聲波在雙層非線性介質中傳播的二極管現象

郭鳳麗, 胡冬生,通訊作者：胡冬生,E-mail：dongshenghu＠nuaa.edu.cn,電話：3803766, 徐 江（.南京航空航天大學理學院,南京 06；.南京航空航天大學材料學院,南京 06）

聲波在雙層非線性介質中傳播的二極管現象

郭鳳麗1, 胡冬生1,??通訊作者：胡冬生,E-mail：dongshenghu＠nuaa.edu.cn,電話：13218037266, 徐 江2
（1.南京航空航天大學理學院,南京 211106；2.南京航空航天大學材料學院,南京 211106）

假設聲波在雙層一維非線性系統中傳播時線性部分滿足波動方程,非線性部分類似于非線性薛定諤方程的非線性部分.對該模型正反兩個方向分別入射相同的聲波計算透射率發現：一定頻率及強度的聲波在模型中具有單向透過性,表現出聲二極管的行為；隨著非線性強度差異的增強,單向導通性顯著提高.

非線性系統；聲波；整流；二極管

0 引言

作為第一個對能量產生整流作用的器件——電子二極管,其發明具有里程碑式的意義.此后,對其它運動形式可能具有二極管現象的研究受到了很大程度的關注[1－14].二極管現象是指某種形式的能量沿特定的方向可以傳輸,而沿著相反的方向則被阻礙的現象.新加坡的李保文課題組在理論上研究了具有非線性的Frenkel-Kontorova鏈的不對稱熱傳輸現象,提出了可實現單向熱傳導的“熱二極管”理論模型[1－2].其后,美國加州州立大學伯克利分校的Chang等人及日本早稻田大學的Kobayashi等人通過實驗制備出了熱整流器件[3－4].2005年,美國加州州立大學圣地亞哥分校的 Nesterenko課題組在實驗中發現了孤立波在通過由一系列由鋼球組成的非線性系統時出現了反常的反射現象,實現了對孤立波的整流[5].還有學者用非線性傳輸線作為能量單向傳輸的研究[6].在“光二極管”方面,已經有了大量的理論和實驗研究.光子晶體是由兩種不同介電材料組成的具有周期性的多層結構.在光子晶體中引入缺陷可以使某些頻段光波的透射強度顯著提高[15].基于非線性會使光子晶體禁帶邊界移動,Scolora等人于1994年設計出第一個光子晶體全光二極管[7]（即脈沖從正向能夠很好地傳輸,而從相反的方向卻幾乎完全反射）.之后,Mingaleev等人提出一種利用光子晶體線缺陷設計全光二極管的設想[8].2005年,有人提出利用單個非對稱光子晶體的缺陷來設計全光二極管[9－10].

聲波作為波動的一種普遍的存在形式,若能實現象電子二極管那樣對聲能量進行整流的聲學器件,會對聲學的理論研究、聲學的器件制造及應用產生重大的影響.由于線性條件下互易原理的限制[12],如何在聲學系統中實現聲整流效應始終是一個難題.在聲學理論中線性聲學系統顯然滿足了互易原理,這就決定了在任何一個線性聲學系統中聲能量的透射都不會產生二極管現象.聲波的二極管現象只有在非線性強度不同的多層結構中才可能產生[12].2009年,南京大學程建春課題組從理論上提出：由超晶格結構與強聲學非線性媒質組成的系統具有聲二極管現象[13],并在2010年成功制造出聲二極管的示意性樣品[14].該樣品由超聲造影劑微泡溶液與一個超晶格（水與玻璃的層疊）構成,實驗結果表明：在聲整流頻段內,聲二極管樣品表現出了極高的整流效率,最大整流比接近1萬倍.本文以一個玩具模型來演示聲波在非線性系統中傳播時具有二極管現象,為實現聲二極管提供一種可能性.

1 模型與方法

研究對象是兩種非線性材料組成的一維系統,如圖1所示.為研究聲波在其中傳播時的透射性質,假設該一維系統的兩端由均勻的線性部分連接,聲波由左端入射右端出射,或由右端入射左端出射.

