重力場和強磁場中費米氣體的熱力學性質

田青松, 門福殿通訊作者：門福殿,E-mail：menfudian＠163.com, 陳新龍（中國石油大學（華東）理學院,山東青島 266580）

重力場和強磁場中費米氣體的熱力學性質

田青松, 門福殿??通訊作者：門福殿,E-mail：menfudian＠163.com, 陳新龍
（中國石油大學（華東）理學院,山東青島 266580）

基于半經典近似,研究重力場和強磁場共存下費米氣體的熱力學性質,通過理論解析和數值模擬分析強磁場背景下重力場對系統熱力學性質的影響.研究表明：與單純強磁場相比,重力場的引入使能量及化學勢都降低.隨溫度的上升,重力場對化學勢的影響逐漸放大；對熱容的影響有極大值.重力場使系統的熱容隨磁場的振蕩幾乎不變、使化學勢的振蕩中心下移.

重力場；強磁場；費米氣體；熱力學性質

0 引言

近年來,研究外勢及相互作用同時對熱力學系統的影響成為熱點課題.特別是對諧振勢約束下的量子系統進行了較為深入的研究,取得了一系列的成果[1－10].磁場是一種重要的約束[11],對于強磁場約束下費米氣體的性質有不少研究.如,文獻[12]研究了強磁場中弱相互作用費米氣體的穩定性.文獻[13]研究了強磁場中超冷費米氣體的相對論效應.文獻[14]研究了強磁場中費米氣體的穩定性及順磁性.文獻[15]研究了強磁場中弱相互作用費米氣體的熱力學性質.文獻[16]基于準經典近似研究了強磁場中高溫費米氣體的統計性質.但在強磁場和重力場共同約束下的費米氣體的熱力學性質尚無人研究.眾所周知,重力場是一種客觀存在的勢場,盡管在微觀領域中重力的強度相對較弱,然而研究表明,重力的量子效應的確存在[17],再加上實驗手段愈來愈精細,測量愈來愈精準,因而在理論研究中需考慮重力場對低溫費米氣體統計性質的影響.尤其對有精細結構及超精細結構的費米系統（如6Li原子系統,它有6個超精細能態）,重力場的影響是不可忽略的.因此研究雙場（磁場和重力場）約束下的費米系統有實際意義.相對于強磁場,重力場對系統熱力學量的貢獻較小,但其理論研究的結果對于掌控強磁場背景下系統的性質是重要的.如,利用磁場作為外部控制手段來實現磁場Feshbach共振以改變原子間的散射長度的實驗,當要實現某一高精度時,有必要在磁場背景下考慮重力場的修正.本文基于半經典近似方法,通過泊松公式解析雙場共存下費米系統的低溫熱力學勢函數,在此基礎上運用熱力學關系和數值模擬方法分析強磁場背景下重力場對總能、熱容、化學勢的影響.

1 同時考慮重力場和強磁場情況下的熱力學勢函數

考慮自旋量子數s＝1/2、靜止質量為m的費米子構成的系統,處在沿z軸方向的均勻磁場以及重力加速度為g、高度為z的重力場中.利用半經典近似的方法,參考文獻[19],則費米子在磁場和重力場共存條件下的總能可表示為

式中σ＝he/4πmc為玻爾磁子,n＝0,1,2,3,…,為量子數,mgz為重力場作用項.

根據文獻[18],當n,pz給定時,在Δpz區間內的量子態數為

其中Lz為粒子在z方向的運動區域的尺度,令Lz＝Δz,即粒子z方向的運動尺度在有限范圍內為一可變的量.再考慮自旋,則粒子在ΔpzΔz區間的量子態數為

再根據文獻[19],pz是在磁場方向的動量,取－∞到∞的連續值,z取0到z的有限連續值,對于每個給定的n在間隔d pzd z中的態的數目是

則系統的熱力學勢函數可表示為

其中

利用泊松公式[17],則（5）式可表為

其中ΩB＋G（μ）為磁場和重力場的影響項.經計算,有

式中Ω0＝（mσB）3/2TS/π3h－3,λ＝πmg/2σB,a＝eμ/T,b＝1＋eμ/T,d＝cosα,f＝sinα,w＝sinhβ.

2 熱力學量的解析式

運用熱力學關系

其中U,C,u分別是系統的總能、熱容、化學勢.在低溫下（T?TF,TF為自由系統的費米溫度）,忽略溫度對化學勢的微弱影響,即取自由系統的化學勢為μ≈εF＝h2（3π2n）2/3/2m,分別得系統的總能、熱容量、化學勢的重力場和磁場影響項：

式（11）～（13）中,U0＝m3/2（σB）5/2S/π3h－3,C0＝（mσB）3/2S/π3h－3,γ＝coshβ,u0＝m1/2（σB）3/2/（3π2N/S）1/3πh－, q＝1－eμ/T,β＝π2kT/σB,α＝πkμ/σB－π/4.λ,a,b,d,f,w與式（9）中的形式一樣.

