大數(shù)定律在保險(xiǎn)中的應(yīng)用

摘 要：本文結(jié)合大數(shù)定律存在的條件的不同及其性質(zhì)特點(diǎn)，列舉了其在保險(xiǎn)中的具體應(yīng)用.依次闡述了大數(shù)定律在制定保費(fèi)、降低被保險(xiǎn)人平均危機(jī)值、承擔(dān)業(yè)務(wù)量及責(zé)任準(zhǔn)備金與安全附加系數(shù)等方面的應(yīng)用.就幾個(gè)不同的問題分別對(duì)大數(shù)定律在其中的應(yīng)用做了介紹并舉例說明，將理論具體化，使抽象的實(shí)際問題變成具體可行的、可計(jì)算的、可操作的數(shù)學(xué)問題，從而使一些難以計(jì)算和預(yù)測(cè)的實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，從而當(dāng)加有利于保險(xiǎn)方面實(shí)際問題的解決.

關(guān)鍵字：大數(shù)定律；保費(fèi)；安全附加系數(shù)

在保險(xiǎn)業(yè)中，保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)機(jī)制是將分散的，不確定性的損失集中起來，轉(zhuǎn)化為大致的確定性的分?jǐn)倱p失.大數(shù)定律闡明了大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果具有穩(wěn)定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算術(shù)平均值法則”的基本理論. 一般來說，在概率中，獨(dú)立同分布的隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)超過50個(gè)時(shí)，我們就認(rèn)為他們滿足大數(shù)定律所需的條件，在計(jì)算損失、厘定保費(fèi)等時(shí)服從中心極限定理.

一、大數(shù)定律在保險(xiǎn)中的應(yīng)用

目前，保險(xiǎn)問題在我國(guó)是一個(gè)熱點(diǎn)問題.保險(xiǎn)公司為各企業(yè)、各單位和個(gè)人提供了各種各樣的保險(xiǎn)保障服務(wù)，人們總會(huì)預(yù)算某一業(yè)務(wù)對(duì)自己的利益有多大，會(huì)懷疑保險(xiǎn)公司的大量賠償是否會(huì)虧本.它的數(shù)理依據(jù)是大數(shù)定理的合理分?jǐn)?，化整為零，因此大?shù)法則是保險(xiǎn)業(yè)存在、發(fā)展的基礎(chǔ).大數(shù)定律是保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)營(yíng)的一個(gè)重要數(shù)理基礎(chǔ).

（一）制定保費(fèi)

以切比雪夫大數(shù)定律為例，該極限定理運(yùn)用到保險(xiǎn)行業(yè)，相當(dāng)于有n個(gè)投保人或被保險(xiǎn)人，同時(shí)投保n個(gè)相互獨(dú)立的保險(xiǎn)標(biāo)的，用表示每個(gè)標(biāo)的實(shí)際發(fā)生損失的大小.其中，為理論上每個(gè)投保人應(yīng)繳納的純保費(fèi)，為平均每個(gè)被保險(xiǎn)人實(shí)際獲得的賠款金額.當(dāng)投保人數(shù)足夠多，即n→∞時(shí)，實(shí)際賠款金額等于理論上的純保費(fèi).這一定律說明在承保標(biāo)的的數(shù)量足夠大時(shí)，保險(xiǎn)人收取的純保費(fèi)應(yīng)與被保險(xiǎn)人所能獲得賠款金額的期望值相等.

例1、據(jù)統(tǒng)計(jì)，某年齡的健康人在五年內(nèi)死亡的概率為0.998，某保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備開辦該年齡段的五年人壽保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，預(yù)計(jì)有2500人參加保險(xiǎn)，條件是參加保險(xiǎn)者交保險(xiǎn)金12元，若五年內(nèi)死亡，公司支付賠償金b元（b待定），

便有以下幾個(gè)問題：

1、確定b，使保險(xiǎn)公司期望盈利；

2、確定b，使保險(xiǎn)盈利超過1萬元的可能性大于95%；

3、若賠償金b=2000元，欲使保險(xiǎn)公司盈利2萬元的可能性大于99%，每位參保者至少需交保險(xiǎn)金a為多少元？

X1212-b

0.9980.002

解：（1）設(shè)X表示保險(xiǎn)公司在每一個(gè)參保者身上所得的收益，則X為隨機(jī)變量，服從兩點(diǎn)分布，其分布規(guī)律為

故保險(xiǎn)公司在每一位參保者身上獲的平均收益

若要使保險(xiǎn)公司期望盈利，則應(yīng)有

于是可得

即當(dāng)元時(shí)保險(xiǎn)公司期望盈利.

（2）欲使保險(xiǎn)公司盈利超過1萬元，應(yīng)滿足：

由此得出死亡人數(shù)：

故若使保險(xiǎn)公司期望盈利超過1萬元等價(jià)于，要使其可能性大于95%，

即

查泊松分布表得，即得b=2222（元）

即當(dāng)b=2222元時(shí)可使保險(xiǎn)公司盈利超過1萬元的可能性大于95%.

（3）仍設(shè)隨機(jī)變量Y為2500中死亡人數(shù)，則，而公司盈利2萬元，

即：

等價(jià)死亡人數(shù)：

若要使盈利大于99%，即：

同理考慮泊松近似計(jì)算可得（元）

即要求每位參保者至少交納17.6元.

（二）降低被保險(xiǎn)人平均危機(jī)值

大數(shù)定律建立在“大數(shù)0”的基礎(chǔ)之上，即通過風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)主體的增多，將保險(xiǎn)產(chǎn)品承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)在更多風(fēng)險(xiǎn)單位中分?jǐn)?假設(shè)保險(xiǎn)人承保了n個(gè)危險(xiǎn)相同、相互獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)單位，我們用相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量表示每個(gè)保險(xiǎn)單位的損失量，對(duì)單個(gè)被保險(xiǎn)人而言，面臨的損失是實(shí)際損失與期望損失E（X）（總體X與期望值相同）的偏差，用X的標(biāo)準(zhǔn)差表示。

有平均每個(gè)被保險(xiǎn)人的損失與損失偏差分別為

，這樣，n個(gè)保險(xiǎn)人面臨的總體損失為，其方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，而將每個(gè)被保險(xiǎn)人看作單個(gè)個(gè)體他們所面臨的危險(xiǎn)總和為，顯然，即保險(xiǎn)人面臨的整體危險(xiǎn)小于所有單個(gè)被保險(xiǎn)人面臨的危險(xiǎn)總和.所以，如果將n個(gè)被保險(xiǎn)人看成一個(gè)整體，則每個(gè)被保險(xiǎn)人面臨的平均危險(xiǎn)隨著被保險(xiǎn)人數(shù)的增加而減少。

二、結(jié)論

大數(shù)定律說明了大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消而呈現(xiàn)出某種必然數(shù)量規(guī)律，作為保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)營(yíng)的一個(gè)重要數(shù)理基礎(chǔ)，大數(shù)定律對(duì)于指導(dǎo)保險(xiǎn)公司費(fèi)率制定、確定最低保單數(shù)及降低每個(gè)被保險(xiǎn)人的平均危險(xiǎn)值等方面，都起著重要作用.通過大數(shù)定理的運(yùn)作，可將其轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)單位集合的損失，從而使其有一定的確定性，便可預(yù)測(cè)保險(xiǎn)損失金額.這些直接關(guān)系到補(bǔ)償和給付的實(shí)現(xiàn)程度與保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)定性。

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