圖1 兩種非線性材料組成的一維系統的示意圖.1、2兩層是非線性強度不同的材料,左右由線性材料連接Fig.1 Schematic of one-dimensional system consists of two nonlinearmaterials.Layer 1 and Layer 2 are different nonlinearmaterials,which are connected with linearmaterials in both sides

波在兩端均勻的線性部分中滿足波動方程

其中η（x）＝e（x）/m是介質剛度與平均密度的比值,波函數Ψ（x,t）時空分離后可寫為：Ψ（x,t）＝ψ（x）e－iωt.在雙層非線性系統中,我們假設它的非線性部分滿足非線性薛定諤方程的非線性部分,即滿足

其中αi表示第i介質層處的非線性強度.

首先用有限差分方法將連續的線性波動方程轉化為差分方程.我們把空間進行離散化,設厚度Δx為一個單位.用Ψn和ηn分別表示離散化后的波函數和介質剛度與平均密度的比值,其中n即為離散化后的編號.用向后一階差商和中心二階差商將方程中空間部分離散化,可得

因此,線性的和非線性的一維離散化的波動方程可分別表示成

波在兩端線性區域中滿足平移對稱性,可以用平面波表示,設波動從左端入射右端出射,則兩端的波函數可以寫成

其中k為波矢,R0,R和T分別代表入射波振幅,反射波振幅和透射波振幅.由方程（5）和平面波函數（7）,可解出波動的色散關系為

為簡單起見,我們假設這兩層非線性材料的厚度相同,且離散化的厚度恰好為一層的厚度.由方程（5）～（8）式可以得到透射率

其中,

如果波動從右入射,從左出射,透射系數的表達式只需把式（9）～（11）式中的下標1、2對調即可.

2 結果和討論

當η1＝η2,α1＝α2時,相同的波分別從系統的左端入射右端出射和從右端入射左端出射,從透射系數式（9）至（11）可以看出它們的透射率是相等的.在這種情況下不會出現二極管現象.若η1＝η2,α1≠α2,并引入因子m來表征非線性系數α的差異程度：m＝｜α1－α2｜/2.圖2是在波矢k、介質剛度與平均密度的比值η、兩層非線性介質的非線性強度的平均值α0都相同的情況下,非線性強度的差異m不同時,對應的透射系數隨透射波振幅平方的變化（從左端入射,右端出射）.從圖2可以看到介質層非線性強度不同時,在出射振幅為零的位置都存在一個透射率為1的透射峰；在出射振幅平方不為零的地方還出現一個峰,非線性強度的差異m愈大該透射峰的位置離原點就越遠,且峰值也變小.因為方程（6）中的非線性項與波函數的振幅有關,當振幅趨于零時非線性相的作用消失,方程（6）回到線性方程（5）,所以在振幅趨于零時聲波都能完全透射.當波函數振幅不為零時,非線性項會對透射起決定性的作用.

圖2 透射率與透射振幅平方的關系（η1＝η2＝η0＝1）Fig.2 Dependence of transmission ratio on squaremodule of transmission amplitude（η1＝η2＝η0＝1）

從式（9）～（11）可以看到,我們求透射率時是用出射振幅當已知量,如果用入射振幅當初始條件,則必須由透射振幅通過方程反推入射振幅.設透射振幅為某一實數,但求出的入射振幅一般為復數.如果以入射振幅模方為自變量,則透射率隨入射振幅模方的變化如圖3所示.從圖3中可以看出,當入射振幅模的平方取較小值時,透射率唯一與之對應.但當入射振幅模的平方取較大值時,會有兩、三個不同的透射率與之對應,呈現多穩態現象.這是由非線性引起的[16－17].因此在后面討論中我們用出射波振幅的平方作為透射率的自變量,而不用入射系數模的平方作為自變量.

