí)滿足熱傳導(dǎo)方程和質(zhì)量守恒方程，故在上述推導(dǎo)中將有關(guān)濕擴(kuò)散的性能參數(shù)替換為與熱傳導(dǎo)相關(guān)的性能參數(shù)即可求得宏觀熱傳導(dǎo)系數(shù)。

2 濕擴(kuò)散系數(shù)求解

為便于比較，本文給出纖維不吸濕（即纖維擴(kuò)散系數(shù)Df＝0）時(shí)，不同纖維體積的歸一化橫向擴(kuò)散系數(shù)如圖2所示。本文計(jì)算結(jié)果介于Shen－Springer，Piggott公式間，且與Hashin公式在低體積含量時(shí)的結(jié)果吻合較好，僅在高體積含量時(shí)產(chǎn)生偏差。文獻(xiàn)表明：由Shen－Springer公式得到的結(jié)果普遍較實(shí)驗(yàn)值偏小，這是因?yàn)镾hen－Springer在推導(dǎo)公式時(shí)，認(rèn)為水分沿直線擴(kuò)散，纖維不僅不吸濕，對(duì)水分?jǐn)U散還有阻礙作用，而Piggott公式結(jié)果稍高，這是因?yàn)槠淇紤]纖維與基體間存在界面相，且界面相的擴(kuò)散系數(shù)遠(yuǎn)高于基體［2］。由圖2可知：體積含量相同時(shí)，方形纖維與圓形纖維的擴(kuò)散系數(shù)相差較大。為較準(zhǔn)確地求解擴(kuò)散系數(shù)，模型須準(zhǔn)確反映纖維的截面形狀。等參化FVDAM采用四邊形進(jìn)行網(wǎng)格劃分，能對(duì)復(fù)雜代表性胞元（RUC）進(jìn)行建模，滿足此要求。

圖2 不同纖維含量的橫向擴(kuò)散系數(shù)Fig.2 Transverse diffusion coefficient under various fiber contents

材料濕擴(kuò)散性能為橫觀各向同性。在圖1（a）的邊 界 條 件 下，不 吸 濕 纖 維 （Df／Dm＝0.1，Cf∞／Cm∞＝0.1）和吸濕纖維（Df／Dm＝10，Cf∞／Cm∞＝10）RUC內(nèi)的濕流通量y2，y3分布如圖3所示。此處：Dm為基體擴(kuò)散系數(shù)。由圖可知：纖維不吸濕時(shí)，其內(nèi)部的濕流通量很小，水分主要在基體中傳播，但水分能沿纖維周向擴(kuò)散，而非Shen－Springer模型中的直線擴(kuò)散，因而求得的復(fù)合材料等效橫向擴(kuò)散系數(shù)高于Shen－Springer公式值；纖維吸濕時(shí)，其內(nèi)部的濕流通量更大，更能反映纖維自身具有吸濕性的復(fù)合材料如芳綸復(fù)合材料的吸濕特征。

圖3 濕流通量分布Fig.3 Moisture flux in cell

3 復(fù)合材料吸濕實(shí)驗(yàn)

在溫度分別為60，80℃，相對(duì)濕度均為90%的條件下，對(duì)Vf＝60%的芳綸APMOC、環(huán)氧基體Epoxy，以及由兩者組成的芳綸復(fù)合材料進(jìn)行吸濕實(shí)驗(yàn)，一定時(shí)間將試件取出用濾紙除去表面水分，在電子天平稱重計(jì)算吸濕前后質(zhì)量變化百分比。芳綸復(fù)合材料吸濕表現(xiàn)為各向異性擴(kuò)散行為［11］。用于復(fù)合材料吸濕實(shí)驗(yàn)的單向板試件有3種，尺寸見(jiàn)表1。

表1 用于吸濕行為分析的單向板尺寸Tab.1 Laminates of different size

纖維、基體，以及芳綸復(fù)合材料的吸濕曲線如圖4所示。由圖可知：三者吸濕行為基本符合擴(kuò)散方程式（2），在吸濕初期均呈線性上升趨勢(shì)，之后逐漸進(jìn)入吸濕平臺(tái)，最終達(dá)到吸濕平衡，但由于結(jié)構(gòu)不同，三者的吸濕行為仍顯示不同特征。其中：芳綸APMOC在10d內(nèi)很快進(jìn)入吸濕平臺(tái)，其平衡吸濕量約5%；Epoxy在30d后剛進(jìn)入吸濕平臺(tái)，尚未完全達(dá)到吸濕平衡；受纖維吸濕的影響；芳綸復(fù)合材料的吸濕曲線在經(jīng)過(guò)初期的線性段后，迅速進(jìn)入平臺(tái)階段，且試件越短，越易達(dá)到平衡。芳綸復(fù)合材料各相均具有很強(qiáng)的吸濕性，其吸濕行為表現(xiàn)為各向異性，纖維軸向的擴(kuò)散系數(shù)較高，試件越短，暴露的纖維終端越多，吸濕速度就越快。

對(duì)無(wú)限大平板，水分沿材料厚度方向的表觀一維擴(kuò)散系數(shù)