3 數值模擬與分析

3.1 熱力學量隨溫度的變化

考慮強磁場條件T≤σB?μ,令μ＝xσB,T＝yσB（x?1,0＜y≤1）則有

式（14）～（16）中U0,C0,u0,λ,d,f,w,γ與（11）～（13）式中的形式一樣,只是a＝ex/y,b＝1＋ex/y,q＝1－ex/y,α＝πkx－π/4,β＝π2ky.根據式（14）～（16）,以國際單位制為標準取εF～10－24,σB～10－2εF, N/S～1021,S＝1,m～9.11×10－31,x＝100、101、99、98,即μ＝100σB、101σB、99σB、98σB,g～10,z取適當值做圖1～3（y＝T/σB＝[0～1]）.在以下所有圖中,虛線標識單純強磁場下的熱力學量,實線標識磁場與重力場共存下的熱力學量.式（9）、（11）～（13）中第一項（第一個大括號）是單純強磁場下的熱力學量,第二項（第二個大括號）為強磁場背景下引入重力場后的熱力學量.如果mgz＝0,則以上各式便回到單純強磁場的情況,這使得結果具有普遍意義.

圖1 能量隨溫度的變化Fig.1 Energy varies with temperature

圖2 熱容隨溫度的變化Fig.2 Heat capacity varieswith temperature

3.2 熱力學量隨磁場的變化

再令σB＝pμ,T＝10－2TF≈10－2μ,即x＝1/p,y＝10－2/p,x/y≈102,U0＝m3/2μp（ ）5/2 S/π3h－3, C0＝（mμp）3/2S/π3h－3,u0＝m1/2（μp）3/2/（3π2N/S）1/3πh－,λ＝πmg/2μp,a＝102,b＝1＋e100,α＝πk/p －π/4,β＝10－2π2k/p.d,f,w,γ與（11）～（13）式中的形式一樣,并經簡化后有

圖3 化學勢隨溫度的變化Fig.3 Chemical potential varies with temperature

根據式（17）～（19）,令μ～10－24,p＝σB/μ＝[0～0.09],z取適當值做圖4～6.

3.3 分析與討論

由圖1～3可知,從能量隨溫度的變化情況看,無論μ為偶數（如μ＝100σB）還是奇數（如μ＝101σB）,與無重力場（即單純強磁場）相比,重力場的加入使能量整體有所降低,但能量隨溫度的變化特征不變.從熱容隨溫度的變化情況看,當μ為偶數時,與單純強磁場相比,重力場的引入使熱容量升高；當μ為奇數時,與單純強磁場相比,重力場的加入使熱容量降低.無論μ為偶數還是奇數,隨著溫度的升高重力場對熱容的影響都逐漸減弱,且都有極大值.從化學勢隨溫度的變化情況看,無論μ為偶數還是奇數,與單純強磁場相比,重力場的加入使化學勢下降,并且隨著溫度的增加,這種影響被放大.

圖4 能量隨磁場的變化Fig.4 Energy varieswithmagnetic field

圖5 熱容隨磁場的變化Fig.5 Heat capacity varies with magnetic field

圖6 化學勢隨磁場的變化Fig.6 Chemical potential variesmagnetic field

圖4～6表明,從能量隨磁場的變化情況看,重力場沒改變磁場對能量影響的趨勢,只是使系統的能量更低.并且高度z值越大,重力場影響越明顯.磁場與重力場對熱容的影響隨磁場的變化呈現不規則振蕩,且重力場的引入對熱容的影響幾乎為零.就化學勢的影響隨磁場的變化情況看,與單純強磁場相比,重力場的引入使化學勢的振蕩幅度幾乎不變,振蕩中心下移.且隨高度z的增加,影響越明顯,相位幾乎不變.

4 結論

基于強磁場條件,根據半經典近似引入重力場,用理論解析和數值模擬的方法研究了重力場和強磁場共存條件下費米氣體的熱力學性質,分析了強磁場背景下重力場對能量、熱容和化學勢的影響.研究表明,從熱力學量隨溫度的變化看,與單純強磁場相比,重力場的引入使能量和化學勢下降；當自由系統的化學勢為偶數時,重力場升高了熱容量；當自由系統的化學勢為奇數時,重力場降低了熱容.從熱力學量隨磁場的變化看,重力場沒改變磁場對能量、熱容及化學勢影響的趨勢,只是使系統的能量更低、熱容的振蕩幾乎不變、化學勢的振蕩中心下移.