當聲波分別從兩層非線性材料的左端和右端入射時,透射率t隨透射振幅的平方T2和入射波波矢k的變化如圖4、5所示.對照圖4、5可以發現,非線性強度為相反數時,相當于波矢平移π.從圖4、5中可以看出,相同的波從左端入射和從右端入射,其透射率是不相同的.這種分別從兩端入射出現不同透射率的情況可以制造二極管,但必須是一端入射時透射率接近1,而從相反方向入射時透射率接近0.

圖3 透射率與入射振幅的關系（其它數據與圖2相同）Fig.3 Dependence of transmission ratio on incident amplitude（Other parameters are the same as those in Fig.2.）

圖4 透射率t隨T2和入射波波矢k的變化,（a）和（c）聲波從左端入射；（b）和（d）聲波從右端入射（其它數據與圖2相同）Fig.4 Dependence of transmission ratio t on T2and incidentwave vector k,（a）and（c）are for cases of left-incidence acoustic waves；（b）and（d）are for cases of right-incidence acoustic waves （Other parameters are the same as those in Fig.2.）

類似于光學中對比度的定義,引入整流因子

可以看出整流因子的范圍為f∈[0,1],整流因子趨于1時,整流效果最佳.為了更清楚地看出在什么情形下整流效果比較好,我們作出了兩層非線性材料的非線性系數平均值α0相同,非線性強度的差異m不同時的整流因子f隨T2以及k的變化情況,如圖6所示.從圖中可以看出：在相同的情況下,非線性強度的差異m越大,整流效果越好.要得到好的整流效果,出射振幅平方要盡可能大.圖6中的非線性強度的平均值相同,整流因子的分布情況比較接近；當整流因子的平均值遠離0時,整流因子f接近0的白色部分向透射率平方小的方向急劇下降.因此,為得到好的整流效果,要求兩層的非線性強度差異盡可能大,兩者的平均值遠離0值.

圖5 透射率t隨T2和入射波波矢k的變化,（a）和（c）聲波從左端入射；（b）和（d）聲波從右端入射（其它數據與圖2相同）Fig.5 Dependence of transmission ratio t on T2and incidentwave vector k,（a）and（c）are for cases of left-incidence acoustic waves；（b）and（d）are the cases of right-incidence acoustic waves （Other parameters are the same as those in Fig.2.）

圖6 整流因子f隨T2以及k的變化（顏色的深淺用來表征f的大小.其它數據與圖2相同.）Fig.6 Dependence of rectification factor f on T2and k（The shade of color represents degree of f.Other parameters are the same as those in Fig.2.）

3 結論

通過對聲波在不同的雙層非線性材料中正反向傳播時的數值計算,我們發現在該系統中具有聲二極管現象；隨著非線性強度差異的增大,二極管效應愈明顯.聲波沿單向傳播的聲二極管的設計與實現,不僅具有學術意義,而且有望在未來新材料的應用中嶄露頭角.由于現有聲二極管的透射率普遍偏低,在努力探索新的聲二極管工作機理的同時,有必要通過尋找新材料或優化結構等手段來進一步提高聲二極管樣品的工作效率,最終制造出可應用的聲二極管器件[18],我們的模型提供了實現聲二極管的一種可能.

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Diode Phenomenon of Acoustic W ave Propagation in a Two-Layer Nonlinear System

GUO Fengli1, HU Dongsheng1, XU Jiang2
（1.College of Science,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 211106,China；
2.Department ofMaterial Science and Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 211106,China）

In one-dimensional nonlinear system,linear parts of acoustic wave meet wave equation and nonlinear part is assumed similar to that of nonlinear Schr?dinger equation.Transmission coefficients of two incident acoustic waves from opposite directions are calculated respectively.It is shown that this model has unidirectional penetrability for acoustic wave within certain frequency and amplitude,and expresses behaviors of diode.Increasing nonlinear intensity leads to a remarkable enhancement of unidirectional penetrability.

nonlinear system；acoustic wave；rectification；diode phenomenon

1001-246X（2015）06-0722-07

O422.7

A

2014－10－20；

2015－03－09

國家自然科學基金（11175086,51175245）及江蘇省自然科學基金（BK2010073）資助項目

郭鳳麗（1987－）,女,碩士,主要從事凝聚態物理研究