式中：h為試樣厚度；M∞為平衡吸濕含量；M（t）為時(shí)刻t的吸濕量［1、11］。

復(fù)合材料濕擴(kuò)散行為屬于三維擴(kuò)散。設(shè)單向板長(zhǎng)度、寬度、厚度分別為l，w，h，三個(gè)方向上的擴(kuò)散系數(shù)分別為D1，D2，D3，其中方向1沿纖維向，方向2、3垂直于纖維軸向，修正邊界效應(yīng)后三維擴(kuò)散系數(shù)與表觀一維擴(kuò)散系數(shù)的關(guān)系可表示為

當(dāng)D2＝D3時(shí)，式（22）可變?yōu)?/p>

h，w不變，改變l的值，由最小二乘法可得D1，D2。

溫度80℃時(shí)，單向板吸濕實(shí)驗(yàn)由式（23）求得的擴(kuò)散系數(shù)實(shí)驗(yàn)值，以及分別由混合率公式與等參化FVDAM由組分?jǐn)U散系數(shù)求得的單向板擴(kuò)散系數(shù)計(jì)算值見(jiàn)表2。其中基體的擴(kuò)散系數(shù)由式（19）求得，纖維的擴(kuò)散系數(shù)采用圓柱模型求解［12］。

由表2可知：纖維的擴(kuò)散系數(shù)高于基體，在APMOC纖維芳香結(jié)構(gòu)PPTA中，含有酰胺基，而在其第三單體CBM中又含有雜氮原子，使其吸濕性很高。由于纖維吸濕，復(fù)合材料擴(kuò)散系數(shù)將明顯高于將纖維視作不吸濕材料時(shí)的計(jì)算值，故不能采用Shen－Springer等簡(jiǎn)化方法求解。另外，軸向擴(kuò)散系數(shù)實(shí)驗(yàn)值高于理論值，這主要是因?yàn)槔碚撚?jì)算時(shí)并未考慮界面的作用，實(shí)際由于界面出現(xiàn)脫黏，在毛細(xì)管作用下水分將大量沿界面擴(kuò)散。

表2 實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值Tab.2 Results obtained by experiment and calculation

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)一種計(jì)算復(fù)合材料濕擴(kuò)散系數(shù)的等參化FVDAM模型進(jìn)行了研究。以界面平均相對(duì)濕濃度為基本未知量，用界面相對(duì)濕濃度連續(xù)、濕流通量連續(xù)，以及擴(kuò)散方程建立用于復(fù)合材料濕擴(kuò)散系數(shù)求解的等參化FVDAM模型。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：等參化FVDAM模型能反映復(fù)合材料復(fù)雜微結(jié)構(gòu)及纖維自身吸濕特征，較Shen－Springer，Hashin，Piggott模型更適于求解復(fù)合材料濕擴(kuò)散系數(shù)，在模型中將有關(guān)濕擴(kuò)散的性能參數(shù)替換為與熱傳導(dǎo)相關(guān)的性能參數(shù)即可求得宏觀熱傳導(dǎo)系數(shù)。芳綸復(fù)合材料中，由于芳綸纖維本身有很大的吸濕性，由簡(jiǎn)化模型求得的結(jié)果將明顯低于實(shí)驗(yàn)值。

［1］ SHEN C H，SPRINGER G.S.Moisture absorption and desorption of composite materials［J］.Journal of Composite Materials，1976（10）：2－20.

［2］ LI R B.Moisture absorption and hydrothermal aging in a Bismaleimode resin and its carbon fiber composite［D］.Ann Arbor：University of Michigan，2001.

［3］ TANG X D. Micromechanics of two－dimensional woven composites［D］.College Station：Texas A ＆M University，2001.

［4］ TANG X D.Micromechanics of moisture diffusion in composites with impermeable fibers［J］.Journal of Composite Materials，2001，36：1093－1101.

［5］ VADDADI P.Inverse analysis for transient moisture diffusion through fiber－reinforced composites［J］.Acta Material，2003，51：177－193.

［6］ ABOUDI J.Micromechanical analysis of composites by the generalized cells model［J］.Mechanics of Materials，1992，14（2）：127－139.

［7］ ABOUDI J，PINDERA M J.Higher－order theory for periodic multiphase materials with inelastic phases［J］.International Journal of Plasticity，2003，19：805－847.

［8］ BANSAL Y，PINDERA M J.Finite－volume direct averaging micromechanics of heterogeneous materials with elastic－plastic phases［J］.International Journal of Plasticity，2006，22：775－825.

［9］ CAVALCANTE M A A，MARQUES S P C，PINDERA M J.Parametric formulation of the finite－volume theory for functionally graded materials［J］.Journal of applied mechanics，2007，74（5）：935－945.

［10］ KHATAM H，PINDERA M J.Parametric finitevolume micromechanics of periodic materials with elastoplastic phases［J］.International Journal of Plasticity，2009，25：1386－1411.

［11］ ARONHIME M T.The anisotropic diffusion of water in Kevlar－epoxy composites［J］.Journal of materials of science，1987，22：2435－2446.

［12］ 陽(yáng)建紅，董進(jìn)輝，李海斌.F－12纖維的吸濕行為［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2009，26（3）：84－88.