[1] LiM Z,Yan Z J,Chen JC,etal.Thermodynamic properties of an ideal Fermigas in an external potentialwith U＝brtin any dimensional space[J].Physical Review A,1998,58（2）：1445－1449.

[2] Li M Z,Lin H S,Chen L X,etal.Chemical potential and heat capacity of an ideal Fermigas trapped in a harmonic potential in any dimensional space[J].Journal of Xiamen University（Natural Science）,1998,37（4）：498－502.

[3] Noronha JM B,Toms D J.The specific heat of a trapped Fermigas：an analytical approach[J].Physics Letters A,2000, 267（4）：276－280.

[4] Butts D A,Rokhsar D S.Trapped Fermigases[J].Physical Review A,1997,55（6）：4346－4350.

[5] Bruun G M,Burnett K.Interacting Fermigas in a harmonic trap[J].Physical Review A,1998,58（3）：2427－2434.

[6] Oliva J.Density profile of the weakly interacting Fermi gas confined in a potential well：Nonzero temperature[J].Physical Review B,1989,39（7）：4204－4208.

[7] Roth R,Feldmeier H.Effective s-and p-wave contact interactions in trapped degenerate Fermigases[J].Physical Review A, 2001,64（4）：043603（1）－（17）.

[8] Su G Z,Chen L X.Thermodynamic properties of a weakly interacting Fermi gas[J].Acta Phys Sin,2004,53（4）：984－990.

[9] Su G Z,Chen JC,Chen L X.Low-temperature behavior of a weakly interacting Fermi gas trapped in a power-law potential [J].Physics Letters A,2003,315（1－2）：109－119.

[10] Wu D P,Men FD,Liu H.Ground state of Bose-Einstein condensation in F-G-H method[J].Chinese JComput Phys,2009, 26（6）：942－948.

[11] Mou SY,Zhang XW,Dai B.Two-dimensionalelectronic structure in a periodicmagnetic field[J].Chinese JComput Phys, 2014,31（2）：237－242.

[12] Men F D,Tian Q S,Chen X L.Stability of a weakly interacting Fermi gas in a strongmagnetic field[J].Acta Phys Sin, 2014,63（12）：120504（1）－（3）.

[13] Men F D,He X G,Zhou Y,et al.Relativistic effect of ultracold Fermi gas in a strongmagnetic field[J].Acta Phys Sin, 2011,60（10）：100502（1）－（4）.

[14] Men F D,Wang H T,He X G.The stability and paramagnetism of Fermi gas in a strongmagnetic field[J].Acta Phys Sin, 2012,61（10）：100503（1）－（5）.

[15] Men F D,Wang B F,He X G,et al.Thermodynamic properties of a weakly interacting Fermi gas in a strongmagnetic field [J].Acta Phys Sin,2012,61（10）：080501（1）－（5）.

[16] Men F D,He X G,Liu H,et al.Statistics of Fermi gas in a strongmagnetic field at high temperatures with quasi-classical approximations[J].Chinese JComput Phys,2011,28（6）：895－900.

[17] Nesvizhevsky V V,Borner H G,et al.Quantum states of neutrons in the earth's gravitational field[J].Nature,2002,415：297－299.

[18] Landau L D,Lifshitz EM.Quantum mechanics（Non-relativistic theory）[M].3rd ed.Oxford：Pergamon Press,1980.455 －463.

[19] Landau L D,Lifshitz EM.Statistical physics：Part I[M].3rd ed.Oxford：Pergamon Press,1980.171－177.

Thermodynam ic Properties of Ferm i Gas Trapped in Both Gravity Field and M agnetic Field

TIAN Qingsong, MEN Fudian, CHEN Xinlong
（College ofScience,China University of Petroleum（East China）,Qingdao 266580,China）

With semi-classical approximation,thermodynamic properties of Fermigas trapped in both gravity field and magnetic field are studied.By using theoreticalanalysis and numerical simulation,influence ofgravity field on thermodynamic properties of the system in strongmagnetic field is analyzed.It shows that,compared with the case of strong magnetic field only,gravity field makes the energy,chemical potential reduced.With rising temperature,influence of gravity field on chemical potential is gradually enlarged.There is amaximal influence of gravity field on heat capacity.Gravity fieldmakes oscillation of heat capacity almostunchangeablewhile oscillation center of chemical potential shift down.

gravity field；strongmagnetic field；Fermi gas；thermodynamic properties

1001-246X（2015）06-0751-06

O414.1；O414.2

A

2014－11－03；

2015－02－05

田青松（1988－）,男,碩士研究生,主要研究量子統計,E-mail：tqs728＠126.com