大數定律在保險中的應用

摘 要：本文結合大數定律存在的條件的不同及其性質特點，列舉了其在保險中的具體應用.依次闡述了大數定律在制定保費、降低被保險人平均危機值、承擔業務量及責任準備金與安全附加系數等方面的應用.就幾個不同的問題分別對大數定律在其中的應用做了介紹并舉例說明，將理論具體化，使抽象的實際問題變成具體可行的、可計算的、可操作的數學問題，從而使一些難以計算和預測的實際問題轉變為數學問題，從而當加有利于保險方面實際問題的解決.

關鍵字：大數定律；保費；安全附加系數

在保險業中，保險經營機制是將分散的，不確定性的損失集中起來，轉化為大致的確定性的分攤損失.大數定律闡明了大量隨機現象平均結果具有穩定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算術平均值法則”的基本理論. 一般來說，在概率中，獨立同分布的隨機事件的個數超過50個時，我們就認為他們滿足大數定律所需的條件，在計算損失、厘定保費等時服從中心極限定理.

一、大數定律在保險中的應用

目前，保險問題在我國是一個熱點問題.保險公司為各企業、各單位和個人提供了各種各樣的保險保障服務，人們總會預算某一業務對自己的利益有多大，會懷疑保險公司的大量賠償是否會虧本.它的數理依據是大數定理的合理分攤，化整為零，因此大數法則是保險業存在、發展的基礎.大數定律是保險業經營的一個重要數理基礎.

（一）制定保費

以切比雪夫大數定律為例，該極限定理運用到保險行業，相當于有n個投保人或被保險人，同時投保n個相互獨立的保險標的，用表示每個標的實際發生損失的大小.其中，為理論上每個投保人應繳納的純保費，為平均每個被保險人實際獲得的賠款金額.當投保人數足夠多，即n→∞時，實際賠款金額等于理論上的純保費.這一定律說明在承保標的的數量足夠大時，保險人收取的純保費應與被保險人所能獲得賠款金額的期望值相等.

例1、據統計，某年齡的健康人在五年內死亡的概率為0.998，某保險公司準備開辦該年齡段的五年人壽保險業務，預計有2500人參加保險，條件是參加保險者交保險金12元，若五年內死亡，公司支付賠償金b元（b待定），

便有以下幾個問題：

1、確定b，使保險公司期望盈利；

2、確定b，使保險盈利超過1萬元的可能性大于95%；

3、若賠償金b=2000元，欲使保險公司盈利2萬元的可能性大于99%，每位參保者至少需交保險金a為多少元？

X1212-b

0.9980.002

解：（1）設X表示保險公司在每一個參保者身上所得的收益，則X為隨機變量，服從兩點分布，其分布規律為

故保險公司在每一位參保者身上獲的平均收益

若要使保險公司期望盈利，則應有

于是可得

即當元時保險公司期望盈利.

（2）欲使保險公司盈利超過1萬元，應滿足：

由此得出死亡人數：

故若使保險公司期望盈利超過1萬元等價于，要使其可能性大于95%，

即

查泊松分布表得，即得b=2222（元）

即當b=2222元時可使保險公司盈利超過1萬元的可能性大于95%.

（3）仍設隨機變量Y為2500中死亡人數，則，而公司盈利2萬元，

即：

等價死亡人數：

若要使盈利大于99%，即：

同理考慮泊松近似計算可得（元）

即要求每位參保者至少交納17.6元.

（二）降低被保險人平均危機值

大數定律建立在“大數0”的基礎之上，即通過風險承擔主體的增多，將保險產品承擔的風險在更多風險單位中分攤.假設保險人承保了n個危險相同、相互獨立的風險單位，我們用相互獨立且同分布的隨機變量表示每個保險單位的損失量，對單個被保險人而言，面臨的損失是實際損失與期望損失E（X）（總體X與期望值相同）的偏差，用X的標準差表示。

有平均每個被保險人的損失與損失偏差分別為

，這樣，n個保險人面臨的總體損失為，其方差為，標準差為，而將每個被保險人看作單個個體他們所面臨的危險總和為，顯然，即保險人面臨的整體危險小于所有單個被保險人面臨的危險總和.所以，如果將n個被保險人看成一個整體，則每個被保險人面臨的平均危險隨著被保險人數的增加而減少。

二、結論

大數定律說明了大量的隨機現象由于偶然性相互抵消而呈現出某種必然數量規律，作為保險業經營的一個重要數理基礎，大數定律對于指導保險公司費率制定、確定最低保單數及降低每個被保險人的平均危險值等方面，都起著重要作用.通過大數定理的運作，可將其轉化為風險單位集合的損失，從而使其有一定的確定性，便可預測保險損失金額.這些直接關系到補償和給付的實現程度與保險經營的穩定性。

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